Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

МАТЕМАТИКА

2009-10 учебный год

ЗАДАНИЯ

8 класс

Найдите наименьший корень уравнения:

Постройте график функции

Докажите, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9. 80% пути из школы домой ученик едет на троллейбусе, остальную часть идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из - за аварии, троллейбусы не ходили и ему пришлось идти домой пешком. Сколько минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше скорости ученика? В треугольнике АВС биссектриса АМ равна отрезку МС. Найдите угол АВС, если сторона АС=2АВ Десять монет лежат в ряд так, что сначала идут все настоящие весом 10 г (от 1 до 9 штук), а затем все фальшивые весом 9 г. За два взвешивания на чашечных веса без гирь требуется определить какие монеты фальшивые.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

МАТЕМАТИКА

2009-10 учебный год

ОТВЕТЫ

8 класс

Найдите наименьший корень уравнения:

Решение:

или

Ответ: наименьший корень

Постройте график функции

Решение:

Итак,

y

2 y = 2x+9 + x-5

x+5 x²-25

1 x

-

-5 0 5

Докажите, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

Решение:

=9

Делится на 9.

80% пути из школы домой ученик едет на троллейбусе, остальную часть идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из- за аварии, троллейбусы не ходили и ему пришлось идти домой пешком. Сколько минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше скорости ученика?

Решение: Пусть S- расстояние от школы до дома, -скорость ученика, 5- скорость троллейбуса.

0,8 S

5 - время движения на троллейбусе

0,2 S

- время движения пешком

Тогда 0,8 S + 0,2 S = 18

5

1,8 S =18

5

S = 50

Ответ: 50 минут

В треугольнике АВС биссектриса АМ равна отрезку МС. Найдите угол АВС, если сторона АС=2АВ

Решение:

В

М

С

К

А

Пусть К- середина АС. По условию АС=2АВ. Тогда АВ=АК=КС.

Рассмотрим ∆ АВМ и ∆ АКМ:

, т. к. АМ - биссектриса

АВ=АК.

АМ- общая сторона.

Тогда ∆ АВМ=∆ АКМ, откуда АВМ= АКМ.

∆ АМС- равнобедренный (по условию АМ=МС), в нём МК - медиана, а следовательно и высота.

Тогда АКМ=90˚, а значит АВМ=АКМ=90˚, т. е. АВС=90˚.

Ответ: АВС=90˚

6. Условие. Десять монет лежат в ряд так, что сначала идут все настоящие весом 10 г (от 1 до 9 штук), а затем все фальшивые весом 9 г. За два взвешивания на чашечных веса без гирь требуется определить какие монеты фальшивые.

Решение. Из условия следует, что нам надо определить границу между фальшивыми и настоящими монетами. При первом взвешивании положим на левую чашку монеты с номерами 1 и 10, а на правую чашку весов монеты с номерами 4 и 7. Сравним суммарный вес первой и последней монет (из условия следует, что первая монета настоящая, а последняя фальшивая и они вместе весят 19 г) с суммарным весом 4-й и 7-й монет. Если левая чашка перетянула, то 4-я и 7-я монета вместе весят меньше, чем 19 г, значит они обе фальшивые. В этом случае искомая граница располагается между 1-й и 4-й монетами. Если чашки весов уравновесились, то одна из монет на правой чашке настоящая (очевидно из условия, что это монета с номером 4), а другая фальшивая. В этом случае искомая граница располагается между 4-й и 7-й монетами. Если же перевесила правая чашка, то на ней обе монеты настоящие и искомая граница располагается между 7-й и 10-й монетами.

При втором взвешивании поступаем аналогично первому, например – сравниваем суммарный вес монет 1 и 4 с суммарным весом монет 2 и 3 (или 4+7 с 5+6, или 7+10 с 8+9) и делаем окончательный вывод о том, где проходит искомая граница между настоящими и фальшивыми монетами.

Указания по проверке. По всей видимости, приведённое выше решение единственное. Если в решении при каком-то варианте результатов взвешиваний ответ получить нельзя, то надо ставить 0 баллов. Если взвешивания предложены правильные, то за недостатки в объяснениях можно снимать до 2 баллов.