Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Московский институт электроники и математики Национального

исследовательского университета "Высшая школа экономики"

Факультет Прикладной математики и кибернетики

Программа дисциплины

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для направления 230700.62 «Прикладная информатика» подготовки бакалавра

Автор программы: , *****@***ru

Одобрена на заседании кафедры Высшей математики МИЭМ «___»____________ 20 г

Зав. кафедрой

Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г

Председатель [Введите ]

Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.

Ученый секретарь [Введите ] ________________________ [подпись]

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

2  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 230700.62 «Прикладная информатика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика».

Программа разработана в соответствии с

    ФГОС ВПО по направлению 230700.62 «Прикладная информатика» подготовки бакалавра; Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 230700.62 «Прикладная информатика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2012 г.

3  Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» являются: изучение основ теории вероятностей и математической статистики и применение полученных знаний для решения конкретных практических задач.

Задачи дисциплины:

-- освоить основные постановки задач, определения и теоремы теории вероятностей и математической статистики;

-- обучить основным методам аналитического решения задач теории вероятностей и математической статистики;

-- дать навыки решения статистических задач с помощью ЭВМ;

-- дать навыки статистического исследования различных явлений и процессов.

4  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен

знать:

·  основные постановки задач теории вероятностей и математической статистики;

·  основные определения и теоремы теории вероятностей;

·  методы построения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределений;

·  методику проверки статистических гипотез;

уметь:

·  вычислять вероятности случайных событий;

·  вычислять числовые характеристики случайных величин;

·  строить точечные и интервальные оценки неизвестных параметров распределений;

·  проверять статистические гипотезы;

владеть:

основными методами аналитического решения вероятностных и статистических задач и соответствующим математическим аппаратом.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

А) общекультурные (ОК):

способность использовать, обобщать и анализировать информацию, ставить цели и находить пути их достижения в условиях формирования и развития информационного общества (ОК-1);

способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, владеть навыками ведения дискуссии и полемики (ОК-2);

способность самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, стремление к саморазвитию (ОК-5);

Б) профессиональные (ПК):

способность при решении профессиональных задач анализировать социально-экономические проблемы и процессы с применением методов системного анализа и математического моделирования (ПК-2);

способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности и эксплуатировать современное электронное оборудование и информационно-коммуникационные технологии в соответствии с целями образовательной программы бакалавра (ПК-3);

проектная деятельность:

способность ставить и решать прикладные задачи с использованием современных информационно-коммуникационных технологий (ПК-4);

способность проводить обследование организаций, выявлять информационные потребности пользователей, формировать требования к информационной системе, участвовать в реинжиниринге прикладных и информационных процессов (ПК-8);

способность моделировать и проектировать структуры данных и знаний, прикладные и информационные процессы (ПК-9);

аналитическая деятельность:

способность применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

научно-исследовательская деятельность:

способность применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач (ПК-21).

5  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

·  «Математический анализ»

·  «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  «Статистика»

·  «Исследование операций»

·  «Теория игр»

·  «Управление рисками проекта»

·  «Управление качеством»

·  «Процессы массового обслуживания в экономике»

·  «Управление системами массового обслуживания»

6  Тематический план учебной дисциплины

№

Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Вероятностное пространство. Определение и свойства вероятности.

5

2

2

4

2

Условная вероятность. Независимость событий. Схема Бернулли.

3

3

3

4

3

Случайные величины. Функция распределения.

9

8

6

8

4

Многомерные случайные величины.

4

4

5

6

5

Числовые характеристики случайных величин.

6

4

4

6

6

Предельные теоремы теории вероятностей.

5

2

2

4

7

Основные понятия математической статистики.

3

2

2

4

8.

Оценки неизвестных параметров.

8

8

5

10

9.

Проверка статистических гипотез.

6

3

3

8

7  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля

Форма контроля

1 семестр

Параметры

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

2

письменная работа 80 минут

Домашнее задание

*

В течение семестра по 1-2 задаче после каждого практического занятия

Промежу­точный

Экзамен

Устный экзамен

Итоговый

Экзамен

7.1  Критерии оценки знаний, навыков

1.  Контрольные работы и домашнее задание.

При оценке контрольных работ и домашнего задания применяется дифференцированный подход по пятибалльной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом во время их выполнения.

2. Экзамен.

Сдача студентом экзамена оценивается по пятибалльной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене.

8  Содержание дисциплины

№ п/п

Наименование раздела дисциплины

Содержание раздела

1.

Вероятностное пространство. Определение и свойства вероятности.

События, операции над событиями. Пространство элементарных исходов. Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое, аксиоматическое. Свойства вероятности. Формула сложения вероятностей.

2.

Условная вероятность. Независимость событий. Схема Бернулли.

Определение условной вероятности. Формула умножения вероятностей. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли.

3.

Случайные величины. Функция распределения.

Понятие случайной величины. Функция распределения. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Распределения: биномиальное, геометрическое, Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Распределения: равномерное, экспоненциальное, нормальное. Свойство отсутствия последействия экспоненциального распределения. Функции от случайных величин.

4.

Многомерные случайные величины.

Совместная функция распределения. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные распределения. Независимые случайные величины. Распределение суммы двух случайных величин. Распределение Эрланга. Многомерное нормальное распределение. Устойчивость нормального распределения.

5.

Числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Моменты высших порядков. Асимметрия, эксцесс, мода, медиана, квантиль. Ковариация. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость.

6.

Предельные теоремы теории вероятностей.

Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

7.

Основные понятия математической статистики.

Задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка. Вариационный ряд. Понятие оценки. Свойства оценок. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот. Критерий Колмогорова.

8.

Оценки неизвестных параметров.

Точечные оценки. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Другие методы получения точечных оценок. Доверительные интервалы.

9.

Проверка статистических гипотез.

Статистические гипотезы. Критерии. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Мощность критерия. Основной принцип проверки статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона (c2).

9  Образовательные технологии

Рекомендуемые образовательные технологии:

– чтение лекций;

– проведение практических занятий;

– выполнение студентами контрольной работы и домашнего задания;

– проведение экзамена.

Аудиторные занятия проводятся в форме лекций, практических занятий. Во время проведения практических занятий используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения задач, предложенных преподавателем).

Для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине могут использоваться: устный опрос; письменные работы (ПР) в виде контрольных работ (КР) и домашнего задания (ДЗ); экзамен. Оценка на экзамене может быть выставлена с учетом всех перечисленных форм контроля и промежуточной аттестации.

Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий, проработка материалов лекций, подготовка к контрольной работе, подготовка к экзамену. Для успешного освоения дисциплины рекомендуется перед каждым практическим или семинарским занятием повторить теоретический материал соответствующей лекции, а после активной работы на занятии - выполнить полученные задания и изучить соответствующий раздел указанной в программе курса литературы.

10  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1. Тематика заданий текущего контроля

Для текущей и промежуточной аттестации студентов выполняется 2 письменные контрольные работы.

Тематика и примерные варианты контрольных работ.

Контрольная работа №1. Классическое определение вероятности. Формула сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Схема Бернулли.

Из 15 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых 5 билетов 2 выигрышных.

2.  Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков не менее 10.

По каналу связи передаются независимо два сообщения. Вероятность передачи без искажений первого сообщения равна 0,95, второго – 0,92. Найти вероятность того, что хотя бы одно из сообщений будет искажено. В спортивной секции 80% студентов младших курсов и 20% старшекурсников. Среди спортсменов младших курсов разрядники составляют 20%, а среди старшекурсников – 90%. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен окажется разрядником. Чему равна вероятность выигрыша у равносильного соперника не менее 4 партий из 8?

Контрольная работа №2. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины.

1  Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным в таблице:

xi

-2

-1

1

2

4

pi

5/16

c2

3/8

c/16

c/16

1)  Найти константу с. Ответ обосновать.

2)  Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3)  Найти дисперсию случайной величины Х.

4)  Построить график функции распределения случайной величины Х.

5)  Найти вероятность Р{-1 £ X £ 4}.

2  Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

1)  Найти константу с.

2)  Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3)  Найти дисперсию случайной величины Х.

4)  Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной величины Х.

5)  Найти P{X>0}, P{-2<X<1,5}.

Тематика домашних заданий.

Операции над событиями. Двумерные случайные величины. Распределение суммы двух случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей.

Задачи для домашнего задания ( на семестр).

Операции над событиями.

Из таблицы случайных чисел наудачу взято число. Событие А – взятое число четное, событие В – число оканчивается нулем. Что означают события: АВ,, , А+В? Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие Аi, i=1,…,5, заключается в том, что i–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что все детали хорошие.

Многомерные случайные величины.

3.  Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,7 и -1 c вероятностью 0,3, а Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).

Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.

4.  Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-2;-1), (4;-1), (-2;1). Найти двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.

Предельные теоремы теории вероятностей.

Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг. Всхожесть семян данного растения равна 0,9.Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т не меньше двух.

9.2. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.

Примерный список вопросов для подготовки к экзамену.

Теория вероятностей.

Предмет теории вероятностей. События, операции над событиями. Пространство элементарных исходов. Основные формулы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое, аксиоматическое. Свойства вероятности. Формула сложения вероятностей. Определение условной вероятности. Формула умножения вероятностей. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли. Понятие случайной величины. Примеры. Функция распределения. Свойства функции распределения. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Равномерное, экспоненциальное, нормальное распределение. Функции от случайных величин. Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные распределения. Независимые случайные величины. Распределение суммы двух случайных величин. Формула свертки. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение: биномиальное, геометрическое, Пуассона, равномерное, экспоненциальное, нормальное. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Дисперсия случайной величины, имеющей распределение: биномиальное, геометрическое, Пуассона, равномерное, экспоненциальное, нормальное. Моменты высших порядков. Ковариация. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость. Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Математическая статистика.

Задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка. Вариационный ряд. Понятие оценки. Свойства оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность). Показать, что если оценка является несмещенной и ее дисперсия стремится к нулю, то такая оценка состоятельна. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот. Показать, что эмпирическая функция распределения является несмещенной оценкой функции распределения. Показать, что эмпирическая функция распределения является состоятельной оценкой функции распределения. Точечные оценки. Метод моментов. Найти с помощью метода моментов точечные оценки для: неизвестного параметра экспоненциального распределения; неизвестного параметра пуассоновского распределения; неизвестных параметров a и b равномерного распределения R[a;b]; неизвестных параметров a и s нормального распределения N(a,s). Метод максимального правдоподобия. Найти с помощью метода максимального правдоподобия точечные оценки для: неизвестного параметра экспоненциального распределения; неизвестного параметра пуассоновского распределения; неизвестных параметров a и b равномерного распределения R[a;b]; неизвестных параметров a и s нормального распределения N(a,s). Выборочное среднее. Свойства выборочного среднего (несмещенность, состоятельность, эффективность в классе линейных оценок). Выборочная дисперсия. Исправленная выборочная дисперсия. Доверительные интервалы. Точность и надежность доверительных интервалов. Распределение Стьюдента, распределение c2 Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при известной дисперсии (нормальное распределение). Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии (нормальное распределение). Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при известном математическом ожидании (нормальное распределение). Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при неизвестном математическом ожидании (нормальное распределение). Статистические гипотезы. Критерии. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Основной принцип проверки статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона (c2). Проверка гипотезы о распределении выборки.

11  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1  Базовый учебник

Гмурман вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2000 — 479 с.

10.2. Основная литература

Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 2000 — 400 с.

10.3. Дополнительная литература

, Свирид вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи. – Минск: Новое знание, 2002 – 250 с. , Печинкин вероятностей. Математическая статистика. — М.: Гардарика,1998. —327 с. , Бричикова вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – Минск: ТетраСистемс, 1стр.

4.  Золотаревская вероятностей. Задачи с решениями. — М: Едиториал УРСС, 2003 — 165 с.

, , Турундаевский вероятностей и математическая статистика. — М.: Bысшая школа, 1991 — 400 с. Ширяев . – М.: Наука, 1989 – 640 с.

Источник в Интернете: Википедия http://ru. wikipedia. org/

10.4.Справочники, словари, энциклопедии

Математический энциклопедический словарь. Под ред. . – М.: Советская энциклопедия, 1988

10.5.Программные средства

При выполнении домашних заданий и контрольных работ студент использует следующие программные средства:

·  Microsoft Excel.

10.6.Дистанционная поддержка дисциплины

Для обеспечения интерактивного и непрерывного учебного процесса в качестве образовательных технологий широко используются коммуникационные средства, предоставляемые сетью «Интернет», в частности, осуществляется информационный обмен посредством электронной почты.

12  Материально-техническое обеспечение дисциплины

Специализированный компьютерный класс для проведения контрольной работы.