Глава 4, элементарное введение в механику (стр. 2 )

Неотъемлемым атрибутом инструментария механика, без чего просто невозможно представить его работу, является широчайший спектр используемых в механике математических методов. Аналитические методы, как и в целом математический аппарат, используются как при исследовании определяющих соотношений, так и при анализе и решении краевой задачи. Обработка экспериментальных данных, идентификация определяющих соотношений, выявление их области применимости - все это невозможно сделать без привлечения самых различных математических методов. Исследование постановки краевой задачи, существования и единственности ее решения представляют собой сложнейшие математические проблемы, с которыми механики идут к математикам. Практически не существует области математики, которая не нашла бы своего применения в механике. Совершенно не случайно во многих университетах существуют и успешно функционируют механико-математические или математико-механические факультеты; механика является одним из основных “поставщиков” задач для математиков. Можно привести довольно много примеров удачного симбиоза механиков и математиков, когда механики делятся с математиками своими проблемами, и те в свою очередь “расчищают” им путь. Многие достижения теории вязкоупругости, вязкопластичности из механики пришли в математику и позже превратились в целые математические направления. Известно, в частности, что применение теории вязкопластичности, которая была создана в конце 30-х гг., послужило одним из толчков к ускорению развития функционального анализа, без которого уже трудно представить современную математику. Многие “экзотические” на первый взгляд направления математики успешно используются в механике. Казалось бы, какое отношение к действительности имеют дифференциальные уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами или задачи с негладкими границами? Оказалось, что самое непосредственное! И не только они. Аппарат теории обобщенных функций, бесконечные системы уравнений, интегро-дифференциальные уравнения, уравнения с запаздывающим аргументом и т. д. - все это находит свое естественное применение в задачах механики. Кстати, задача о кумулятивной струе, о которой речь шла в начале этой главы, решается методами теории функций комплексного переменного, - теории, которая на первый взгляд может показаться просто “выдумкой” математиков; действительно, с точки зрения “здравого смысла” нет ничего более противоестественного, чем .

Когда математическая модель того или иного процесса создана, например: процесса изгиба прутка, прокатки листа или пробивания снарядом брони, - это значит, что обоснованно выбраны определяющие соотношения, внесены соответствующие разумные упрощения в постановку краевой задачи и предложены алгоритм и метод ее решения. Конечно, далеко не все задачи механики решаются такими красивыми способами, как описанная выше задача о кумулятивной струе или, например, задача Ламе1 в теории упругости. Задач такого рода не так много в механике; они являются ее украшением. Обычно краевые задачи требуют выполнения большого объема вычислительной работы. Численные методы решения краевых задач весьма разнообразны. Выше уже упоминалось о том, что возникло и успешно развивается новое направление - вычислительная механика. Более того, недавно появилась уже и вычислительная механика разрушения, которая использует сложные специфические методы для решения задач механики разрушения.

В заключение особо отметим то обстоятельство, что проблема построения определяющих соотношений является в определенном смысле центральной проблемой МДТТ, поскольку совершенно очевидно, что адекватная математическая модель процесса не может быть создана, если в распоряжении исследователя нет адекватных определяющих соотношений; в этом случае никакие сверхусилия, никакое искусство, никакие суперкомпьютеры не помогут в решении задачи. Поэтому и в настоящей книге именно эта проблема чаще всего обсуждается: какие определяющие сотношения известны в литературе, какова их область применимости, насколько они удовлетворяют общим требованиям теории определяющих соотношений и т. д.

Подведем некоторые итоги. Что такое механика?

Механика деформируемого твердого тела - наука о движении и равновесии реальных, т. е. деформируемых, твердых тел. Ее основной задачей является определение деформаций и напряжений, возникающих в теле при действии внешних сил и различных полей (температуры, облучения и т. д.), а также изучение вопросов прочности и разрушения тел. Основная цель механики заключается в построении адекватных математических моделей материалов и процессов (явлений). Построение определяющих соотношений - центральная и фундаментальная проблема механики. Основные “инструменты” механика - испытательная машина, аналитические методы и компьютер. Практический выход - создание математических моделей материалов и процессов, решение краевых задач и выработка на их основе практических рекомендаций.

4.2*. Основные понятия

Прежде чем напомнить о некоторых основных понятиях, используемых в механике деформируемого твердого тела, заметим, что если материаловед при знакомстве с новым материалом интересуется тем, какая у него диаграмма состояния, то механик прежде всего выясняет, а какая у этого материала диаграмма деформирования. Ниже приведены краткие сведения о том, что при этом обычно имеется в виду.

4.2.1*. Сплошная среда

В 1822 и 1823 гг. великие Навье и Коши1 представили в Парижскую академию научные трактаты, или, как их тогда называли, мемуары, положившие начало двум подходам к рассмотрению механических свойств твердых тел. Первый, основанный на рассмотрении тела как системы взаимодействующих между собой молекул, привел к довольно строгим физическим теориям механических свойств кристаллов различного строения. Второй, так называемый континуальный подход заключался в замене реального тела воображаемой сплошной средой, непрерывно заполняющей пространство. Уравнения равновесия ее были получены Коши с помощью предложенного Эйлером2 метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил. Физикам больше нравится первый подход, они считают теории, в которых фигурируют атомы и молекулы, более адекватными реальной действительности. Возможно, это дело вкуса, однако не следует забывать, что в теории мы имеем дело не с самим атомом, а с некоторой его моделью, более или менее точно описывающей поведение реального объекта. Механики тоже используют модель реального материала - сплошную среду. Конечно, эта модель, как и всякая другая, имеет свои пределы применимости. Совершенно очевидно, что нельзя исследовать процессы, происходящие на уровне отдельных атомов, например химические реакции, рассматривая материал как сплошную среду. В то же время далеко не всегда можно описать поведение материала на основе анализа движения составляющих его молекул, поскольку число их очень велико (порядка 1020 в 1 см3), и потому информация об их индивидуальных движениях почти ничего не говорит о макроскопических свойствах движения тела. Для практики требуются только некоторые средние, интегральные характеристики, которые могут быть получены на основе известного в физике статистического подхода.

В механике сплошной среды тело представляют в виде некоторой субстанции, называемой материальным континуумом или сплошной средой, которая непрерывным образом заполняет объем геометрического пространства. Бесконечно малый объем тела называют частицей. Концепция сплошности вещества является основным постулатом механики сплошной среды. Эта идеализация необходима потому, что она позволяет при исследовании движения деформируемых тел использовать аппарат непрерывных, но дифференцируемых функций, дифференциальное и интегральное исчисления.

Гипотеза сплошности позволяет феноменологически ввести понятия перемещения и скорости, плотности, внутренней энергии, температуры, энтропии и потока тепла как непрерывно дифференцируемых функций координат и времени. Кроме того, она позволяет ввести фундаментальные понятия внутренних напряжений и деформаций и постулировать существование связи между ними, отражающей в конечном счете статистику движения и взаимодействия атомов. Представление о сплошной среде позволяет чрезвычайно упростить математическое описание движения тел, что дает возможность решать практически важные задачи, например обработки металлов давлением. Таким образом, гипотеза сплошности в механике имеет столь же фундаментальное значение, как понятие кристаллической решетки в физике и материаловедении. Возможно, именно этим обстоятельством объясняется тот факт, что физикам и механикам так трудно понимать друг друга.

Если одинаковые объемы среды имеют одинаковые свойства, то такую среду называют однородной. Если свойства образца, вырезанного из материала, не зависят от его ориентации, материал называется изотропным. В противном случае материал называют анизотропным. Конечно, материал обладает различными свойствами - магнитными, электрическими, оптическими, тепловыми, механическими и т. д. В этой книге речь идет только о механических свойствах, которые могут быть измерены в макроэксперименте. Соответственно и об однородности и изотропности говорят по отношению к макросвойствам. В этой связи вводят в рассмотрение понятие о представительном объеме, который, с одной стороны, включает в себя достаточно большое количество элементов структуры и в то же время остается достаточно малым с макроскопической точки зрения. Величина представительного объема определяется тем масштабом, начиная с которого свойства можно считать однородными; очевидно, что на масштабах порядка атомного размера однородности нет.

Можно показать, что основные уравнения и понятия механики сплошных сред могут быть получены с использованием статистического подхода [33]. При этом рассматриваются “настолько большие тела, что весьма малые их части объема dV содержат достаточно много частиц, и потому для этих малых областей тела можно ввести понятия макроскопических величин плотности тела, перемещения, скорости, ускорения, внешних сил, внутренней энергии и других в смысле средних по ансамблю... Идеализация истинного физического тела в механике сплошных сред состоит в том, что все рассматриваемые величины принимают в качестве истинных” [33]. Характерной особенностью поликристаллических материалов является их зеренное строение; представительный объем в этом случае должен быть достаточно велик для того, чтобы включить в себя достаточно большое количество зерен, и в то же время достаточно мал, чтобы можно было рассматривать его как точку (частицу) сплошной среды. Это позволит пренебречь индивидуальными свойствами отдельных зерен при анализе механического поведения поликристалла. Рассмотрим в качестве примера осадку цилиндрической заготовки диска газотурбинного двигателя диаметром 0,5 м, причем средний размер зерен не превышает, скажем, 100 мкм. В этом случае в качестве представительного объема можно выбрать кубик материала со стороной 1 мм. Если механик может рассматривать такой кубик как материальную точку, то для физика это целый мир, “населенный” множеством удивительных “существ”, - дислокаций, дисклинаций и пр.

В этой связи интересно отметить результаты, полученные недавно и [1,2]: экспериментально показано, что, если по толщине образца укладывается меньше ~10 зерен, признаки сверхпластического течения исчезают, несмотря на то, что формально все требования на средний размер зерен, температуру и скорость деформации соблюдены. Количественные оценки1 показывают, что характерный представительный объем должен содержать десятки зерен для того, чтобы свойства материала не зависели от размера зерен и их взаимного расположения. Если число зерен меньше некоторого критического значения, их совокупность не является представительным объемом в описанном выше смысле; материал представляет собой сложный конгломерат отдельных зерен, свойства которого зависят от особенностей конкретной упаковки, размеров и формы составляющих его кристаллитов. Аналогичная ситуация может возникнуть и в том случае, когда, например, проводятся опыты на кручение образцов кругового поперечного сечения, выполненных из крупнозернистых материалов: в самом деле, если по радиусу образца будет “укладываться” лишь считанное количество зерен, то представительный объем, который, как отмечено выше, должен содержать десятки зерен, может оказаться слишком “велик” по сравнению с характерными размерами испытываемого образца. В этих случаях необходимо по-другому вводить представительный объем - на более мелком масштабном уровне; отдельные зерна в этом случае должны рассматриваться как макроскопические объекты. Заметим, что в механике композитов широко распространен подход, в соответствии с которым композиционный материал сначала рассматривается как сплошная среда (не обязательно однородная и изотропная) и для нее рассчитывается напряженно-деформированное состояние. После этого “вспоминают”, что композиционный материал содержит в себе, например армирующие волокна, и рассчитывают напряжения вблизи этих волокон, используя другой масштабный уровень и соответственно представительный объем.

Методы механики сплошных сред позволяют рассматривать явления от космических, когда представительный объем может содержать несколько планет, до микроскопических, например композиты с мелкодисперсными армирующими элементами. Методы механики сплошных сред можно применять для исследования потока машин на улице, для анализа информационных потоков и т. д. При этом необходимо следить за тем, чтобы представительный объем характеризовал свойства среды, о которой идет речь, - космической, информационной, поликристаллической и т. д. Другими словами, свойства представительного объема должны быть идентичны свойствам сплошной среды в целом. Таким образом, методы механики сплошной среды можно применять на разных уровнях, соответствующим образом вводя представительный объем.

4.2.2*. Метод сечений

Разрежем мысленно тело, находящееся в равновесии, произвольной плоскостью, проходящей через рассматриваемую точку, затем одну из частей тела мысленно отбросим. Действие отброшенной части заменим системой непрерывно распределенных (в соответствии с гипотезой о сплошности) по плоскости сечения сил. Если привести в соответствии с правилами статики полученную таким образом систему сил к центру тяжести сечения, получим в результате главный вектор и главный момент . Выберем систему координат таким образом, чтобы ось z была перпендикулярна плоскости разреза. Проекции главных векторов на эти оси называются внутренними силовыми факторами. Этот кажущийся довольно элементарным прием является могучим средством анализа внутреннего напряженного состояния тела. Такой подход получил название метод сечений и является основным методом исследования напряженного состояния в механике. Понятие о нем вводится также и в стандартных курсах сопротивления материалов.

Необходимо отметить, что внутренние силовые факторы являются интегральными параметрами, и поэтому они не в полной мере характеризуют внутреннее состояние материала, нагруженного внешними силами.

4.2.3*. Напряжение

В литературе по СП под напряжением часто неявно понимают отношение осевого усилия к текущей площади поперечного сечения, например, в эксперименте на осадку. При этом практически никогда не обсуждается вопрос о том, что напряжения, вообще говоря, могут быть неравномерно распределены по плоскости поперечного сечения. Точно так же обычно не ставится вопрос о том, что описание напряженного состояния с использованием одного скаляра не является исчерпывающим. Особенно актуальна эта проблема при описании поведения дислокаций. Дислокация - объект существенно трехмерный, поэтому поле напряжений вокруг нее в принципе не может быть описано одним скаляром. Это обстоятельство уже отмечалось в третьей главе (п. 3.3.3). Ниже для справки приведена краткая информация о том, каким образом вводится понятие о напряжениях в механике.

Одним из первых к понятию о напряжении подошел Галилей, избравший после отлучения от астрономии гораздо более безопасную в идеологическом отношении науку о прочности. Он обнаружил пропорциональность между разрывающей силой и площадью поперечного сечения растягиваемого стержня. Но только почти через два столетия было введено понятие о напряжении как силы, деленной на площадь. Сделал это Огюстен Коши, причем он впервые понял, каким образом можно описать внутреннее напряженное состояние тела в любой точке при любом способе нагружения, а не только в момент разрушения.

Как уже было отмечено в п. 4.2.2, в рассматриваемом сечении действуют не сосредоточенные внутренние усилия, а непрерывно распределенные нагрузки, интенсивность которых может быть разной в различных его точках. Как же тогда охарактеризовать интенсивность внутренних сил в рассматриваемой точке сечения? Выделим вокруг этой точки небольшую площадку DA. Пусть D - равнодействующая внутренних сил, действующих на эту площадку. Тогда отношение D/DA будет характеризовать среднее значение внутренних сил, приходящихся на площадку DA. Устремляя размеры площадки DA к нулю, получим в пределе:

. (4.2.1)

Величина называется вектором напряжений в данной точке рассматриваемого сечения. Полный вектор напряжений можно разложить на две составляющие: 1) составляющую, перпендикулярную сечению; она обозначается и называется нормальным напряжением; 2) составляющую, лежащую в плоскости сечения; она обозначается и называется касательным напряжением. Очевидно, что величины нормального и касательного напряжений, вообще говоря, зависят от ориентации площадки: например, при одноосном растяжении на площадке, перпендикулярной оси растяжения, нормальное напряжение максимально, а на площадке, параллельной оси растяжения, оно минимально.

4.2.4*. Напряженное состояние

Напряжения на площадке, проходящей через заданную точку нагруженного тела, зависят от ее ориентации. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через заданную точку тела, называется напряженным состоянием в данной точке. Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в некоторой точке М, представим себе, что через нее проведены три взаимно перпендикулярные секущие площадки и установлены величины возникающих на них напряжений. Затем в окрестности исследуемой точки шестью сечениями выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.2.1) и выберем оси координат вдоль ребер параллелепипеда. Разложим вектор полного напряжения, действующего на секущей площадке, на три компоненты: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение будем обозначать буквой s, а касательные напряжения буквой t с двумя индексами: первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй - оси, вдоль которой направлен вектор .

Напряжения, возникающие на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, перечислены в табл. 4.2.1. Как следует из этой таблицы, напряженное состояние на трех взаимно перпендикулярных площадках может быть охарактеризовано 9 числами: тремя нормальными и 6 касательными напряжениями.

Помимо внутренних напряжений, возникающих под действием внешних нагрузок, нужно, вообще говоря, учитывать еще и массовые силы, например силы инерции, силу тяжести и т. п. Однако в задачах, рассматриваемых ниже, эти воздействия, как правило, будут величинами более высокого порядка малости и их влияние в дальнейшем не будет приниматься во внимание.

Система сил, приложенных к элементу (рис. 4.2.1), должна удовлетворять условиям равновесия. Из условия равновесия сил получаются уравнения равновесия в дифференциальной форме (см. п. 4.3). При составлении уравнений моментов легко обнаружить, что момент каждой силы уравновешивается моментом противоположно направленной силы, расположенной на невидимой задней грани. Исключение составляют касательные силы. Например, условие равенства нулю суммы моментов относительно оси x соблюдается в том случае, если момент силы tyzdxdz равен моменту силы tzydxdy, т. е. tyzdxdzdy=tzydxdydz. Аналогично могут быть написаны еще два уравнения равновесия. Тогда получаем:

tyz=tzy, tzx=txz, txy=tyx . (4.2.2)

Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. Это утверждение носит название закона парности касательных напряжений. Он справедлив для всех точек нагруженного тела, независимо от вида приложенных нагрузок и свойств материала, если в нем нет распределенных моментов[2].

Из закона парности касательных напряжений следует, что среди 9 перечисленных в табл. 4.2.1 напряжений независимыми являются только 6.

Р и с. 4.2.1. Напряжения на площадках элементарного параллелепипеда

Девять величин: три напряжения растяжения-сжатия и шесть сдвиговых напряжений - являются компонентами тензора напряжений. Более подробно о том, что такое тензоры, каковы их свойства, можно прочитать в специальной литературе (см. список рекомендованной литературы, приведенный в конце этой главы); здесь же отметим только тот факт, что сам термин "тензор" впервые появился при анализе напряжений в механике сплошных сред и происходит от слова tension - напряжение. Очевидно, что при описании одноосного нагружения цилиндрического стержня можно так выбрать оси координат, что только одна из девяти компонент тензора напряжений будет отлична от нуля. Однако, если выбрать оси координат произвольным образом, то, вообще говоря, необходимо будет иметь дело с полным тензором напряжений.

Т а б л и ц а 4.2.1

Плоскость	Нормальное напряжение	Касательные напряжения
YZ	sxx	txy, txz
ZX	syy	tyz, tyx
XY	szz	tzx, tzy

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через исследуемую точку, всегда имеются три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых отсутствуют. Эти площадки и возникающие на них нормальные напряжения называют главными. В порядке убывания эти напряжения обозначают s1, s2, s3. Таким образом, напряженное состояние в любой точке тела определяется величинами трех главных напряжений и направлениями главных осей, нормальных к главным площадкам.

Принята следующая классификация напряженных состояний в зависимости от знака главных напряжений. 1. Трехосное растяжение (s1>0, s2>0, s3>Трехосное сжатие (s1<0, s2<0, s3<Смешанное напряженное состояние (s3<0, s1>0). Если все три главных напряжения отличны от нуля, напряженное состояние называют объемным, пространственным или трехосным. В случае, если одно из главных напряжений равно нулю, напряженное состояние называют плоским или двухосным. В случае, когда лишь одно главное напряжение отлично от нуля, напряженое состояние называется линейным, или одноосным.

4.2.5. Некоторые примеры

В прошлом веке инженеры рассчитывали прочность различных конструкций, исходя из естественного на первый взгляд правила: напряжение есть сила, деленная на площадь сечения, а значит, при уменьшении сечения за счет отверстия напряжения в нем растут обратно пропорционально площади ослабленного сечения. Такой подход оказался совершенно недостаточным и на практике приводил к тому, что корабли, мосты и другие изделия внезапно разрушались по необъяснимым на первый взгляд причинам, причем не в экстремальных ситуациях. Накапливавшийся печальный опыт показал, что опасными местами корпуса корабля являются различные люки, отверстия и вырезы, - именно вокруг них появлялись трещины, которые от неравномерной загрузки трюма или от удара волны могли со скоростью пули перерезать судно надвое, и оно тонуло так быстро, что свидетели катастрофы догадывались об этом по скрещенным мачтам, мелькнувшим в последние мгновения над волнами. Инженеры-мостостроители, в свою очередь, подтверждали, что заклепки всегда разрушаются в местах резкого изменения сечения при переходе от стержня к головке, и рекомендовали применять изобретенные в Германии заклепки с плавным коническим переходом. К подобному же выводу и тоже чисто экспериментально приходили и инженеры-транспортники, хотя предмет их огорчений - оси железнодорожных вагонов и паровозов - ломались в условиях усталостного разрушения, связанного с тем, что при вращении они подвергаются циклически повторяющемуся изгибу.

И в более позднее время происходили события, на первый взгляд довольно странные. Например, 16 января 1943 г. по возвращении в порт после успешно проведенных морских испытаний американский танкер "Скенектади" внезапно разломился на две части. Трещина зародилась в остром углу люка на палубе, практически мгновенно прошла через палубу и по обоим бортам корпуса до подводной части у самого киля. Все это случилось в безветренную погоду, при температуре воздуха -3°С и температуре воды -4,5°С. Примерно в таких же условиях 29 марта 1943 г. в канале Амбросо, вблизи Нью-Йорка, разломился пополам другой корабль такого же класса "Манхеттен", построенный на семь месяцев раньше и имевший аналогичную конструкцию, за исключением установки взлетной палубы.

....У читателя может возникнуть вполне естественный вопрос: а какое отношение имеют все эти примеры к сверхпластичности? Дело в том, что в литературе по СП также часто принимается, что напряжение есть сила, деленная на площадь. Именно в таком смысле используется напряжение s, которое входит во многие физические формулы (см. п. 3.3.3). Такое предположение не всегда может быть верным, о чем свидетельствуют не только приведенные выше примеры; к аналогичному выводу приводит анализ точных решений некоторых задач теории упругости.

Рассмотрим классическую задачу о растяжении полосы с отверстием. Пусть полоса растягивается равномерно внешними силами так, что напряжение в ней равно s. Спрашивается, как изменится величина напряжения, если в полосе имеется небольшое круглое отверстие (рис. 4.2.2)? В 1898 г. немецкий механик Г. Кирш решил эту задачу; оказалось, что в точках А на краю отверстия имеется резкий пик напряжений. Напряжения там втрое (!) превышали напряжения в точках, удаленных от края отверстия, или напряжения в сплошной пластинке, нагруженной теми же силами. Бытовавшие в то время инженерные методы расчета занижали оценку опасных напряжений почти в три раза, поскольку малое отверстие почти не снижает площадь поперечного сечения. Еще более удивительные результаты были получены при решении сложной задачи о растяжении пластинки с эллиптическим отверстием (рис.4.2.2). Это решение было получено впервые талантливым русским ученым в 1909 г. в его диссертации "Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости". Однако работа Колосова была опубликована в небольшом университетском городке Юрьеве (теперь это Тарту в Эстонии), на Западе она до сих пор малоизвестна, и там ссылаются на статью английского ученого К. Инглиса, хотя она вышла только в 1913 г. (в Трудах Королевского института корабельных инженеров). Решение Колосова-Инглиса показало, что наиболее опасные пиковые напряжения определяются кривизной отверстия, и у вершин А, где кривизна максимальна, могут достичь значений, во много раз превышающих значения напряжений в сплошной пластинке (в рамках предположения, что материал пластинки ведет себя как упругий). Зона повышенных напряжений, называемых местными, имеет малые размеры, сравнимые с размером зоны резкого изменения границы. Благодаря профессору Инглису в практику расчетов на прочность вошло понятие "концентрация напряжений". Число, показывающее, во сколько раз местные напряжения превышают номинальные, называется коэффициентом концентрации напряжений и определяется формой выреза и свойствами материала. Самая опасная ситуация возникает у острых вырезов в хрупких материалах.

Найденные Колосовым и Инглисом формулы сложны и поэтому здесь не приводятся; отметим только крайне важный результат: наибольшие напряжения наблюдаются в вершинах А эллипса, где

sy = s0(1+2a/b

Согласно этой формуле, напряжения в вершинах узкого эллипса (a/b - велико) могут стать очень большими. Если ввести в формулу величину r=b2/a, называемую радиусом кривизны в вершине выреза, то получим

. (4.2.4)

Оказалось, что в таком виде выражение для концентрации напряжений применимо не только для эллиптических отверстий, но и для отверстий с достаточно произвольной гладкой границей, на контуре которых есть точки с малым радиусом кривизны; концентрация напряжений определяется глубиной выреза a и радиусом кривизны в его вершине r. Большая концентрация напряжений согласно формуле (4.2.4) может наблюдаться и у острого края люка в борту корабля, и у вершины царапины на оконном стекле.

Р и с. 4.2.2. Решение Кирша: на контуре малого кругового отверстия напряжения в 3 раза превышают напряжения в удаленных точках	Р и с. 4.2.3. Решение Колосова - Инглиса: на контуре малого эллиптического отверстия номинальное напряжение может превышаться во много раз; например, для эллипса с отношением полуосей a/b=3 превышение составляет 1+2a/b=7 раз

Таким образом, напряженное состояние в образце, растягиваемом на привычной любому "сверхпластичнику" испытательной машине, может быть охарактеризовано одним-единственным скалярным параметром s (величина которого равна силе, деленной на площадь) только в первом приближении. Сказанное не означает, что все механические испытания раньше проводили неправильно и их результаты не имеют научного значения. Конечно же, нет! Просто необходимо иметь в виду, что полученные значения s являются не точными, а приближенными.