Методические указания к практическим занятиям по курсу «Введение в математический анализ» (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по курсу

«Введение в математический анализ»

(специальность «Зарубежное регионоведение»)

Часть 2.

Элементы дифференциального исчисления и методов оптимизации

Ростов-на-Дону

2012

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Введение в математический анализ», который читается студентам отделения «зарубежное регионоведение», решает такие важные задачи, как ознакомление студентов с основными понятиями математического анализа и смежных дисциплин, необходимыми для решения теоретических и практических задач экономики; воспитание абстрактного мышление и умения строго излагать свои мысли. Пособие предназначено помочь в организации практических занятий и самостоятельной работы студентов и включает разделы, связанные с дифференцированием функций одного и многих переменных, а также с приложением методов дифференциального исчисления, линейной алгебры и аналитической геометрии к решению оптимизационных задач. Каждый из параграфов содержит необходимые теоретические положения, разобранные «типовые» задачи и упражнения для самостоятельного решения, позволяющие закрепить полученные навыки. Дополнительно рекомендуется литература:

1. , Семендяев по математике для инженеров и учащихся втузов. – СПб.: Лань, 2010

2. Выгодский по высшей математике. – М.: ACT: Астрель, 2006.

3. , Демидович курс высшей математики. – М.: АСТ: Астрель 2007.

4. Справочник по математике для экономистов /Под ред. . – М.: Инфра-М, 2009.

5. , , Браилов в экономике. Ч.1. – М.: Финансы и статистика. 2001.

6. «Методические указания к практическим занятиям по курсу «Введение в математический анализ». Часть 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии». – Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2012.

§ 1. СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1.1. Область определения, основные свойства. При решении ряда прикладных задач необходимо учитывать известные из школьного курса свойства элементарных функций: показательной (и ее частного случая, экспоненты , логарифмической (и ее частных случаев, десятичного и натурального логарифмов), тригонометрических , , , , степенной (как для любого вещественного показателя степени, так и наиболее важные частные случаи , , ). В этом параграфе рассматриваются наиболее важные примеры, более подробную информацию можно найти, например, в [1].

Пример 1.1. Найти область определения функции .

Решение. Известно, что корень четной степени определен только при неотрицательном подкоренном выражении. Таким образом, решая неравенство , получаем, что или . Поэтому (использовано стандартное обозначение для области определения функции f).

Одним из наиболее важных, часто учитывающихся в практических задачах, свойств функции является ее четность или нечетность. Как известно, функция называется четной (нечетной), если выполняются два условия: область определения функции симметрична относительно начала координат и при любом x из области определения справедливо равенство (соответственно, ).

Пример 1.2. Проверить, обладают ли свойством четности (нечетности) предложенные функции:

на естественной области определения;

на естественной области определения;

при ;

на естественной области определения;

на естественной области определения.

Решение. В данном примере функция f(x) определена для всех вещественных аргументов, т. е. симметрична относительно начала координат. Так как , то очевидно, что и , т. е. ни одним из интересующих свойств функция не обладает (такие функции называются функциями общего вида).

Функция g(x), область определения которой также все множество вещественных чисел, является четной в силу равенства .

У функции p(x) область определения – отрезок [-1;2], а у r(x) – интервал . Эти множества не симметричны относительно начала координат, поэтому функции p(x), r(x) свойством четности и нечетности не обладают.

Наконец, определена на всей вещественной оси и , поэтому нечетная функция.

Замечание. График четной функции симметричен относительно оси OY, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Примером могут послужить графики функций , .

1.2. Графики функций, их преобразование. В таблице 1.1 приведены правила, с помощью которых, зная графики элементарных функций, можно получать эскизы графиков более широкого класса функций. Следует обратить внимание на то, что некоторые преобразования проводятся либо с самим графиком, либо с осями координат.

Таблица 1.1

Правила преобразования графика функции f(x)

Функция	Действия с графиком	Действия с осями координат
	Переместить график на |b| единиц по оси OY (вверх при и вниз при )	Перенести ось абсцисс на |b| единиц вниз при (вверх при ).
	Переместить график на |a| единиц по оси OX (вправо при , влево при ).	Перенести ось ординат на |a| единиц (влево при , вправо при ).
	Отобразить график симметрично относительно оси OX («зеркальное» отображение).
	График отобразить симметрично относительно оси OY.
	Увеличить ординаты «базового» графика в C раз при C>1 или уменьшить в 1/C раз при 0<C<1
	У базового графика уменьшить абсциссы в C раз при C>1 или увеличить их в 1/C раз при 0<C<1
	Оставить график без изменения там, где ; фрагменты графика, соответствующие условию , отобразить симметрично относительно оси OX.

Пример 1.3. С помощью преобразования графика гиперболы построить график функции .

Решение. Сначала необходимо выделить «целую часть» данной дробно-рациональной функции: . Далее последовательно выполняются следующие действия:

1) построить график функции ;

2) сдвинуть его на 3 единицы влево по оси OX (получить график функции );

3) полученный график симметрично отобразить относительно оси OX (график функции );

5) сдвинуть его на единицу вверх вдоль оси OY (график заданной функции).

Результат построений можно видеть на рисунке 1.1.

Пример 1.4. Построить график функции .

Решение. Так как , то формулу, задающую функцию, можно преобразовать:

. (1.1)

В соответствии с рекомендациями из таблицы, которые "подтверждены" формулой (1.1), необходимо оставить без изменения фрагмент "базового" графика десятичного логарифма при . Для соответствующий фрагмент «базового» графика отображается симметрично относительно оси OX. Результат см. на рисунке 1.2. (стр.7).

Пример 1.5. Построить график .

Решение. При исследовании квадратичной функции полезно выделять полный квадрат: Теперь можно использовать правила преобразования графиков. Строим график параболы , сдвигаем его по оси OX на 2 единицы вправо и поднимаем по оси OY на 3 единицы. Результат – на рисунке 1.3.

1.3. Задания для самостоятельного решения.

Упражнение 1.1. Найти область определения функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5); 6) ;

7) ; 8); 9) ; 10).

Упражнение 1.2. Проверить, являются ли данные функции четными (нечетными). При отсутствии дополнительных указаний рассматривать функции на естественной области определения.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) , ; 8) ; 9) ;

10) , ; 11) ; 12) .

Упражнение 1.3. Используя правила преобразования графиков элементарных функций, построить эскизы графиков заданных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

7) 8) 9) ;

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

2.1. Функции одного переменного. Основными понятиями дифференциального исчисления являются производная функции и дифференциал функции. При этом функции, имеющие конечные производные, называются дифференцируемыми. Для таких функций можно доказать ряд теорем, из которых следуют правила нахождения производных для алгебраической суммы, произведения и частного дифференцируемых функций:

; (2.1)

; (2.2)

; (2.3)

. (2.4)

Равенство (2.3) основано на том, что производная постоянной функции (константы) равна нулю; оно означает, что при дифференцировании константа выносится за знак производной.

В Таблице 2.1 формулы для производных элементарных функций приводятся как для случая независимого аргумента (левый столбец), так и для сложной функции (правый столбец).

Таблица 2.1

Таблица основных производных

1) , 2) 3) 4) 5) 6) , 7) 8) , 9) 10) 11) 12) 13)

1¢) 2¢) 3¢) 4¢) 5¢) 6¢) , 7¢) 8¢) , 9¢) 10¢) 11¢) 12¢) 13¢)

Чтобы найти производную функции в точке , необходимо сначала найти , а затем в полученное выражение подставить заданное значение .

Пример 2.1. Найти производную функции в произвольной точке и при x=1.

Решение. Применим формулы (2.4), (2.1) и (дважды) формулу производной степенной функции:

Итак, Чтобы выполнить второе задание, подставим вместо x числовое значение 1: .

Дифференциал функции , играющий важную роль в исследовании функций (а также позволяющий при необходимости находить приближенное значение функции), можно найти по формулам:

, (2.5)

(для произвольной точки из области определения) и

(2.6)

(для фиксированной точки x=a).

Пример 2.2. Найти дифференциал функции .

Решение. Сначала воспользуемся формулой (2.2) и табличной производной косинуса для сложной функции:

С учетом формулы (2.5) получаем:

Пример 2.3. Найти в точке производную функции и дифференциал функции в этой точке.

Решение. Предварительно «подготовим» функцию к дифференцированию: . Теперь воспользуемся формулами производных для степенной функции и функции (из таблицы), а также формулами (2.1), (2.3):

Подставляем значение : .

Для определения дифференциала функции воспользуемся формулой (2.6):

Ответ: ;

При определенных условиях определены производные и дифференциалы старших порядков, в частности, второго порядка, при этом:

(2.7.)

, (2.8)

(2.9)

Пример 2.4. Для функции найти производную второго порядка () и дифференциал второго порядка в точке x=2.

Решение. Сначала найдем первую производную:

Далее воспользуемся (2.7):

Подставляем значение x=2:

Наконец, используем (2.9):

2.2. Дифференцирование функций двух переменных. При дифференцировании функции по одной из независимых переменных (x или y) вторая фиксируется и считается константой. Применяются уже знакомые правила (2.1)-(2.4) и формулы из таблицы производных, однако при записи обязательно указывается, по какой переменной происходит дифференцирование. Так, для частной производной первого порядка по x используются обозначения или . Аналогично запись обозначает частную производную первого порядка по y.

Для полного дифференциала функции в произвольной точке и в фиксированной точке M(a;b) справедливы формулы:

(2.10)

(2.11)

Как и для функции одного переменного, можно находить частные производные старших порядков. Например, для частных производных второго порядка справедливы правила

; (2.12)

Полный дифференциал второго порядка (в произвольной или фиксированной точке) находится по формулам

(2.13)

(2.14)

Заметим, что если исходная функция удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам, то справедливо равенство . В этом случае говорят, что «смешанные производные второго порядка» совпадают, или что «порядок дифференцирования не играет роли».

Пример 2.5. Найти частные производные (по x и по y) первого порядка функции , выписать полный дифференциал этой функции.

Решение. Чтобы найти , необходимо зафиксировать переменную y. Тогда получаем степенную функцию от x (y - показатель степени), а потому . Фиксируя x, получаем показательную функцию от y, поэтому . Применяя теперь формулу (2.10), получим: