Глава 4, элементарное введение в механику (стр. 3 )

4.2.6*. Деформация

Деформация... Как понимают этот термин материаловеды, говорилось в третьей главе. Ниже изложено вкратце, как принято понимать этот же самый термин в механике.

Как уже отмечалось в предыдущей главе, толковый словарь Ожегова [63] слово "деформировать" толкует как "изменять форму чего-либо". Соответственно, термин “деформация” понимается в механике как изменение формы тела, а не метод воздействия на материал.

В результате воздействия внешних сил форма и размеры тела могут изменяться. Для описания деформации тела в качестве ее меры используются взаимные перемещения точек. Деформация тела в целом складывается из деформации его материальных частиц. Для описания деформации частиц используются относительные удлинения и сдвиги. Они связаны между собой определенными дифференциальными зависимостями, выражающими условие того, что тело, сплошное до деформации, должно оставлаться сплошным и после деформации. Как и напряжения, деформации могут изменяться при переходе от одной точки тела к другой, образуя поле деформаций.

В общем случае деформация тела не может быть описана одним скаляром. Известный советский математик, мастер альпинизма Делоне1 в своих лекциях по аналитической геометрии приводил эффектный пример аффинного преобразования2, рисуя на доске симпатичного кота в двух состояниях: исходном и после аффинного преобразования. Очевидно, что точно таким же образом можно “преобразовывать” не только животных (рис.4.2.4), но и образцы, используемые в механических испытаниях. Действительно, общеизвестно, что стандартные испытания могут проводиться не только на одноосное растяжение или сжатие, но и на кручение, и на изгиб и т. д. Что же тогда понимать под деформацией в общем случае и можно ли охарактеризовать ее одним числом? Ответ нам дает пес, показанный на рис. 4.2.4b: "То, что со мной сделали, вы не опишете одним скаляром..."

Характерной особенностью состояния сверхпластичности является способность материала претерпевать в этом состоянии весьма значительные пластические деформации. Поэтому в дальнейшем, вообще говоря, необходимо постоянно помнить об этом факторе. Однако современный аппарат теории конечных деформаций довольно сложен и требует от читателя специальной математической подготовки. Авторы поставили своей целью рассказать о сути возникающих проблем на базе использования минимально-необходимого математического аппарата. Поэтому всюду в дальнейшем, как правило, речь будет идти о малых деформациях. В этом случае описание напряженно-деформированного состояния единственно, и материал доступен студентам первых курсов технических вузов. Некоторые сведения из теории конечных деформаций будут приведены, по мере необходимости, во второй части книги.

a)	b)

Р и с. 4.2.4. Пес в исходном (а) и "деформированном" (путем аффинного преобразования) (b) состояниях

Выделим в окрестности некоторой точки М элементарный параллелепипед. Пусть dx, dy, dz - его размеры до деформации. Рассмотрим изменение его формы и размеров.

Изменение размеров: Каждое из ребер элементарного параллелепипеда удлинится или сожмется на относительную величину соответственно ex, ey, ez (см. табл. 4.2.2).

Изменение формы: В исходном состоянии все углы между гранями были равны 90°. После деформации они исказятся. Обозначим через gxy, gyz и gzx - искажения углов в координатных плоскостях xy, yz и zx соответственно. Величины ex, ey и ez называют осевыми (линейными) деформациями, а искажения углов gxy, gyz и gzx - деформациями сдвига. Можно показать, что в случае малых деформаций имеют место следующие соотношения:

ex = ¶u/¶x, ey = ¶u/¶y, ez= ¶u/¶z, (4.2.5)

gxy = ¶u/¶y + ¶v/¶x, gyz = ¶v/¶z + ¶w/¶y, gzx = ¶w/¶x + ¶u/¶z,

где u, v, w - проекции вектора перемещения точки М на оси координат.

Т а б л и ц а 4.2.2

Исходный размер	Размер после деформации	Удлинение
dx	dx+D(dx)	ex=D(dx)/dx
dy	dy+D(dy)	ey=D(dy)/dy
dz	dz+D(dz)	ez=D(dz)/dz

Cовокупность перечисленных выше деформаций называется деформированным состоянием в точке М, а ex, ey, ez, gxy, gyz и gzx называются компонентами деформированного состояния. Всего имеется 6 компонент деформированного состояния. Деформированное состояние можно анализировать так же, как и напряженное состояние. Среди множества осей, которые могут быть проведены через исследуемую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе - главными деформациями. Аналогом нормального напряжения является линейная деформация, а аналогом касательного напряжения - соответствующая касательная деформация (половина угла сдвига в соответствующей плоскости). Если все три главные деформации отличны от нуля, деформированное состояние называют объемным, пространственным или трехосным. Примером может служить одноосное растяжение цилиндрического стержня, выполненного из несжимаемого материала. В случае, если одна из главных деформаций равна нулю, деформированное состояние называют плоским или двухосным; например, прокатка без уширения или сверхпластическая формовка длинной полосы в цилиндрическую матрицу. В случае, когда лишь одна главная деформация отлична от нуля, деформированное состояние линейное, или одноосное; этот процесс не может быть реализован для несжимаемого материала.

4.3*. Основные уравнения механики сплошной среды

В этом параграфе описываются основные подходы к описанию движения сплошной среды; приведены основные уравнения механики сплошной среды, представляющие собой привычные каждому физику законы сохранения массы, энергии, импульса и момента импульса. Подробности вывода соответствующих математических выражений для этих законов не приводятся, поскольку их можно найти практически в любом учебнике по механике, cм., например, [32,33,69,75,84]. Для простоты принимается, что деформации можно считать бесконечно малыми. В общем случае, когда деформации уже нельзя считать бесконечно малыми (см. об этом во второй части книги), математические выражения становятся более сложными, хотя смысл их остается тем же самым.

4.3.1*. Лагранжев и эйлеров подходы к описанию движения сплошной среды

В механике для описания движения сплошной среды используются два подхода.

Первый, связанный с именем Лагранжа1, состоит в индивидуализации частиц сплошной среды посредством задания значений их координат x1, x2, x3 в начальный момент времени t0 в некоторой системе координат x1, x2, x3 (которая может быть как декартовой ортогональной, так и криволинейной). Для точки континуума, выделенной (“помеченной”) координатами x1, x2, x3, закон движения записывется в форме

, (4.3.1)

или в виде трех скалярных соотношений:

x1 = x1(x1, x2, x3,t)ºj1(x1, x2, x3,t) ,

x2 = x2(x1, x2, x3,t)ºj2(x1, x2, x3,t) , (4.3.1')

x3 = x3(x1, x2, x3,t)ºj3(x1, x2, x3,t) .

Поскольку частиц сплошной среды бесконечно много, то сами величины x1, x2, x3 составляют непрерывное поле. Величины x1, x2, x3 и t называют лагранжевыми переменными. Начальные координаты xi (i=1,2,3) физической точки М зафиксированы, т. е. это определенные числа, которые остаются для этой физической точки постоянными при любом t. Говорят, что координаты xi “вморожены” в среду.

Соотношение (4.3.1) называется законом движения точки . Функции ji(x1, x2, x3, t) считаются непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз по и t; соответствие между векторами и для каждого t считается взаимно-однозначным, т. е. якобиан системы (4.3.1') отличен от нуля: |¶/¶|¹0. Полагая, что (4.3.1') разрешимы относительно , получаем

, (4.3.2)

или x1 = x1(x1, x2, x3,t)ºy1(x1, x2, x3,t),

x2 = x2(x1, x2, x3,t)ºy2(x1, x2, x3,t), (4.3.2')

x3 = x3(x1, x2, x3,t)ºy3(x1, x2, x3,t).

Другой подход, который обычно связывают с именем Эйлера, заключается в том, что движение среды в любой момент времени t рассматривается относительно декартовой ортогональной системы координат . В различные моменты времени в точке находятся различные физические точки среды - вещество "протекает" в этом пространстве. Вместо того чтобы, как в методе Лагранжа, следить за параметрами движения фиксированной физической частицы, по методу Эйлера следят за тем, с какими параметрами различные физические частицы в разные моменты времени проходят через точку пространства. Таким образом, можно построить поле интересующих нас параметров в неподвижном пространстве . Это пространство с построенным в нем полем параметров движения, в первую очередь, с полем вектора скорости физических частиц, называется эйлеровым. Каждая физическая частица со временем "прочерчивает" в нем свою траекторию, причем уравнение этой траектории будет иметь вид (4.3.1). Величины x1, x2, x3, t называют переменными Эйлера.

Для того, чтобы наглядно пояснить отличие подходов Лагранжа и Эйлера, иногда приводят следующий пример. Пусть необходимо исследовать движение реки. Если сесть на плот и начать сплавляться по реке, то изучение будет происходить с точки зрения Лагранжа; если же сесть на берегу и изучать все, что проплывает мимо, это будет соответствовать подходу Эйлера. Таким образом, с определенной долей условности можно сказать, что “Эйлер смотрит с берега на проплывающего мимо него на плоту Лагранжа”.

Другое сравнение приводит в своей книге В. Прагер [69]. Рассмотрим движение автомобильного транспорта по улице с односторонним движением. Эйлерово описание соответствует наблюдениям полисмена-регулировщика, сообщающего о скоростях, с которыми машины проезжают мимо его неподвижного поста наблюдения. Лагранжево описание, напротив, соответствует наблюдениям водителей, которые сообщают о своем движении вдоль улицы.

Необходимо подчеркнуть, что оба метода изучения движения сплошной среды являются строгими и адекватными. Лагранжев способ описания движения обычно используется в механике деформируемого твердого тела, тогда как в механике жидкости и газа более распространен эйлеров способ описания.

4.3.2*. Кинематика сплошной среды

Вектор перемещения частицы определяется разностью

- , (4.3.3)

а вектор скорости этой частицы

, (4.3.4)

где точка обозначает частную производную по времени t. Вектор ускорения определяется следующим образом :

. (4.3.5)

Ниже подразумевается, что система координат xi является прямоугольной декартовой, а запятая перед индексом обозначает дифференцирование по соответствующей координате. Поскольку система координат всюду считается фиксированной, будем в дальнейшем называть тензором a и систему его компонент aij.

Следует заметить, что при малых деформациях интерпретация вектора перемещений (4.3.3) во многих случаях теряет смысл, ибо лагранжевы и эйлеровы координаты совпадают (точнее, различаются на бесконечно малые величины) и перемещения можно рассматривать лишь как векторное поле, определенное в евклидовом пространстве R3 [67,68]. Тогда вводят в рассмотрение тензор бесконечно малых деформаций eij:

, (4.3.6)

где ui – компоненты вектора перемещений . Симметричный тензор eij называется тензором малых деформаций, а его выражение через вектор перемещения (4.3.6) - соотношениями Коши.

При изучении течения сплошного тела в переменных Эйлера часто вводят в рассмотрение также тензор скоростей деформаций, компоненты которого вычисляют по формулам:

, (4.3.7)

где vi (i=1,2,3) - компоненты вектора .

4.3.3*. Уравнение неразрывности

Еще в 1756 г. 1 установил закон сохранения массы. Рассмотрим математическую формулировку этого закона в терминах сплошной среды.

Массовой плотностью r называют величину

, (4.3.8)

где DmV - масса некоторого объема сплошной среды DV. Масса mV любого фиксированного материального объема V постоянна. Закон сохранения массы деформируемого тела объемом V выражается в виде

, (4.3.9)

где t - время. Применив правило дифференцирования интеграла, взятого по подвижному объему [84], при условии сохранения массы, будем иметь:

, (4.3.10)

где - поле скоростей. Поскольку равенство (4.3.10) справедливо для произвольного объема, получим первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды:

или , (4.3.11)

где r(x, t) - поле плотности сплошной среды. Уравнение (4.3.11) называется уравнением неразрывности в переменных Эйлера. Уравнение неразрывности носит весьма универсальный характер и выполняется при движении любой материальной среды, его вид не зависит от свойств среды. Для несжимаемого материала плотность r=const, поэтому из (4.3.11) следует

¶vj/¶xj=0 или , (4.3.12)

где vj=vj(x, t) - поле скоростей.

4.3.4*. Законы сохранения энергии и импульса

Закон сохранения количества движения. Для любого индивидуального объема V сплошной среды можно написать закон сохранения импульса относительно инерциальной системы отсчета

, (4.3.13)

т. е. производная по времени количества движения объема V сплошной среды (левая часть) равняется сумме всех внешних действующих на него массовых (первое слагаемое справа, - вектор массовых сил) и поверхностных (второе слагаемое, - вектор поверхностных сил) сил; S - поверхность, ограничивающая объем V. Равенство (4.3.13) является основным постулируемым динамическим соотношением механики сплошной среды. Подобно тому, как второй закон Ньютона является исходным уравнением в механике точки, уравнение сохранения количества движения (4.3.13) положено в основу механики сплошной среды. Оно является исходным уравнением для описания любых движений сплошной среды, в том числе и разрывных движений, например, ударных процессов. Уравнение (4.3.13) справедливо для любых, в том числе и сколь угодно малых объемов сплошной среды, поэтому из него вытекает следующее дифференциальное уравнение движения сплошной среды (в декартовой системе координат):

, (4.3.14)

где - напряжения на фиксированных площадках, параллельных координатным плоскостям прямоугольной декартовой системы координат.

Закон сохранения моментов количества движения. Производная по времени от момента количества движения произвольного индивидуального объема V сплошной среды относительно некоторой точки O (связанной с инерциальной системой координат) равна сумме моментов внешних массовых и поверхностных сил, действующих на этот объем, относительно той же точки О:

. (4.3.15)

Уравнение сохранения моментов количества движения не вытекает из уравнения количества движения (4.3.14) и постулируется в механике сплошной среды. Оно применяется для любых сплошных сред и для любых движений как непрерывных, так и с наличием характеристик, разрывных по координатам точек пространства и (или) по времени.

Закон сохранения механической энергии может быть записан в следующем виде:

, (4.3.16)

где sij - компоненты тензора напряжений, vij задаются формулами (4.3.7). Сумма производной от кинетической энергии объема V (первое слагаемое слева) и мощности внутренних напряжений (второе слагаемое слева) равно мощности А массовых сил в объеме V и поверхностных сил на S.

Если рассматриваются неизотермические процессы, то требуется привлечение основных законов термодинамики. Первый закон термодинамики постулирует существование функции состояния U, называемой внутренней энергией, и записывается в интегральном виде следующим образом:

. (4.3.17)

Здесь q - массовый поток тепла, qn - проекция вектора внешнего потока тепла на нормаль к поверхности S: . Внутренняя энергия, как и любая функция состояния, зависит от внешнего термодинамического параметра состояния, которым является температура Т, и некоторых внутренних параметров состояния, которые характеризуют рассматриваемую среду.

Второй закон термодинамики постулирует существование некоторой функции состояния H, называемой энтропией, и записывается в интегральном виде следующим образом:

, (4.3.18)

где W* - так называемая функция рассеяния, причем W*³0. Если функция рассеяния равна нулю, то среда называется обратимой; если она строго больше нуля, то среда необратимая. Последнее слагаемое в правой части уравнения (4.3.18) называют производством энтропии H*, причем

. (4.3.19)

Можно показать, что при определенных условиях из второго закона термодинамики вытекает уравнение теплопроводности. В тех случаях, когда задачу теплопроводности (температурную задачу) можно решить отдельно, а потом включить ее решение в уравнения механики сплошных сред в виде зависимости от температуры входящих в нее коэффициентов, говорят, что задача - несвязанная. Однако в некоторых случаях уравнение теплопрооводности нельзя решить отдельно от уравнений движения сплошной среды, например в случае, когда уравнение теплопроводности имеет следующий вид (см. ч. II, гл. 3):

, (4.3.20)

где c0 - теплоемкость; l - коэффициент теплопроводности; k1 - постоянная; su - интенсивность напряжений; vu - интенсивность скоростей деформаций. Параметры c0 и l, вообще говоря, могут зависеть от температуры. Если величина постоянной k1 отлична от нуля, то уравнения движения не могут быть решены отдельно от уравнения теплопроводности, т. е. получается связанная задача.

Как видно из вышеизложенного, все уравнения механики сплошных сред представляют собой законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса и момента импульса (уравнения движения), энергии и баланс энтропии (уравнение теплопроводности).

4.3.6*. Уравнения движения сплошной среды

Проектируя уравнение (4.3.14) на декартовы оси координат x, y,z, можно получить следующие уравнения движения сплошной среды в декартовой системе координат:

,

, (4.3.21)

.

Конечно, уравнения движения сплошной среды могут быть записаны не только в прямоугольной декартовой, но и в криволинейной системе координат. Например, в цилиндрической системе координат:

,

, (4.3.22)

.

Здесь srr, sjj, szz, srj, srz, sjz - компоненты тензора напряжений, Fr, Fj, Fz - компоненты вектора массовых сил, r - плотность среды, ar, aj, az - компоненты ускорения, которые в цилиндрической системе координат вычисляются по формулам:

,

, (4.3.23)

.

4.3.7*. Граничные и начальные условия

Уравнения движения сплошной среды представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Исследованием свойств этих уравнений и методов их решения занимается раздел математики "Математическая физика". Уравнения и методы математической физики чрезвычайно разнообразны и непрерывно развиваются. Чтобы решить эти уравнения необходимо, во-первых, задать картину процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия) и, во-вторых, задать условия на границе той среды, где протекает этот процесс (граничные условия). В то время как граничные условия задаются только на граничных точках области, где ищется решение краевой задачи (например, на поверхности тела), начальные условия должны быть заданы на определенном множестве точек внутри области. Начальные и граничные условия образуют краевые условия.

Для задач, в которых рассматривается равновесие сплошной среды, начальные условия не ставятся; если же речь идет о движении сплошной среды, такую задачу иногда называют начально-краевой задачей механики деформируемого твердого тела.

Начальными условиями называют значения искомых механических переменных в каждой точке М деформируемого тела в начальный момент времени (t=0). Начальные условия назначают, исходя из физической обстановки, сопутствующей моменту начала деформации. Вообще говоря, задание начальных условий - задача нетривиальная, однако она сильно упрощается, если можно принять, что в начальном состоянии (при t=0) тело находится в естественном состоянии (напряжения тождественно равны нулю), а температура его постоянна во всех точках (или задано ее распределение при t=0).

Принято различать граничные условия двух типов: температурные и механические. Температурные граничные условия задают тепловой режим на границе той среды, где протекает рассматриваемый процесс: например, на свободной поверхности деформируемого тела возможен его нагрев или, наоборот, охлаждение; инструмент также может быть нагретым или подстуженным. Механические граничные условия определяют внешнее механическое воздействие. Если на границе заданы силовые факторы, говорят, что имеет место динамическое нагружение; если задано перемещение инструмента, нагружение кинематическое. Поверхность деформируемого тела S представляют состоящей из нескольких частей: S1 - поверхность, на которой задают напряжения; S2 - поверхность, на которой задают перемещения; S3, где задают и перемещения, и напряжения. Соответствующие примеры можно найти в любом учебнике по теории упругости (см., например, список рекомендованной литературы в конце этой главы).

В задачах обработки металлов давлением в состоянии СП задание граничных условий имеет свои характерные особенности. На свободной поверхности нормальные и касательные напряжения принимаются равными нулю. На поверхности контакта "инструмент-заготовка" могут приниматься самые разнообразные виды граничных условий. Рассмотрим некоторые из них. Очевидно, что деформируемый материал не может оказаться внутри инструмента, поэтому на S1 практически всегда принимается условие непроницаемости. Для описания взаимодействия инструмента и заготовки используют различные условия: а) прилипание деформируемого металла к поверхности инструмента; б) свободное скольжение частиц деформируемого материала относительно инструмента (иногда может допускаться даже отрыв заготовки от инструмента); в) тот или иной закон трения (например, Амонтона-Кулона или Зибеля). Подробнее речь о граничных условиях в задачах ОМД в состоянии СП пойдет во второй части.

У кого-то может возникнуть следующий вопрос: а всегда ли необходимо задавать начальные и граничные условия, и вообще, зачем они нужны? Ответ на поставленный выше вопрос зависит от типа уравнения. Для разных уравнений - эллиптических, параболических, гиперболических - начально-краевая задача ставится по-разному. Для уравнений эллиптического типа (например, уравнения равновесия упругих, упруго-пластических материалов) начальные условия не имеют смысла и поэтому не задаются. В то же время в гиперболических уравнениях (например, волновые динамические уравнения) задание начальных условий обязательно. Подробнее со свойствами таких уравнений и методами их решения можно познакомиться в специальной литературе1.

Общая постановка краевой задачи механики СП, некоторые модельные задачи, типичные упрощения и варианты некоторых постановок, известные из литературы, приведены во второй части книги.

 

[1] По воспоминаниям , опубликованным в журнале “Наука и жизнь”, №2, 1998.

1 (1900-1980) - математик и механик, академик АН СССР (1946) и АН УССР (1939), вице-президент АН СССР; инициатор создания Сибирского Отделения АН СССР и его председа-1975).

1 Bell J. F. Int. J.Plasticity, 1995. V. 11, № 1. P. 119-144.

1 С этой целью использованы некоторые сведения из книг Дж. Белла [3] и [64].

1 Сейчас принято вводить в рассмотрение и понятие о поврежденной среде; в этом случае механические свойства определяются не только для идеальной (неповрежденной) среды, но принимается во внимание и накопление повреждений.

2 В дальнейшем наряду с термином "определяющие соотношения" будет использоваться также термин "математическая модель". В зарубежной литературе соответствующие понятия обозначаются терминами constitutive laws (equations) или mathematical model.

1 Навье (Navier) Анри () - французский инженер и ученый. Вывел в 1822 г. диф. уравнения движения вязкой жидкости. Автор курса сопротивления материалов и др.

Стокс Джордж Габриель (Stokes George Gabriel) () - английский физик и математик, член Лондонского королевского общества (1851) и его президент (), член Парижской АН (1900). Окончил Кембриджский университет (1841), с 1849 профессор там же. Основные труды по физике. Вывел (1854) одну из важнейших формул векторного анализа (формула Стокса).

1 Ламе Габриель (Lame Gabriel) () - французский математик и инженер, чл.-корр. Петербургской АН (1829), член Парижской АН (1843). В работал в России - в институте корпуса инженеров путей сообщения в Петербурге. Основные труды по математической физике и теории упругости. Разработал (1833) общую теорию криволинейных координат, ввел так называемые коэффициенты Ламе (1859) и функции Ламе (1839). В 1852 г. решил задачу о равновесии толстостенного цилиндра, нагруженного внутренним и внешним давлениями; это решение широко используется в механике.

1 Коши (Cauchy) Огюстен Луи () - французский математик, иностранный почетный член Петербургской АН (1831). Автор классических курсов математического анализа.

2 Эйлер (Euler) Леонард () - выдающийся математик, механик, физик и астроном. Родился в Базеле (Швейцария). Учился () в Базельском университете, где его учителями были известные математики того времени Якоб и Иоганн Бернулли. В 1726 г. был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 г. в Россию. Был адъюнктом (1726), а в и с 1766 академиком Петербургской АН (в иностранный почетный член). В работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер - ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности, автор свыше 800 научных работ. Значительный интерес представляет и его научная переписка (около 3 000 писем).

1 См., например, книгу А., Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959.

[2] В частности, этот закон неприменим для намагничивающихся материалов, домены которых подвержены воздействию сосредоточенных моментов.

1 () - российский математик, член-корреспондент АН СССР (1929). Окончил Киевский университет (1913), профессор Ленинградского () и Московского (с 1935) университетов. Один из старейших российских альпинистов, имел звание мастера спорта по альпинизму (1937).

2 Аффинное преобразование - геометрическое преобразование плоскости или пространства, которое можно получить, комбинируя движения, зеркальные отражения и гомотетии (преобразование подобия) в направлении координатных осей; оно задается линейным преобразованием координат.

1 Лагранж (Lagrange) Жозеф Луи () - французский математик и механик, иностранный почетный член Петербургской АН (1776), член Парижской АН (1772). Родился в семье обедневшего чиновника. В 19 лет стал профессором в артиллерийской школе Турина.

1 () – выдающийся русский ученый, член Петербургской АН (1745). В 1756 г. выполнил классический опыт, показав, что в запаянном сосуде при нагревании без доступа воздуха вес металла не увеличивается, при этом общая масса сосуда остается неизменной.

1 См., например, , Самарский математической физики. М.: Наука, 19с.