Основы теории групп, курс лекций (стр. 3 )

G = G ,

G = G .

Дадим внутреннее определение прямого произведения через подгруппы — в отличие от внешнего определения, когда самой группы еще нет, и перемножаются группы, имеющие самую разную природу. Например, группа подстановок может умножаться на группу обратимых матриц относительно операции умножения или на группу комплексных чисел относительно операции сложения.

Пусть группа G порождается своими нормальными подгруппами Gi, причем каждый элемент g из G допускает запись, где все индексы i1,..., im различны, а неединичные множители однозначно определяются элементом g. Тогда говорят, что группа G разлагается в прямое произведение подгрупп Gi.

Очевидно, группа G тогда и только тогда разлагается в прямое произведение своих подгрупп Gi, когда она изоморфна прямому произведению абстрактных групп Gi. Поэтому для группы G, разложимой в прямое произведение подгрупп Gi, используется та же запись, что и для прямого произведения абстрактных групп Gi.

Определение. Группа G называется прямым произведением своих подгрупп H1, H2, .. , Hn, если выполнены следующие три требования:

1) подгруппы H1, H2, ..., Hn являются нормальными делителями группы G.

2) группа G порождается подгруппами H1, H2, ... , Hn.

3) пересечение всякой подгруппы Hi, i=1, 2, ..., n, с подгруппой, порожденной всеми группами Hj, j i, равно E.

Это определение можно заменить следующим, ему эквивалентным:

1') элементы из любых двух подгрупп Hi и Hj, i j, перестановочны между собой.

2') всякий элемент g из G однозначно записывается в виде

произведения

g=h1h2 ... hn,

где hi Hi, i=1, 2, ... , n.

Примером разложимых в прямое произведение групп служит аддитивная группа комплексных чисел, разлагающаяся в прямое произведение действительных и чисто мнимых чисел. Также группа по умножению ненулевых действительных чисел является прямым произведением группы положительных действительных чисел и циклической группы второго порядка, порожденной числом -1. Нециклическая абелева группа 4-го порядка — прямое произведение двух циклических групп порядка 2.

Упражнение. Доказать, что циклическая группа порядка mn, где m и

n взаимно простые числа, разлагается в прямое произведение своих собственных подгрупп.

Подгруппа A прямого произведения называется подпрямым произведением групп Gi, если проекция A на каждый множитель Gi совпадает с Gi. Подчеркнем, что подпрямое произведение не определяется множителями однозначно. Очевидно, каждая подгруппа прямого произведения есть подпрямое произведение своих проекций. Это не всегда будет прямое произведение — контрпримером служит диагональ D прямого квадрата G G, состоящая из пар (g, g), g G.

Упражнение. Пусть G=G1 G2, A — подгруппа из G, Ai — ее проекция на множитель Gi, i=1, 2. Доказать, что A разлагается в прямое произведение A1 A2 тогда и только тогда, когда Ai = Gi A, i=1,2.

По аналогии с подпрямыми произведениями определяются поддекартовы произведения: подгруппа A декартова произведения

G =

называется поддекартовым произведением групп Gi, если проекция A на каждый множитель Gi совпадает с Gi. Очевидно, любое подпрямое произведение групп Gi будет и поддекартовым произведением этих групп.

Примером может служить группа GLn(Z), изоморфная подгруппе декартова произведения конечных групп GLn(Zm), m=1, 2,...

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений

Полупрямое произведение, свободное произведение, свободное произведение с объединенной подгруппой, равномерное произведение.

Отметим, что все обсуждавшиеся расширения расщепляемы в следующем смысле: расширение G группы A посредством группы B называется расщепляемым, если в G существуют такие подгруппы H, K, что

G = HK, B K, A H G, H K =1.

Очевидно, что тогда K G/A. Говорят также, что G —полупрямое произведение групп A и B, и пишут G = A B.

Так же как и для прямого произведения, для данной конструкции можно рассматривать внутреннее определение:

Группа G разлагается в полупрямое произведение A B своих подгрупп A и B, если выполнены следующие три требования:

1. Подгруппа A является нормальным делителем группы G.

2. Группа G порождается подгруппами A и B.

3. Пересечение A B равно E.

Из этого определения очевидно вытекает некоммутативность операции в классе групп и отличие полупрямого произведения от прямого.

Группы, обладающие дополняемым нормальным делителем, т. е. разложимые в полупрямое произведение этого нормального делителя и некоторой подгруппы, встречаются весьма часто. Естественно возникает следующее обобщение этой конструкции:

Группа G называется полупрямым произведением своих подгрупп Ai, где i пробегает вполне упорядоченное по возрастанию множество

индексов I, если:

1) G = { Ai, i I } ;

2) для всех j I подгруппа Gj = { Ai, i<j } инвариантна в G;

3) для всех j I пересечение подгруппы Gj с подгруппой G(j) = = { Ai, i j} равно E.

Этому определению равносильно утверждение, что группа G обладает возрастающим инвариантным рядом, все члены которого дополняемы в G; факторы этого ряда будут изоморфны группам Ai, i I.

Примером группы, разлагающейся в полупрямое произведение своих подгрупп, является группа подстановок третьей степени.

Свободное произведение. Свободное произведение дает, подобно прямому произведению, некоторую возможность из заданных групп построить новую группу. Оно отличается от прямого произведения тем, что в его определении отсутствует содержащееся в определении прямого произведения требование перестановочности элементов, входящих в различные прямые множители.

Группа G называется свободным произведением своих подгрупп A, отличных от E ( пробегает некоторое множество индексов), если подгруппы A в совокупности порождают всю группу G, т. е. если всякий элемент g из G является произведением конечного числа элементов, взятых из A,

g = a1a2 ... an, ai A, i = 1, 2, ... , n,

и если всякий элемент g из G обладает единственной записью такого вида при условии, что все элементы ai отличны от единицы и что не могут стоять рядом два элемента из одной подгруппы A, хотя, вообще говоря, произведение может содержать несколько множителей, входящих в одну такую подгруппу. Такая запись элемента g является несократимой.

Для записи свободного произведения употребляется символ *. Если группа G есть свободное произведение своих подгрупп A1, A2, ... , Ak, то

G = A1*A2* ... *Ak.

Подгруппы A называются свободными множителями группы G, входящими в свободное разложение. Из единственности несократимой записи элемента свободного произведения следует, что пересечение любого свободного множителя с подгруппой, порожденной в G всеми остальными множителями этого разложения, равно E.

Пусть группа G разложима в свободное произведение своих истинных подгрупп. Пусть два элемента a1 и a2, отличны от единицы и принадлежат различным свободным множителям. Из определения свободного произведения следует, что произведения a1a2 и a2 a1 будут различными элементами группы G, т. е. группа G непременно некоммутативна, даже если все свободные множители A абелевы. Далее, все произведения

a1a2, (a1a2)2, (a1a2)3, ... , (a1a2)n, ...

также являются различными элементами группы G, т. е. группа G непременно обладает элементами бесконечного порядка, даже если все свободные множители A периодичны. Таким образом, как абелевы, так и периодические (в том числе и конечные) группы неразложимы в свободное произведение.

К числу групп, разложимых в свободное произведение, принадлежат свободные группы, а именно: свободная (нециклическая) группа является свободным произведением бесконечных циклических групп.

В некоторых случаях оказывается полезной более общая конструкция, чем свободное произведение. Пусть даны группы A, где пробегает некоторое множество индексов, и пусть в каждой из групп A выбрана истинная подгруппа B так, что все эти подгруппы изоморфны одной и той же группе B. Через обозначим определенное изоморфное отображение B на B; =-1 будет поэтому изоморфным отображением B на B.

Определение. Свободным произведением групп A с объединенной подгруппой B называется фактор-группа G свободного произведения групп A по нормальному делителю, порожденному всеми элементами вида bb-1, где b= b, b пробегает всю подгруппу B, а и — всевозможные пары индексов.

Приведем еще один вид произведений групп: равномерное произведение. В равномерном произведении любые две циклические подгруппы, взятые в различных множителях данного разложения, перестановочны между собой.

Пусть G — группа, I — непустое множество индексов, состоящее не менее чем из двух элементов, и Ai, i I, — некоторые (необязательно попарно различные) подгруппы группы G. Будем говорить, что группа G является равномерным произведением подгрупп Ai, iI, если она порождается ими и при любых различных индексах iI и j I произвольная циклическая подгруппа группы Ai перестановочна с произвольной циклической подгруппой группы Aj.

Описание групп, представимых в виде равномерного произведения своих примарных подгрупп, дает следующая теорема.

Теорема 14.1 (теорема Шункова). Группа G тогда и только тогда может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп, когда она является полупрямым произведением G=AB двух таких подгрупп A и B, разложимых в прямое произведение своих силовских p-подгрупп по разным p, что первая из них абелева и порождается своими циклическими подгруппами, инвариантными в G.

С доказательством теоремы можно ознакомиться, например, в [34].

Обобщением понятия равномерного произведения является обоб-щенно равномерное произведение групп, введенное . Группа G называется обобщенно равномерным произведением своих подгрупп Qi, i Î I, если: G= <Qi | i Î I>, где Qi – qi-подгруппы, и выполняются условия:

1) QiQj = QjQi, i, j Î I;

2) если Qi обладает элементарной абелевой подгруппой Ri порядка
³ qi2, то Ri перестановочна с любой нециклической элементарной абелевой подгруппой из Qj, i ¹ j;

3) группа, порожденная всеми Qj, не содержащими элементарных абелевых подгрупп порядка ³ qj2, является равномерным произведением подгрупп Qj.

Пример. Группа G – группа вида G=(P´P) A, где P – группа простого порядка p, A – ненильпотентная подгруппа группы Aut(P´P), причем (p,|A|)=1. Покажем, что такая группа действительно существует. Известно, что Aut(P´P) изоморфна группе GL2(p). Таким образом, группу A, будем искать как подгруппу группы GL2(p) вида Q R, где Q и R соответственно q- и r-подгруппы циклические или элементарные абелевы ранга 2. Рассмотрим случай, когда p=5. В GL2(5) найдется подгруппа A следующего вида A=Q R, где Q и R подгруппы порядков 3 и 2 соответственно. Запишем элементы подгрупп Q и R в виде конкретных матриц:

В этом случае элементы порядка 3 подгруппы Q являются строго вещественными относительно инволюции подгруппы R. Таким образом, A = <Q,R> = Q R. Группа G = (P´P) Q R разлагается в обобщенно равномерное произведение подгрупп Q1 = P´P, Q2 = Q и Q3 = R, т. к.:

1) QiQj = QjQi, i, j = 1,2,3;

2) подгруппой порядка ³ обладает только Q1, а подгруппы Q2 и Q3 нециклических подгрупп не содержат;

3) <Q2,Q3> есть равномерное произведение подгрупп Q2 и Q3.

Тема 15. Ряды в группах

Нормальный ряд, субнормальный ряд. Виды групп, обладающих рядами. Важнейшие обобщения коммутативности — разрешимость и нильпотентность. Разрешимые группы — это группы, которые можно собрать из абелевых групп при помощи нескольких последовательных расширений. Они связаны с задачей о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, которой обязаны и самим названием. Нильпотентные группы составляют класс, промежуточный между абелевыми и разрешимыми группами. Они определяются более сложно и допускают более глубокое изучение.

Пусть в группе G дан инвариантный ряд

Е = A0<A1<A2<...<Ai <...< An =G.

Назовем этот ряд центральным, если при i = 0, 1, ... , n-1 фактор-группа Ai+1/Ai содержится в центре фактор-группы G/Ai.

Определение. Группа G, обладающая хотя бы одним центральным рядом, называется нильпотентной.

Перечислим без доказательства ряд свойств нильпотентных групп (их доказательства можно найти в [13]).

В любой нильпотентной группе совокупность периодических элементов есть подгруппа (периодическая часть).

Любая подгруппа нильпотентной группы субнормальна.

Конечный нормальный или инвариантный ряд группы называется разрешимым рядом, если все его факторы абелевы.

Группа G называется разрешимой, если она удовлетворяет одному из требований:

1) группа G обладает конечным разрешимым нормальным рядом;

2) группа G обладает конечным разрешимым инвариантным рядом;

3) убывающая цепь коммутантов группы G через конечное число шагов обрывается на единичной подгруппе.

Теорема 15.1 (Теорема Ито). Пусть группа G является произведением двух абелевых подгрупп. Тогда G метабелева (разрешима ступени 2).

Доказательство. Рассмотрим произведение двух абелевых подгрупп G = AB. Из свойств коммутаторов вытекает [ab,c]=[a,c]b[b,c], [a,bc]=[a,c][a,b] c.

Покажем, что коммутант группы G порождается коммутаторами вида [a,b], где a A, b B.

Так как G = AB, то из , следует и из следует .

Возьмем два произвольных коммутатора x = [a,b], y = [a1,b1], где a, a1 A, b, b1 B.

Из полученного равенства xy=x, вытекает xy=yx. Таким образом, показано, что все коммутаторы группы порождают абелев коммутант. Теорема доказана.

Тема 16. Теорема Силова

Силовские подгруппы. Теорема Силова. В 1872 г. была доказана основная для теории конечных групп теорема, описывающая строение максимальных p-подгрупп конечной группы. Теорема доказана норвежским математиком Л. Силовым. Поэтому максимальные p-подгруппы названы в его честь силовскими p-подгруппами.

Напомним, что группа, порядки всех элементов которой являются степенями некоторого фиксированного простого числа p, называется p-группой.

Определение. Максимальная p-подгруппа называется силовской p-подгруппой.

Теорема 16.1. (Теорема Силова). Пусть G – конечная группа, p – простое число. Для каждой степени pk, делящей порядок G, в G существует подгруппа порядка pk. Если pk делит порядок G, то каждая подгруппа порядка pk из G вложена в некоторую подгруппу порядка pk+1 из G. В частности, силовские p-подгруппы из G – это в точности подгруппы порядка pr, где pr – максимальная степень p, делящая порядок G. Все силовские p-подгруппы из G сопряжены в G. Количество силовских p-подгрупп из G сравнимо с единицей по модулю p и делит порядок G.

Доказательство теоремы Силова можно найти в учебнике [13].

Применения теоремы Силова. Теорему Силова можно применять для выяснения строения групп небольших порядков. С ее помощью можно выяснить простоту группы, иногда найти точное количество силовских подгрупп, решать другие вопросы о строении группы.

Тема 17. Алгебраические системы

Примеры алгебраических систем. Если на множестве задана бинарная операция, то в зависимости от свойств этой операции множество является группоидом, полугруппой, квазигруппой, лупой или группой.

Группоид — множество, на котором задана бинарная операция.

Отмечают, что на множестве задана бинарная операция, если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам множества единственный элемент этого же множества.

Полугруппа — множество с ассоциативной бинарной операцией.

Пример. Правило нахождения разности чисел задаёт бинарную операцию на множестве целых чисел. Полученный так группоид не является полугруппой.

Пример. Правила сложения и умножения чисел на множестве натуральных чисел задают полугрупповые операции.

Пример. Пусть - множество всех преобразований непустого множества . Бинарная операция последовательного выполнения преобразований на множестве является полугрупповой операцией.

Множество с бинарной операцией, в котором для любых элементов a, b уравнения ax=b, xa=b имеют единственные решения в нем, называется квазигруппой.

Бинарную операцию * на множестве S из n элементов можно задать таблицей их умножения, в которой входной строкой и входным столбцом является список элементов множества S, а на пересечении строки с входом a и столбца с входом b располагается значение операции a*b.

Такая таблица называется таблицей Кэли для группоида S с операцией *. Обычно . Если таблицу Кэли задаёт квадратная матрица порядка n, каждая строка и каждый столбец которой являются перестановкой элементов множества S, то такая матрица называется латинским квадратом, построенным на множестве S. Латинский квадрат существует для любого натурального числа n. Например, матрица , где является латинским квадратом.

Каждый латинский квадрат можно рассматривать как таблицу умножения квазигруппы. Верно и обратное: таблица умножения конечной квазигруппы есть латинский квадрат. Для того чтобы латинский квадрат являлся таблицей Кэли группы, необходимо и достаточно выполнение условия: если то

Лупа — квазигруппа с единицей, т. е. с таким элементом e, что ae = ea = a для любого элемента x из квазигруппы.

Если группоид удовлетворяет аксиомам квазигруппы и полугруппы, то он является группой.

Напомним, что множество G с бинарной операцией называется группой: если выполняется ассоциативность (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G; существует единичный элемент e: ae = ea = a для любого элемента a из G; для каждого элемента a из G в G существует обратный элемент a-1: a-1a=aa-1=e.

Свойства ассоциативности и коммутативности операций независимы. Примеры ассоциативных, но не коммутативных операций уже встречались. Примером коммутативной, но не ассоциативной операции на множестве рациональных чисел служит операция нахождения среднего арифметического:

.

Если на множестве задано две операции, то в зависимости от свойств этих операций множество является либо кольцом, либо полем.

Ассоциативное кольцо — это множество с двумя бинарными операциями — сложением и умножением, причем по сложению это абелева группа, по умножению для ненулевых элементов выполняется ассоциативность, и операции связаны законом дистрибутивности a(b+c) = ab+ac и (b+c)a = ba+ca для любых элементов a,b,c множества.

Примерами колец являются числовые кольца целых, рациональных и действительных чисел. Операции умножения в этих кольцах коммутативны, и кольца обладают единицами. Примером кольца без единицы служит множество всех четных чисел относительно обычных операций сложения и умножения.

Кольцо называется полем, если множество всех его ненулевых элементов относительно операции умножения — абелева группа.

Относительно обычных операций сложения и умножения ненулевых элементов полями являются множества рациональных и действительных чисел. Для каждого простого числа p множество целых чисел по модулю p образует поле относительно сложения и умножения ненулевых остатков.

РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ

Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности

Группы с условиями минимальности и максимальности. Определение. Группа удовлетворяет условию минимальности для

подгрупп (короче, условию минимальности), если не существует ни одной бесконечной убывающей цепочки ее подгрупп.

Группы с условием минимальности, как правило, изучались при некоторых дополнительных ограничениях. Наиболее важным из таких ограничений является локальная разрешимость группы, которая позволила построить теорию локально разрешимых групп с условием минималь-ности.

В этом решающая роль принадлежит и его школе.

Группы с условием минимальности изучались также при других ограничениях, более общих, чем локальная разрешимость. Однако методы, созданные для локально разрешимого случая, являлись опре-деляющими в такого рода обобщениях.

Дальнейшее продвижение в теории групп с условием минимальности было приостановлено трудностями, которые возникли при попытках обобщить известную теорему Черникова на произвольные группы с условием минимальности. В связи с этим в известном обзоре Куроша–Черникова в 1947 г. была поставлена проблема, получившая название проблемы минимальности, которая формулируется в следующей форме:

Будет ли бесконечная группа с условием минимальности (в частности, локально конечная группа с условием минимальности) конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп?

Как отмечалось, только сравнительно недавно эта проблема была решена отрицательно .

Первый результат принципиального характера был получен в 1963 г. [12]. Опираясь на теоремы Файта–Томпсона [41] и Брауэра о централизаторе инволюции в конечной группе четного порядка [18], решил отрицательно проблему Шмидта в классе локально конечных групп, являющуюся частным случаем проблемы минимальности (позднее этот результат передоказывался в работах [30, 39, 42]).

Если проблема минимальности решается отрицательно, то нетрудно доказать существование такой бесконечной группы G, что G не является конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп, а любая ее собственная бесконечная подгруппа является таковой, причем, как легко показать, группу G можно считать простой.

Ввиду теоремы 6 из [39] группа G является бесконечным объединением конечных простых групп и, следовательно, по теореме Файта–Томпсона [41] содержит инволюции.

Таким образом, решение проблемы минимальности обусловливается существованием бесконечной серии неизвестных конечных простых групп. Разумеется, такая редукция не может быть удовлетворительной, т. к. открывать новые бесконечные серии простых групп и проверять, будет ли их объединение удовлетворять условию минимальности, – занятие не из легких.

Родственными к условию минимальности являются условия примарной минимальности и минимальности для абелевых подгрупп.

Определение. Группа G удовлетворяет условию примарной минимальности, если для любого простого p каждая цепь

G1 > G2 > … > Gn > …

подгрупп из G такая, что в любой разности Gn \ Gn+1 содержится элемент gn с условием, что его степень с показателем содержится в Gn+1 для некоторого kn, обрывается через конечное число шагов (определение принадлежит ).

Полное описание локально конечных групп с условием примарной минимальности получено в работах и . Группы Шункова с условием примарной минимальности изучены (определение группы Шункова см. в следующей теме).

Определение. Группа удовлетворяет условию минимальности для

абелевых подгрупп, если не существует ни одной бесконечной убывающей цепочки ее абелевых подгрупп.

В классе групп Шункова решения проблем минимальности и минимальности для абелевых подгрупп были получены с и .

Определение. Группа удовлетворяет условию максимальности для

подгрупп (короче, условию максимальности), если не существует ни одной бесконечной возрастающей цепочки ее подгрупп.

Простейшим примером бесконечной группы, удовлетворяющей условию максимальности, является бесконечная циклическая группа.

Группа с условием максимальности и ее подгруппы обладают конечным числом образующих. Действительно, пусть в группе G обрываются все возрастающие цепочки подгрупп и пусть A есть подгруппа из G. Выбираем в A элемент a1 и обозначаем его циклическую группу через A1. Пусть в A уже выбрана подгруппа An с конечным числом образующих. Если она еще отлична от A, то выбираем в A, но вне An, элемент an+1 и полагаем An+1 = < An, an+1>. Возрастающая цепочка подгрупп

A1 A2 … An…

должна оборваться, т. е. при некотором n будет An = An. Отсюда следует конечность числа образующих в подгруппе A. Обратно, если в группе G существует бесконечная возрастающая цепочка подгрупп