Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор
_____ «____»______________200__г.
ПРОГРАММА
по курсу: «Математическая статистика и вероятностные процессы»
для специальности 010600 Прикладные математика и физика
факультет аэромеханики и летательной техники
кафедра Экспериментальной аэрофизики и информационно-измерительных систем
курс 4
семестр 7
Лекции 34 часов Экзамен 7 семестр
Практические (семинарские) занятия часов (Диф.) Зачет семестр
Лабораторные занятия часов Самостоятельная работа
(часов в неделю)
Всего 34 час
Программу составил д. э.н., к. т.н.
Программа обсуждена на заседании кафедры «____» _____________ 200_ г.
Программа обсуждена на заседании Ученого Совета ФАЛТ «____»___________ 200_ г.
Председатель Ученого Совета ФАЛТ __________________
Заведующий кафедрой
(подпись) (фамилия, инициалы)
Москва 2008 г.
Аннотация
Курс предназначен для первоначального знакомства со статистическими методами анализа опытных данных. Предполагается, что слушатели уже знакомы с основами теории вероятностей. Приведены простейшие примеры статистических задач, возникающих в практике эмпирических исследований. В курсе изложены:
· простейшие методы оценивания неизвестных параметров;
· основы теории проверки статистических гипотез.
· простейшие методы статистического анализа случайных процессов.
Помимо традиционных статистических методов, опирающихся на известные законы распределения, рассмотрены простейшие робастные и непараметрические методы.
В ходе изучения курса студентам предлагается самостоятельно решить простейшие задачи анализа опытных данных. Теоретический материал иллюстрирован реальными примерами из различных областей. Статистические расчеты в примерах выполняются при помощи общедоступного табличного процессора Microsoft Excel.
Введение
Примеры измерений в авиационной науке и технике. Погрешности в измерениях физических величин и их классификация. Аддитивные и мультипликативные модели измерений, содержащих погрешности. Случайные и систематические погрешности.
Генеральная совокупность. Сплошное обследование и выборочный метод исследования. Классификация выборок. Выборочные статистики. Основные задачи математической статистики.
Основные понятия теории вероятностей
Случайные величины и их значения. Законы распределения: интегральный закон распределения и плотность распределения. Параметры законов распределения. Примеры законов распределения: равномерный, нормальный, Пуассона. Центральные и начальные моменты законов распределения, математическое ожидание и дисперсия, коэффициент асимметрии и эксцесс.
Многомерные случайные величины (случайные векторы). Многомерные законы распределения. Независимые случайные величины. Ковариация и корреляция случайных величин. Функции от случайных величин. Композиции распределений. Распределения Симпсона, Стьюдента, Хи2, Фишера. Предельные теоремы и законы больших чисел.
МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Точечное оценивание неизвестных параметров в регрессионных моделях
Регрессионные модели, прямые и косвенные измерения. Качество выборочных оценок, меры ошибок. Свойства состоятельности, несмещенности, эффективности оценок. Сравнение методов наименьших квадратов и предельных отклонений.
Оценивание параметров линейного многофакторного уравнения регрессии. Метод наименьших квадратов в векторно-матричной форме и его модификации (взвешенный МНК, оценка Гаусса – Маркова, МНК с линейными ограничениями на значения оцениваемых параметров).
Доверительное оценивание неизвестных параметров
Доверительный интервал оценки и доверительная вероятность. Связь между точностью и достоверностью оценок. Доверительные интервалы для оценок параметров нормального распределения.
Оценивание неизвестных параметров при наличии сбоев (выбросов)
Проблема наличия грубых сбоев в измерительной информации. Модельные и статистические подходы к отбраковке сбойных измерений. Метод Смирнова – Граббса выделения выбросов. Робастные методы оценивания. Медиана как робастная оценка математического ожидания. Оценивание параметров “засоренных” распределений. Теорема Хубера.
Оценивание законов распределения
Выборочные законы распределения и методы их построения. Доверительные интервалы для оценки закона распределения. Оценивание неизвестных параметров законов распределения. Методы моментов и максимального правдоподобия.
МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистические гипотезы и критерии их проверки
Статистические гипотезы и их классификация. Критерии проверки гипотез, критические значения. Ошибки первого и второго рода, доверительный уровень и мощность критерия.
Критерии проверки параметрических гипотез
Критерий отношения правдоподобия Неймана – Пирсона для различения двух простых параметрических гипотез. Проверка гипотез о параметрах биномиального и нормального распределений. Пример: выборочный контроль качества по альтернативному признаку.
Критерии согласия и однородности выборок
Критерии согласия. Критерий Хи2 (Пирсона) Непараметрические методы проверки статистических гипотез. Критерий согласия Колмогорова - Смирнова.
Проверка однородности нескольких выборок. Применение критериев согласия. Однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.
Критерий знаков
Критерий знаков и связи, проверяемые с его помощью. Обнаружение асимметрии распределения, проверка случайности отклонения от среднего. Доверительные границы для оценки медианы.
Корреляционный анализ
Выборочный коэффициент корреляции (Пирсона). Порядковые (ранговые) статистики. Ранговые корреляции. Коэффициент корреляции Спирмена.
Регрессионный анализ
Проверка статистической значимости регрессионных моделей в целом и их отдельных факторов. Критерий Фишера.
Введение в многомерный статистический анализ
Основные задачи многомерного статистического анализа. Понятие о факторном анализе и методе главных компонент, о кластерном анализе.
статистический АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Основные понятия теории случайных процессов
Статические и динамические экспериментальные зависимости. Случайные процессы и их характеристики. Стационарность случайного процесса, интервал стационарности. Эргодическое свойство.
Измерение случайных процессов и обработка измерений
Первичная и вторичная обработка записи случайного процесса. Оценивание параметров стационарных эргодических случайных процессов.
Аналоговые и цифровые системы сбора и обработки измерений. Погрешности дискретизации и выбор частоты опроса измерений. Теорема Котельникова. Формирование требований к точностным характеристикам информационно-измерительных систем.
Трендовый анализ и прогнозирование случайных процессов
Критерии наличия тренда: инверсионные (Манна и Кендалла), сериальные (Вальда – Вольфовитца и суммы квадратов длин серий). Проверка стационарности случайных процессов с помощью критериев тренда.
Прогнозирование случайных процессов: линейный, полиномиальный и экспоненциальный тренд, циклические изменения. Доверительные интервалы для прогнозов (диапазонное прогнозирование).
Спектральный анализ случайных процессов
Спектральная плотность. Спектральный анализ стационарных случайных процессов. Быстрое преобразование Фурье. Недостатки гармонического разложения случайного процесса. Понятие о вейвлет-анализе случайных процессов.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Бендат Дж., Измерение и анализ случайных процессов / М.: Мир, 1983.
2. , Таблицы математической статистики / М.: Наука, 1983.
3. Ван дер Математическая статистика / М.: Иностранная литература, 1960.
4. , , Летные испытания самолетов / М.: Машиностроение, 1996.
5. , , Многомерные статистические методы / М.: Финансы и статистика, 2000.
6. , MATLAB: обработка сигналов и изображений / СПб, Питер, 2002.
7. Теория статистических выводов / М.: Мир, 1975.
8. , , Информационно-измерительные системы для летных испытаний самолетов и вертолетов / М.: Машиностроение, 1984.
9. (3 т.) 1) Теория распределений; 2) Статистические выводы и связи; 3) Многомерный статистический анализ и временные ряды / М.: Наука, 1976.
10. , Теория вероятностей и математическая статистика / М, Инфра-М, 2001.
11. Математические методы статистики / М.: Наука, 1976.
12. Проверка статистических гипотез / М.: Наука, 1989.
13. , Статистика в MS Excel / М.: Финансы и статистика, 2002.
14. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях / М.: Мир, 1983.
15. , Бизнес – статистика / М.: издательство МАИ, 2001.
16. Теория вероятностей и математическая статистика / М.: Физматлит, 2002.
17. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / М.: Мир, 1980.
18. Математическая статистика / М.: Наука, 1967.
19. Введение в теорию вероятности и ее приложения (2т.) / М.: Мир, 1984.
20. Математическая статистика с инженерными приложениями / М.: Мир, 1965.
21. Анализ процессов статистическими методами / М.: Мир, 1973.
22. Статистика для физиков / М.: Мир, 1980.
23. Робастность в статистике / М.: Мир, 1983.
24. Энциклопедия “Вероятность и математическая статистика” / М.: “Большая российская энциклопедия”, 1999.
