Сопротивление материалов (стр. 1 )

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО

Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ

И. А. КУПРИЯНОВ

О. Б. ХАЛЕЦКАЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ЧАСТЬ 1

Санкт-Петербург

2001

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный

университет

Кафедра сопротивления материалов

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО

Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ

И. А. КУПРИЯНОВ

О. Б. ХАЛЕЦКАЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных

работ для студентов всех специальностей и форм обучения

ЧАСТЬ 1

Задачи № 1–11

Под редакцией д-ра техн. наук, проф.

Санкт-Петербург

2001

УДК 539.3/8(07)

Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения. Ч. 1 / Н. Б. Левченко (гл. 1, кроме разд. 1.2.3), Л. М. Каган-Розенцвейг (гл. 2), И. А. Куприянов (гл. 1, разд. 1.2.3; гл. 3), О. Б. Халецкая (гл. 2); СПбГАСУ. СПб., 2001. с.

В пособии даны краткие сведения из теории, необходимые для решения задач, и приводятся примеры решения задач, входящих в расчетно-проектировочные работы, по трем темам: "Растяжение-сжа­тие", "Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния" и "Кручение". Решение задач снабжено подробными объяснениями.

Ил. 54. Библиогр. 4 назв.

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. (Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения);

д-р техн. наук, проф. (Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий)

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия

© , -Розенцвейг,

, , 2001

© Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет, 2001

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ

В процессе изучения курса "Сопротивление материалов" студенты выполняют расчетно-проектировочные работы (РПР). Количество РПР и задач, входящих в каждую из этих работ, зависит от специальности и количества часов, отведенных в учебном плане на изучение курса. Цель РПР – сознательное усвоение теоретического курса и приобретение навыков решения задач, имеющих как академический, так и практический характер.

Данное учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-проектировочных работ. Номера задач, решение которых объясняется в данном пособии, соответствуют номерам задач в издании "Сопротивление материалов и основы строительной механики" (Методические указания и схемы заданий к расчетно-проектировочным работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ. СПб., 1999), по которому студенты выбирают схемы решаемых задач.

В данном пособии приводятся краткие теоретические сведения и основные формулы, необходимые для выполнения задач, объясняются смысл и порядок решения задач. Решение одних задач сопровождается численными расчетами, решение других приведено в общем виде. Ни в коем случае не следует копировать решение задач, не разобравшись со смыслом того, что Вы делаете. Пособие не заменяет учебник, поэтому перед выполнением задач прочитайте те разделы учебников, которые приведены в перечне литературы по изучаемой теме. В процессе расчетов обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Не забывайте писать, в каких единицах Вы получили результат. Рекомендуемые единицы измерения приведены в перечне используемых обозначений. Все арифметические вычисления следует выполнять с точностью до трех значащих цифр – точностью, достаточной для инженерных расчетов.

Расчетно-проектировочные работы оформляются на стандартных листах писчей бумаги формата А-4 (210х297). Перед решением задачи необходимо нарисовать расчетную схему задачи в масштабе в соответствии со своими данными. Решение задачи должно сопровождаться короткими пояснениями, рисунки желательно делать карандашом, на листах должны быть оставлены поля для замечаний преподавателя. После выполнения всех задач, входящих в расчетно-проектировочную работу, листы с решением следует сброшюровать и снабдить титульным листом.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Нагрузки:

– сосредоточенная сила, кН;

– сосредоточенная пара сил (момент), кН×м;

– интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м.

Обозначение осей:

– продольная ось стержня;

– главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня.

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

– площадь поперечного сечения, см2;

– статические моменты относительно осей , см3;

– осевые моменты инерции относительно осей , см4;

– полярный момент инерции, см4.

Внутренние усилия:

N – продольная сила, кН;

Qy , Qz , (Q) – поперечные силы, кН;

My , Mz, (M) – изгибающие моменты кН×м;

Mк – крутящий момент, кН×м.

Напряжения:

(s) – нормальные напряжения, МПа;

(t) – касательные напряжения, МПа;

(sгл) – главные напряжения, МПа.

Деформации и перемещения:

,(e) – относительные продольные деформации;

(g) – угловые деформации (углы сдвига);

– абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (переме-

щения точек оси вдоль оси x), см;

v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осей y, z), см;

j – угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад;

q – угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.

Характеристики материала:

sпц – предел пропорциональности, МПа;

sт – предел текучести, МПа;

sв – временное сопротивление (для хрупких материалов – предел прочности при растяжении, – предел прочности при сжатии), МПа;

[s], [t] – допускаемые напряжения, МПа;

E – модуль упругости, МПа;

n – коэффициент Пуассона;

– коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

1. РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

Рекомендуемая литература

, , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.1, 2.2), гл. 3 (§ 3.1, 3.4, 3.6–3.12).

Гастев курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 2.

, Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 1 (§ 1.3), гл. 2.

Основные понятия и формулы

Растяжение-сжатие – простейший вид деформации стержня. При растяжении-сжатии в стержне из шести видов внутренних усилий возникает только одно усилие – продольная сила N.

Рис.1.1. Правило знаков для продольной силы

Для определения внутренних усилий в стержнях и стержневых системах используется метод сечений. Согласно этому методу продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня. Примем следующее правило знаков для продольной силы: растягивающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна (рис. 1.1). Часто внутреннее усилие меняется по длине стержня, в этом случае принято рисовать график изменения усилия вдоль оси стержня, который называется эпюрой. Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

После определения продольной силы можно найти нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении-сжатии по формуле

Рис. 1.2. Деформация растянутого стержня

. (1.1)

Абсолютная деформация стержня (его удлинение или укорочение) в том случае, если материал стержня работает упруго, т. е. подчиняется закону Гука, определяется так:

(1.2)

На рис. 1.2 показано удлинение стержня Dl, загруженного силой F. Если не учитывать собственный вес, то продольная сила не меняется по длине стержня (для стержня, показанного на рис. 1.2, ) и , то

. (1.3)

Если задача решается с учетом собственного веса, т. е. усилие N линейно зависит от х, то из (1.2) при можно получить формулу

, (1.4)

где – собственный вес стержня; g – объемный вес материала.

1.1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Основные определения

Статически определимая стержневая система – это конструкция, состоящая из стержней, для определения внутренних усилий в которых достаточно уравнений статики. В данном разделе рассматриваются конструкции, стержни которых работают только на растяжение-сжатие, т. е. в каждом стержне возникает только одно внутреннее усилие – продольная сила N.

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций, подробно о которых можно прочитать в [1, § 3.12]. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности можно записать в таком виде:

, (1.5)

где – максимальное напряжение в конструкции, определяемое по формуле (1.1); – характеристика материала, называемая допускаемым напряжением. Допускаемое напряжение находится по формуле

. (1.6)

В формуле (1.6) – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (1.5), возможен второй вариант условия прочности

, (1.7)

где

(1.8)

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.

Порядок решения большинства задач о проверке прочности статически определимых стержневых систем при расчете по допускаемым напряжениям сводится к следующим этапам:

1) находим внутренние усилия (продольную силу при растяжении-сжатии) и выявляем опасные сечения;

2) определяем напряжения;

3) после выявления максимальных напряжений используем условие прочности (формулы (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии).

Из условия прочности:

  ·  либо находим грузоподъемность конструкции, т. е. ищем допускаемую нагрузку – максимальную нагрузку, обеспечивающую безопасную эксплуатацию конструкции;

  ·  либо подбираем сечения стержней, т. е. находим такие минимальные размеры поперечного сечения, которые обеспечивают безопасную эксплуатацию конструкции.

Если нагрузка на конструкцию задана и известны размеры поперечных сечений стержней, то просто проверяем прочность (по формулам (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии) и делаем вывод о возможности эксплуатации конструкции.

Примеры решения задач

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного

растяжению-сжатию (задача № 1)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей подвержен действию нагрузок, показанных на рис. 1.3, а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)

Решение

Определяем продольную силу и строим эпюру распределения N вдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

.

Рис. 1.3. К решению задачи № 1: а – схема нагрузки на стержень; б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке стержня:

на первом участке ) ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка

,

в конце второго участка

.

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3, б эпюра N построена для следующих исходных данных: м, м; F1 = 10 кН, F2 = 40 кН, q1 = 15 кН/м, q2 = 20 кН/м.

Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются так же и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. 1.3, в, опасным является не только сечение в начале третьего участка , где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участка с максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда ,

и ;

для стальной части

, тогда .

Из трех значений A1, найденных из условий прочности в опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяет всем условиям. Значение А2 находим по заданному соотношению: .

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.

1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2)

Условие задачи

Рис. 1.4. К решению задачи № 2: а – схема нагрузки на стержень; б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Стержень переменного сечения с соотношением площадей поперечных сечений A1/A2 = 2 находится под действием сосредоточенных сил и собственного веса (рис. 1.4, а). Материал стержня на всех участках одинаков. Требуется построить эпюры распределения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня и определить перемещение сечения а–а.

Решение

Строим эпюры изменения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня. Собственный вес стержня принято учитывать, заменяя его распределенной по всей длине нагрузкой. Интенсивность распределенной нагрузки равна собственному весу, действующему на единицу длины стержня, т. е.

на первом и втором участках

,

на третьем участке

,

где g – объемный вес материала стержня.

Эпюры продольной силы и напряжений строим, используя метод сечений, аналогично тому, как это делали в задаче № 1. Заметим, что угол наклона эпюры продольной силы зависит от величины q и, следовательно, при построении эпюры N в масштабе угол ее наклона на первом и втором участке должен быть больше, чем на третьем участке, так как A1 по условию больше, чем A2 (рис. 1.4, б). Угол же наклона эпюры напряжений зависит от объемного веса g, и поэтому угол наклона эпюры напряжений на всех участках одинаков (рис. 1.4, в).

Находим перемещение (опускание) сечения а–а. Это перемещение можно искать разными способами. По первому способу для определения перемещения используем формулу (1.4). Здесь F – сосредоточенная сила, вызывающая перемещение участка длиной l; G – собственный вес рассматриваемого участка. Эту формулу можно использовать на участках постоянного сечения между сосредоточенными силами. Отсчет надо вести от неподвижного сечения, т. е. заделки. Например, в рассматриваемой задаче перемещение сечения а–а складывается из удлинения участка длиной l1, которое мы обозначим Dl1, и удлинения участка длиной la – Dla. При определении удлинения Dl1 в формуле (1.4) сила F равна сумме F1, F2 и собственного веса всех расположенных ниже участков. Вес участка стержня длиной l1: . Таким образом, по (1.4)

.

Удлинение Dla происходит под действием сосредоточенной силы, состоящей из силы F2, веса участков стержня, расположенных ниже сечения а–а, и собственного веса участка . То есть

.

Окончательно опускание сечения а–а равно .

Если построена эпюра распределения напряжений, то для определения перемещения заданного сечения удобно использовать второй способ, применяя формулу (1.2). В формуле (1.2) , а – это площадь эпюры напряжений. Таким образом, если найти площадь двух трапеций на участке между неподвижным сечением (заделкой) и сечением а–а (заштрихованные площади и эпюры s на рис. 1.4, в) и разделить полученную величину на модуль упругости, мы получим искомое перемещение сечения а–а:

.

При вычислении перемещения обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Рекомендуем окончательный результат получить в сантиметрах.

1.1.3. Определение грузоподъемности статически

определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3)

Условие задачи

Конструкция, состоящая из стержней, соединенных шарнирами, загружена силой F (рис. 1.5). Сечения стержней – из прокатной стали и площади сечений можно найти по таблицам сортамента прокатной стали (например, в [1]). Цель расчета:

1) определить значение допускаемой нагрузки;

2) найти перемещение узла С.

Рис. 1.5. Схема конструкции в задаче № 3

Примечание. Если на схеме, выбранной студентом по [4], один стержень показан более жирным, то его следует считать абсолютно жестким, т. е. деформациями этого стержня можно пренебречь.

Решение

Рис. 1.6. План сил

Для определения усилий используем метод сечений. Для этого нарисуем план сил: рассечем деформируемые стержни конструкции и отброшенные части стержней заменим продольными силами N1 и N2 (рис. 1.6). Из уравнений равновесия отсеченной части конструкции найдем продольные силы в стержнях[1]:

и .

Знак минус показывает, что направление усилия в стержне 2 противоположно показанному на рис. 1.6, т. е. стержень 2 сжат.

Определим напряжения по (1.1) и выберем наиболее напряженный стержень (допустим, что в рассматриваемой задаче это будет стержень 1).

Рис. 1.7. План перемещений

Из условия прочности этого стержня получим значение допускаемой нагрузки:

,.

Найдем перемещение узла С, построив план перемещений (рис. 1.7). Предварительно найдем абсолютные деформации стержней Dl1 и Dl2 по формуле (1.3). В рассматриваемой задаче растянутый стержень 1 будет удлиняться, а сжатый стержень 2 – укорачиваться. Для построения плана перемещений нарисуем схему конструкции в масштабе и отложим отрезки Dl1 и Dl2 вдоль оси каждого стержня, выбрав масштаб для деформаций так, чтобы картинка плана перемещений была наглядной. В процессе деформации стержни поворачиваются относительно точек А и В по дугам. Из-за малости деформаций эти дуги заменяем касательными, т. е. перпендикулярами к направлениям стержней (отрезки и на рис. 1.7). На пересечении дуг (перпендикуляров к направлениям стержней) находится новое положение узла C после деформации – точка на рис. 1.7. Вертикальное и горизонтальное перемещение узла C допускается определять по масштабу, не делая сложных геометрических выкладок.

Примечание. Если конструкция имеет абсолютно жесткий стержень, то принцип построения плана перемещений тот же. Все точки абсолютно жесткого стержня могут перемещаться только по дугам (перпендикулярам к направлению стержня), поворачиваясь вокруг неподвижного шарнира. Например, если стержень АС на рис. 1.7 считать абсолютно жестким, то точка С переместится в положение и горизонтальное перемещение узла С будет равно нулю.

1.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Основные определения

Статически неопределимая система – система, в которой количество неизвестных (опорных реакций, внутренних усилий) больше числа независимых уравнений статики, составляемых для рассматриваемой системы (конструкции). Таким образом, в статически неопределимой системе невозможно найти все неизвестные, пользуясь только уравнениями равновесия. Разность между количеством неизвестных и числом уравнений статики называется степенью статической неопределимости.

Конструкции, состоящие из стержней, соединенных шарнирами, называются шарнирно-стержневыми. В этих конструкциях есть стержни, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции и при удалении которых система превращается в механизм. Такие стержни будем называть необходимыми. Если же при удалении некоторых стержней геометрическая неизменяемость конструкции не нарушается, то такие стержни назовем лишними. В статически определимой системе есть только необходимые стержни, в статически неопределимой – число лишних стержней равно степени статической неопределимости.

Порядок определения всех неизвестных в статически неопределимых конструкциях (раскрытия статической неопределимости) следующий:

1) записываем необходимые уравнения равновесия;

2) составляем уравнения совместности деформаций (геометри-ческие уравнения). Количество уравнений совместности деформаций равно степени статической неопределимости;

3) записываем физические уравнения;

4) решая полученную систему уравнений, находим все неизвестные.

Если в качестве физических уравнений используется закон Гука, то такой способ расчета носит название расчета по упругой стадии деформаций. После определения внутренних усилий – продольных сил в стержнях статически неопределимой системы – встает задача обеспечения ее прочности. При расчете по упругой стадии деформаций считается, что предельное состояние конструкции наступает тогда, когда один, наиболее напряженный, стержень переходит в предельное состояние (разрушится или потечет). Поэтому после определения усилий по этому способу находим напряжения в стержнях и выбираем стержень, в котором действует максимальное напряжение. Из условия прочности этого наиболее напряженного стержня либо вычисляем допускаемую нагрузку, либо подбираем сечения стержней. Следует отметить, что в большинстве статически неопределимых конструкций в результате расчета по этому способу только в одном стержне напряжения будут равны допускаемым, остальные же стержни будут недогружены. Достичь равенства напряжений во всех элементах конструкции и, следовательно, добиться выполнения требования, чтобы напряжения во всех стержнях равнялись допускаемым, в общем случае невозможно.

Второй способ расчета статически неопределимых стержневых систем носит название расчета по предельному пластическому состоянию.[2] Благодаря наличию лишних стержней в статически неопределимой системе, наступление состояния текучести в одном (наиболее напряженном) стержне еще не приводит к нарушению геометрической неизменяемости всей конструкции. Остальные стержни, оставаясь упругими, препятствуют пластическим деформациям этого стержня. Конструкция продолжает выполнять свое назначение, перейдя из упругой стадии работы в упругопластическую. При увеличении нагрузки в пластическую стадию работы вовлекаются все новые стержни. И только тогда, когда в системе потекут все лишние стержни и хотя бы один необходимый, конструкция превращается в механизм и не может выполнять свои функции. Это состояние и считается предельным при расчете по предельному пластическому состоянию. Таким образом, расчет по предельному пластическому состоянию сводится к следующему:

1) определяем, сколько стержней должно потечь, чтобы конструкция превратилась в механизм. Дальнейший расчет возможен по двум вариантам:

·  если в предельном состоянии текут все стержни системы, то, составляя уравнения равновесия конструкции в предельном состоянии, находим из него значение предельной нагрузки ;

·  если в предельном состоянии течет только часть стержней, то, не определяя порядка перехода стержней в пластическое состояние, рассматриваем все кинематически возможные варианты предельного состояния конструкции. Находим из уравнений равновесия предельную нагрузку для каждого варианта. Выбираем из всех вариантов минимальное значение предельной нагрузки ;

2) из условия прочности конструкции по предельному состоянию либо вычисляем допускаемую нагрузку, либо подбираем сечения стержней.

Отметим, что расчет по предельному пластическому состоянию является более экономичным, чем расчет по упругой стадии деформаций. Поэтому при сравнении результатов расчета по двум способам должно получиться, что допускаемая нагрузка, найденная расчетом по предельному пластическому состоянию, всегда не меньше нагрузки, полученной расчетом по упругой стадии деформации. Соответственно площади сечений стержней, найденные расчетом по предельному состоянию, должны быть не больше площадей сечений, полученных расчетом по упругой стадии деформаций.