Темы и вопросы для изучения по предмету «Математика»
для студентов I курса (Заочное обучение, 2 семестр)
Тема 5. Комплексные числа
Понятие комплексного числа, тригонометрическая и показательная формы.
Операции с комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа и их свойства.
Тема 6. Пределы и непрерывность функций.
Понятие функции, виды и свойства функций: монотонность, периодичность, ограниченность. Классификация функций: элементарные, алгебраические и трансцендентные функции. Числовые последовательности и их пределы.
Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции и их свойства.
Пределы функций в точке и на бесконечности. Замечательные пределы.
Непрерывность функций.
Тема 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Задачи, приводящие к понятию производной. Понятия производной функции. Механический и геометрический смысл производных
Правила вычисления производных. Производные сложной и обратной функций. Производные функций, заданных параметрически. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.
Производные высших порядков (вторая, ее физический смысл и высшие).
Дифференциал функции и его связь с приращением, геометрический смысл, свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Тема 7. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
Теоремы о среднем (экстремум функции, теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа).
Виды неопределенностей. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
Определение экстремума, критические точки, достаточные условия существования экстремума.
Применение второй производной: точки перегиба, асимптоты.
Схема исследования функций.
Тема 8. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Первообразная функция, неопределенный интеграл, его свойства. Таблица неопределенных интегралов для простейших функций.
Методы интегрирования: метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов.
Интегрирование иррациональных выражений заменой переменной или сведением к табличным.
Интегрирование тригонометрических выражений; не берущиеся интегралы.
Определенный интеграл: геометрический и физический смысл, свойства, формула Ньютона-Лейбница.
Применение определенного интеграла для вычисления: площадей (трапеции, криволинейного сектора, поверхности вращения), длины дуги, объема тела вращения.
Несобственные интегралы: определение, признаки сходимости.
Задание 1. Вычислить пределы функций
№ варианта | а) | б) | в) | г) |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
Задание 2. Найти производные функций
№ варианта | а) | б) | в) |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
|
16 |
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
|
|
|
19 |
|
|
|
20 |
|
|
|
Задание3. Исследовать функции и построить схематические графики
№ варианта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Функция |
|
|
|
|
|
№ варианта | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Функция |
|
|
|
|
|
№ варианта | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Функция |
|
|
|
|
|
№ варианта | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Функция |
|
|
|
|
|
Задание 4. Решить уравнения на множестве комплексных чисел. Результат представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Z* – комплексно-сопряженное число
№ варианта | № варианта | ||
Z4+9Z2+20=0 | Z2+(2i–5)Z+5–5i=0 | ||
Z8–17Z4+16=0 | Z2 –4Z+8=0 | ||
Z4 –4Z2+20=0 | 3Z2 – Z+2=0 | ||
Z3=1/i | Z2 – Z+5=0 | ||
Z2 +8Z+41=0 | Z4 –Z2 –2=0 | ||
│Z│ Z* =4–i | Z3+8i=0 | ||
Z2 –8iZ–15=0 | Z4 +4Z2 –5=0 | ||
Z4 –Z2 –6=0 | Z6 – 9Z3+8=0 | ||
Z4 –4Z2 +20=0 | Z4 –Z2 –12=0 | ||
Z4 –2Z2 –8=0 | Z4 +3Z2 –10=0 |
Задание 5. Найти неопределенные и определенные интегралы
№ варианта | А) | Б) | В) | Г) |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
Задание 6. Найти площади фигур, ограниченных линиями.
№ варианта | № варианта | ||
3x2 – 4y=0; 2x – 4y + 1=0 | 6 | 3x2–2y=0; 2x–2y + 1=0 | |
3x2 + 4y=0; 2x – 4y – 1=0 | 7 | y=x3+3; x=0; x=2; y= x–1 | |
y=6x–x2; y=0 | 8 | 3x2–2y=0; 2x + 2y – 1=0 | |
3x2 – 4y=0; 2x + 4y + 1=0 | 9 | y= x2 – 2x + 3; y= 3x – 1 | |
y2=1–x; x= –3 | 10 | y=1/x; y=x; x=2 |
Задание 7. Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси ОХ замкнутых фигур, ограниченных линиями.
№ варианта | № варианта | ||
y2=4х; x = y | y=x2; y2 =8х | ||
x2 +y2=4; x +4y – 2=0 | y=x/2; y=0; x=4; x=6 | ||
Y=x3; y=x | x2–y2=1; x =3 | ||
Y=3x3 – 4x; y =0 | y= log2x ; y=log4x; y= 1 | ||
Y2=2x ; 2x +2y – 3=0 | y=8; y2=x3; x=0 |
