Математический анализ (стр. 2 )

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2.

=

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

=

=.

Пример. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

1. 

2.

3.

2.5.  Замена переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j1(x) до j2(х).

Положим х = f(u, v); y = j(u, v)

Тогда dx = ; dy = ;

т. к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

, т. е.

подставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:

Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и j(u, v).

Тогда .

Т. к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид (при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

.

2.6.  Двойной интеграл в полярных координатах.

Воспользуемся формулой замены переменных:

.

При этом известно, что .

В этом случае Якобиан имеет вид:

Тогда .

Здесь t - новая область значений,

2.7. Тройной интеграл.

При рассмотрении тройного интеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т. к. существенных различий между ними нет.

Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в трехмерном пространстве.

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

Пример. Вычислить интеграл

2.8.  Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответствующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

.

.

Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.

Рассмотрим эти преобразования подробнее.

2.9.  Цилиндрическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

,

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

Итого: .

2.10. Сферическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

,

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

2.11.  Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

3) Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x, y), а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

V = .

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Пределы интегрирования: по оси ОХ: по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;

4) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

.

Если поверхность задана в неявном виде, т. е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

.

5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x, y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси Ох: ;

- относительно оси Оу: ;

- относительно начала координат: - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции.

6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади).

7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.

8) Координаты центра тяжести тела.

9) Моменты инерции тела относительно осей координат.

10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

11) Момент инерции тела относительно начала координат.

В приведенных выше формулах– область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема

-  в декартовых координатах: dv = dxdydz;

-  в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

-  в сферических координатах: dv = r2sinjdrdjdq.

12) Вычисление массы неоднородного тела.

Теперь плотность w – величина переменная.

Упражнения

Найти интегралы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 

Вычислить

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Найти объём тела, заданного ограничивающими поверхностями

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 

Вычислить с помощью тройных интегралов объёмы тел, ограниченных указанными поверхностями.

  1.

  2.

  3.

  4.

  5.

  6.

  7.

  8.

  9.

  10.

Даны криволинейные интегралы и четыри точки плоскости Oxy: . Вычислить данный интеграл от точки O до точки C по трём различным путям: 1) по ломанной OAC; 2) по ломанной OBC; 3) по дуге OC параболы . Полученные результаты сравнить и объясеить их совпадение.

  1.  .

  2.  .

  3.  .

  4.  .

  5.  .

  6.  .

  7.  .

  8.  .

  9.  .

  10.  .

3.  Теория функций комплексных переменных

3.1.  Элементы теории функций комплексного переменного.

Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

w = f(z)

Множество D называется областью определения, множество G – областью значений функции.

Комплексную функцию можно записать в виде:

u, v – действительные функции от переменных х и у.

Если каждому zÎ D соответствует несколько различных значений w, то функция w=f(z) называется многозначной.

Определение. Функция имеет предел в точке z0, равный числу А = a + ib, если ,

3.2.  Свойства функций комплексного переменного.

Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3)

Определение. Функция называется непрерывной в точке z0, если выполняется равенство

.

3.3.  Основные трансцендентные функции.

Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера. Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

.

Также справедливы равенства:

;

;

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т. д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.

Пример. Найти sin(1+2i).

Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

Если w = u + iv, то и Arg ew = = v.

Тогда eu = .

Итого:

Для комплексного числа z = a + ib

Определение. Выражение называется главным значением логарифма.

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:

;

;

;

;

;

.

3.4.  Производная функций комплексного переменного.

Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:

Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области.

Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной.

Аналогично определяются производные основных функций, таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т. д.

Производные гиперболических функций определяются по формулам:

Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.

Условия Коши – Римана.

Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

.

Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:

1)

2)

В первом случае:

Во втором случае:

Тогда должны выполняться равенства:

Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

Теорема. Если функция имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.

Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

Теорема. Для того, чтобы функция была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

3.5.  Интегрирование функций комплексной переменной.

Пусть - непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области.

Кривая L задана уравнением

Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется следующим образом:

.

Если учесть, что , то

.

Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю.

.

Интегральная формула Коши.

Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L.

Тогда справедлива формула Коши:

,

где z0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки).

Эта формула также называется интегралом Коши.

3.6.  Ряды Тейлора и Лорана.

Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:

Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:

Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана.

Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге за исключением центральной точки z0. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.

Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.

Рассмотрим следующие частные случаи:

1) Функция f(x) имеет вид: . Т. к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0.

В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.

В этом случае для любого контура L, содержащего точку z0 и принадлежащего к кругу .

2) Функция f(x) имеет вид: .

В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.

Порядок полюса может быть определен по формуле:

z0 – полюс порядка т.

3)Функция f(z) имеет вид , где в ряду не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с-k.

В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 существенно особую точку.

Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функция f(z), т. е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге из которого исключена точка z0. Тогда интеграл , называется вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z0.

Вычет также обозначают иногда .

Если есть ряд Лорана функции f в точке z0, то .