Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Школьный этап уч. г.

5 класс

Продолжительность -2 урока

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

5.1. Дан бесконечный ряд чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... . Укажите закономерность и найдите число, стоящее на 2011 – ем месте.

5.2. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?

5.3. Разрежьте фигуру (см. рисунок) на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

5.4. Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?

5.5.Предложил черт лодырю: «Всякий раз, как перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей.» Трижды перешел лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Школьный этап уч. г.

6 класс

Продолжительность -2 урока

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

6.1. Найдите дробь со знаменателем 19, которая больше 5/7, но меньше 6/7.

6.2. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

    Если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим; Первая цифра больше последней в 4 раза.

6.3. В правом и левом карманах у меня всего 35 руб. Если из правого кармана в левый переложить столько рублей, сколько было в левом, то в правом будет на 3 рубля больше, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане было первоначально? Сколько различных диагоналей можно провести в многоугольнике, в котором 2010 углов?

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

6.4.В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?

6.5. Разрежьте квадрат на два равных (по форме и размеру) а) пятиугольника; б) шестиугольника

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Школьный этап уч. г.

8 класс

Продолжительность 3 урока

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

8.1. Вычислить

8.2. При каких значениях m уравнения mx – 1010 = 1001 и 1001x = m – 1010x имеют общий корень?

8.3. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

8.4. В трех ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором — на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике? Решить логически.

8.5.Для каждой из изображенных на рисунке фигур придумайте способ разрезать ее на две части, из которых можно сложить квадрат.

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Школьный этап уч. г.

10  класс

Продолжительность -4 урока

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

10.1. Вычислите

при а= -2011

10.2. Известно, что . Найти

10.3. Решите уравнение .

10.4. Решить уравнение в простых числах

10.5. В треугольнике АВС площадью 90 биссектриса АD делит сторону ВС на отрезки BD и CD, причем BD:CD=2:3. Отрезок BL пересекает биссектрису AD в точке Е и делит сторону АС на отрезки AL и СL такие что, AL:CL=1:2. Найти площадь четырехугольника EDCL.

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Школьный этап уч. г.

11 класс

Продолжительность 4 урока

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

11.1. Постройте график функции .

11.2. Решите неравенство: .

11.3. Определите b так, чтобы сумма квадратов корней уравнения х2 + (5 – b )х – b -1 = 0 была наименьшей.

11.4. ABCDA1 B1C1D1 – правильная четырехугольная призма. Длина стороны основания см, боковое ребро равно см. Паук находится в центре грани ABA1 B1. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности призмы в вершину С?

11.5. Решите уравнение 1 – 2х – х2 = tg2(x + y) + ctg2(x + y).

11.6. Докажите, что число а) целое; б) делится на 2013.