Сопротивление материалов (стр. 4 )

Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на всех вообще площадках в рассматриваемой точке,

. (2.9)

Такое напряжение действует на площадке, перпендикулярной площадке 2 и повернутой относительно площадки 1 на угол 45°. На площадке с действует нормальное напряжение

.

Площадка 2 может совпадать с плоскостью чертежа, но может и совпадать с одной из площадок, по которым действуют , . Соответственно рассматриваемая площадка с может быть перпендикулярна плоскости чертежа, но может быть и повернута из плоскости чертежа.

Касательное напряжение, максимальное по модулю среди напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости чертежа,

. (2.10)

Величина в общем случае не равна . Соответствующая ей площадка перпендикулярна плоскости чертежа и наклонена к площадкам , на угол 45° . На этой же площадке действует нормальное напряжение

. (2.11)

Графическое исследование плоского напряженного состояния. Формулы (2.2а) и (2.2б) можно представить в графической форме. Как известно из аналитической геометрии, в декартовой системе координат параметрическое уравнение окружности радиуса с координатами центра , имеет вид

; . (2.12)

Если в формулах (2.12) обозначить , , , , , то формулы примут вид (2.2а) и (2.2б). Значит, напряжения , на площадке с нормалью , заданной углом , являются координатами точки окружности радиуса , центр которой лежит на горизонтальной оси и имеет координату . Построенную таким образом окружность обычно называют "кругом Мора".

Деформированное состояние в точке. Деформированное состояние в точке нагруженного тела есть совокупность линейных относительных деформаций отрезков, проведенных через эту точку, и изменений углов между отрезками (угловых деформаций). Деформированное состояние в точке задано, если для любых двух направлений могут быть вычислены линейные и угловые деформации.

Деформированное состояние в точке определяют шесть параметров: линейные относительные деформации , , по трем взаимно перпендикулярным направлениям , , и изменения прямых углов между этими направлениями , , .

Всегда можно провести через точку три взаимно перпендикулярные прямые, углы между которыми не изменятся вследствие деформации. Оси координат, совпадающие с этими прямыми, называются главными осями деформированного состояния в точке.

Связь между напряжениями и деформациями. Для изотропного материала (свойства материала одинаковы во всех направлениях) при не слишком большом уровне напряжений связь напряжений и деформаций описывает обобщенный закон Гука:

(2.13)

Здесь , , – упругие характеристики материала; – модуль Юнга (модуль упругости); – коэффициент Пуассона (); – модуль сдвига, для которого имеет место соотношение .

Для изотропного материала главные оси деформированного состояния и главные оси напряженного состояния совпадают, поэтому линейные деформации вдоль главных осей напряженного состояния определяются соотношениями (2.13):

,

, (2.14)

.

Соответствующие угловые деформации равны нулю.

Относительная объемная деформация в точке (отношение абсолютного изменения объема элементарного параллелепипеда к первоначальному объему) не зависит от выбора системы координат:

. (2.15)

Оценка прочности. Прочность материала в точке проверяется по соответствующей материалу теории прочности. Из большого числа ныне существующих теорий прочности при выполнении студенческих задач используются перечисляемые ниже.

Под исчерпанием прочности подразумевается переход материала в предельное состояние – разрушение для хрупкого материала и развитие пластической деформации для пластичного материала. Расчет должен обеспечивать некоторый нормативный запас прочности, что проще всего достигается введением коэффициента запаса прочности, понижающего разрешаемый уровень напряжений.[5]

Для всех применяемых при выполнении расчетно-проектировочной работы теорий прочности условие прочности можно записать в едином виде

, (2.16)

где – допускаемое напряжение. Величина представляет собой предельный уровень напряжения и определяется из эксперимента. Для хрупких материалов она совпадает с пределом прочности при осевом растяжении, для пластичных материалов – с пределом текучести при осевом растяжении. n – нормируемый коэффициент запаса прочности. – комбинация главных напряжений , , (эквивалентное напряжение).

Согласно первой теории прочности, справедливой для хрупких материалов, разрушение происходит от отрыва при достижении максимальным напряжением (оно должно быть положительным, т. е. растягивающим) предельного значения. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению главного напряжения . Условие прочности имеет вид

. (2.17)

Вторая теория прочности также применяется к хрупким материалам. Согласно этой теории разрушение происходит от отрыва при достижении максимальной деформацией (она должна быть положительной) предельного значения. Деформации вплоть до момента разрушения считаются малыми и вычисляются по закону Гука. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению действия главного напряжения . Условие прочности приводится к виду

. (2.18)

Третья теория прочности определяет уровень напряжений, при котором в пластичном материале возникают заметные остаточные деформации. Согласно третьей теории прочности переход материала в предельное состояние происходит от сдвига при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения. Плоскость пластического сдвига (опасное сечение) совпадает с плоскостью действия напряжения . Данной теории соответствует условие прочности

. (2.19)

Согласно четвертой теории прочности пластическое деформирование возникает от сдвига при достижении энергией изменения формы предельного значения. Условием прочности служит соотношение

. (2.20)

Сама эта теория прочности непосредственно не определяет положения опасных площадок. Последние (на основании иной трактовки теории) можно считать равнонаклоненными к главным осям (октаэдрические площадки).

Условие прочности, соответствующее теории прочности Мора (пятой теории прочности), относящейся к хрупким материалам, имеет вид

. (2.21)

Здесь , – пределы прочности при растяжении и при сжатии. Эта теория учитывает взаимодействие нормального и касательного напряжений на площадке с , которая, следовательно, должна считаться плоскостью зарождения начальной микротрещины. (Согласно опыту плоскость развивающейся далее макротрещины перпендикулярна первому главному направлению.)

Среди первой, второй и пятой теорий лучше количественно согласуется с опытом при плоском напряженном состоянии последняя теория. Третья и четвертая теории обе имеют достаточную пригодность для использования в инженерных расчетах.

Примеры решения задач

2.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО

СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛОЩАДКАХ.

ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА № 7)

Условие задачи

Рис. 2.3. Заданное напряженное состояние в условии задачи № 7

Элемент, выделенный из тела, находится в плоском напряженном состоянии (рис. 2.3). По граням элемента заданы нормальные и касательные напряжения, значения которых приведены на рисунке.

Материал элемента – сталь с такими характеристиками: предел текучести МПа; модуль Юнга МПа; коэффициент Пуассона ; модуль сдвига МПа; нормируемый коэффициент запаса прочности .

Требуется:

1)  найти нормальное, касательное и полное напряжения на наклонной площадке, заданной углом 105° (см. рис. 2.3);

2)  определить величины главных напряжений и положение главных площадок;

3)  найти наибольшее касательное напряжение и положение площадки, по которой оно действует;

4)  оценить прочность материала в точке и показать вероятное направление плоскости сдвига или отрыва (опасной площадки);

5)  найти величины относительных продольных деформаций в исходной системе координат и по главным направлениям; вычислить относительную объемную деформацию.

Примечание. Пп. 1–3 следует выполнить двумя способами: аналитическим и графическим.

Рис. 2.4. Определение напряжений на заданной наклонной площадке

Решение

Изобразим элемент в виде плоского рисунка, на котором должна быть указана система координат (см. рис. 2.4). Введенная система координат позволяет присвоить напряжениям обозначения: МПа, МПа, МПа.

На рисунке следует показать также наклонную площадку, указать штриховкой ее внутреннюю сторону, задать внешнюю нормаль к площадке.

Аналитический способ исследования напряженного состояния

Определение напряжений на наклонной площадке. Напряжения, действующие на наклонной площадке (см. рис. 2.4), находим по формулам (2.2а) и (2.2б). В этих формулах положение площадки задает угол между нормалью к площадке и осью . Этот угол нельзя путать с углом , указанным на рис. 2.3.

Можно отсчитывать угол не от оси , а от оси z, но тогда в формулах (2.2а) и (2.2б) напряжения , надо поменять местами и напряжение заменить напряжением . Надо выбирать более удобный способ.

Используем угол между и осью , отсчитывая его от оси к нормали : ( см. рис. 2.4). Значение угла положительное, так как угол отсчитывается против часовой стрелки.

Согласно (2.2а) и (2.2б)

,

Получившееся нормальное напряжение отрицательно, значит, оно направлено к площадке (сжимающее). Касательное напряжение положительно, это значит, что оно обходит площадку по часовой стрелке.

Используем теперь угол между нормалью и осью , отсчитывая его от z к : . Формулы (2.2а) и (2.2б) записываем в измененном виде:

Рис. 2.5. Напряжения на наклонной площадке

Абсолютная величина полного напряжения (или просто полное напряжение)

Вычисленные напряжения показаны на рис. 2.5.

Определение главных напряжений и главных направлений. Согласно (2.5) главные напряжения

.

После вычисления главные напряжения следует пронумеровать согласно убыванию. Чтобы не путать напряжения до и после нумерации, специально используются для этих напряжений разные обозначения. Главные напряжения, пронумерованные согласно их величине,

, , .

Найдем положение главных площадок. Сказанное о способах вычисления напряжений по наклонной площадке относится и к способам вычисления положения главных площадок. Здесь мы вычислим углы , , определяющие положения главных площадок, одним способом: будем отсчитывать эти углы от направления оси . Углы являются решениями уравнения (2.7):

,

то есть

Рис. 2.6. Определение положения главных площадок

Рис. 2.7. Площадка с максимальным касательным напряжением

Получены два значения угла, которые отвечают площадкам с напряжениями , (рис. 2.6). Выясним, какому из этих напряжений соответствует угол . Для этого определим по формуле (2.8) знак второй производной при :

.

Знак отрицательный, следовательно, по этой площадке действует бóльшее из найденных главных напряжений – напряжение . Теперь можно в соответствии с нумерацией главных напряжений пронумеровать и углы: , .

Определение максимального касательного напряжения. Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости (рис. 2.7), определяется формулой (2.10):

МПа.

В рассматриваемом примере главные напряжения , , поэтому касательное напряжение является максимальным среди касательных напряжений для всей совокупности площадок, проходящих через заданную точку: .

Нормальные напряжения на той же площадке даются формулой (2.11):

МПа.

Графический способ исследования напряженного состояния

Рис. 2.8. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние

Круг напряжений Мора является средством вычисления. При выполнении задачи его необходимо построить в крупном масштабе на миллиметровке, используя заточенный карандаш. Чем точнее выполнены построения, тем точнее будет получен результат.

Строим круг напряжений Мора (рис. 2.8). Изображаем систему координат с одинаковым масштабом по вертикальной и горизонтальной осям. Отмечаем на координатной плоскости две точки X, , соответствующие заданным площадкам с нормалями . Координатами точек , являются нормальные и касательные напряжения на заданных площадках. Соединяем точки отрезком, который представляет собой диаметр круга Мора. Точка О пересечения диаметра с осью – центр круга. Проводим окружность.

Точкам I, III пересечения круга с горизонтальной осью соответствуют главные площадки 1, 3. Горизонтальные координаты этих точек (измеренные в масштабе) являются главными напряжениями: МПа, МПа.

Углы , , определяют положения главных площадок. Отмеченные на рисунке углы дают удвоенные значения , . По рисунку сразу видно, какому главному напряжению соответствует каждое значение угла. Графически найденные значения: , . Графический способ дает возможность проверить аналитическое решение, поэтому в расчетной работе следует рядом с кругом напряжений на отдельном рисунке показать положения главных площадок и напряжения на них.

Площадке, по которой действует максимальное касательное напряжение, соответствует точка круга. Координаты точки дают значения МПа, МПа.

Найдем с помощью круга напряжений напряжения на наклонной площадке. Построим на круге точку , соответствующую наклонной площадке. Для этого отложим от радиуса OX (соответствующего оси x) против часовой стрелки угол , либо от радиуса ОZ (соответствующего оси z) в том же направлении угол 2×15°. Координаты точки дают напряжения на наклонной площадке: , .

Полное представление о напряженном состоянии дают три круга напряжений. Точки каждого круга соответствуют площадкам, которые перпендикулярны одной из главных площадок. Круги строятся по главным напряжениям. Обычно изображение напряженного состояния в виде трех кругов Мора используется в качестве иллюстрации, а не в качестве способа вычисления, поэтому данный рисунок можно выполнить в меньшем масштабе и не обязательно на миллиметровке. Все три круга напряжений для рассматриваемого напряженного состояния показаны на рис. 2.9. Построенный на рис. 2.8 круг напряжений соответствует площадкам, перпендикулярным плоскости чертежа (перпендикулярным второй главной площадке). Из рис. 2.9 видно, что максимальное касательное напряжение определяется по бóльшему кругу.

Рис. 2.9. Круги Мора, изображающие объемное напряженное состояние

Проверка прочности. Главные напряжения , , уже известны (вычислены выше).

Начать решение вопроса нужно с выбора соответствующей материалу теории прочности. По условию задачи материал – сталь (пластичный материал), поэтому используем третью и четвертую теории прочности.

Согласно третьей теории прочности эквивалентное напряжение

.

Сравнение с пределом текучести показывает, что материал работает упруго. Действительно,

.

Но условие прочности не выполнено:

.

Это означает, что не обеспечен нормативный коэффициент запаса прочности. Конструкцию, имеющую точку с такими напряжениями, эксплуатировать запрещается. Действительный (фактический) коэффициент запаса

меньше нормативного .

Согласно четвертой теории прочности

МПа.

Условие прочности не выполнено и согласно четвертой теории. Однако фактический коэффициент запаса оказывается другим:

.

Положения опасных площадок согласно третьей и четвертой теориям приведены на рис. 2.10, 2.11. По площадке, показанной жирной линией на рис. 2.10, действует максимальное касательное напряжение. Эта площадка перпендикулярна к площадке 2 и наклонена под углом в 45° к площадкам 1 и 3. Площадка, показанная жирной линией на рис. 2.11, соответствует четвертой теории прочности. Она равно наклонена ко всем трем главным площадкам.

Рис. 2.11. Опасная площадка по четвертой теории прочности

Специально обратим внимание на способ изображения опасных площадок: эти площадки показаны с привязкой к исходному элементу. Так необходимо сделать и при оформлении задачи.

Рис. 2.10. Опасная площадка по третьей теории прочности

Положение исходного элемента по отношению к конструкции, из которой вырезан элемент, известно. Примененный способ изображения опасных площадок позволяет указать эти площадки непосредственно на конструкции.

Определение деформаций в точке. Следует начать с выяснения, работает ли материал в упругой области. Вычисленное выше эквивалентное напряжение оказалось меньше предела текучести. Это означает, что уровень напряжений соответствует упругой стадии деформирования и можно использовать обобщенный закон Гука.

Если уровень напряжений соответствует неупругой стадии деформирования, то закон Гука определяет только упругую часть полных деформаций. В задаче при этой ситуации нужно вычислить только упругую составляющую деформации, отметив это примечанием в тексте.

Линейные деформации в направлении осей

,