Основы теории групп, курс лекций (стр. 5 )

Полученные линейные представления циклических и диэдральных групп позволяют рассматривать их как подгруппы специальной линейной группы матриц степени 3 с единичным определителем над полем действительных чисел относительно обычного умножения матриц. Относительно такого умножения группой является и множество всех обратимых матриц степени над коммутативным кольцом с единицей. Очевидно, — подгруппа группы и подгруппа некоммутативна при

Свойства групп подстановок и интересные упражнения по ним можно найти в [7].

Тема 22. Группы движений

Геометрические преобразования. Движения. Симметрии фигур.

Взаимно однозначное отображение пространства на себя называется преобразованием пространства. Движением называется преобразование пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя его точками.

Теорема 22.1 (Леонардо да Винчи). Всякая конечная группа движений плоскости является либо группой либо группой

Доказательство. Пусть — группа, — множество, для каждого и каждого в определён элемент Напомним, что группа действует на множестве если для её единицы и её элементов справедливы равенства и Множество называют орбитой элемента Пусть — конечная группа движений и — произвольная точка плоскости. Центр тяжести системы точек под действием любого элемента должен переходить в себя. Следовательно, может содержать лишь повороты вокруг точки и симметрии относительно прямых, содержащих точку Если среди всех поворотов, входящих в выбрать поворот на наименьший угол то все остальные повороты будут ему кратны. Таким образом, повороты образуют в подгруппу

Предположим, что группа содержит кроме хотя бы одну симметрию относительно прямой проходящей через точку Покажем тогда, что содержит симметрий с осями, пересекающимися в точке и углом между соседними осями. Представим поворот как композицию двух осевых симметрий с углом между их осями и Так как то но т. е. Так, получаем, что содержит и другие симметрии с указанными осями. Получаем, Теорема доказана.

Группы симметрий правильных многогранников. Конечные и бесконечные группы симметрий пространственных и плоских фигур. В зависимости от знака определителя матрицы, задающей движения пространства, различают собственные и несобственные движения. Определитель матрицы несобственного движения отрицателен. Группу всех собственных движений, совмещающих фигуру с собой, будем обозначать а группу движений, совмещающих с собой — Элементы группы будем называть движениями или симметриями фигуры

Предложение. Если группа симметрий обладает несобственной симметрией, то индекс её подгруппы равен 2.

Доказательство. Пусть — несобственная симметрия группы Тогда в смежном классе все движения несобственные. Предположим, что в группе нашлось такое несобственное движение что Поскольку произведение несобственных движений задаётся произведением их матриц и, следовательно, является собственным движением, а обратное к несобственному движению движение тоже несобственное, то для некоторого Следовательно, Полученное противоречие доказывает предложение.

Собственное движение с неподвижной точкой является поворотом. Поэтому конечная группа состоит из поворотов.

Известно [2], что конечных групп поворотов трехмерного пространства, кроме перечисленных бесконечных серий циклических и диэдральных групп, существует только конечное число. Это подгруппы групп всех поворотов, совмещающих с собой тетраэдр, икосаэдр и куб.

Группа поворотов правильного тетраэдра. Обозначим её . Ось поворота, совмещающего с собой тетраэдр может проходить

только через: 1) вершину, 2) середину ребра, 3) центр грани. Очевидно, если ось поворота, совмещающего тетраэдр с собой, проходит через вершину, то она проходит и через середину противолежащей ей грани. Всего таких осей Ясно также, что если ось проходит через середину ребра, то она пересекает и середину скрещивающегося с ним ребра. Каждой такой оси соответствует один нетождественный поворот (на ), совмещающий тетраэдр с собой. Число пар скрещивающихся ребер у тетраэдра равно Количество совмещающих с собой тетраэдр нетождественных поворотов с осью, проходящей через вершины, насчитываем Таким образом, в группе поворотов тетраэдра нетождественных поворотов. Другими словами, порядок группы равен

Заметим, что каждому повороту группы соответствует четная подстановка четвертой степени. Симметрией тетраэдра является отражение от плоскости, содержащей его ребро и середину противоположного ребра Этому отражению соответствует нечётная подстановка Согласно доказанному предложению, получаем, что группа симметрий правильного тетраэдра изоморфна симметрической группе перестановок его вершин.

Упражнение. Доказать, что

а) б)

где — поворот на вокруг оси, проходящей через центр грани 123 и вершину 4, — поворот на вокруг прямой, пересекающей середины ребер 12 и 34. Напомним (тема 4), что запись означает, что группа порождена множеством т. е. каждый элемент можно представить в виде для некоторых натуральных чисел k.

Группа поворотов куба. Расположим тетраэдр так, что каждое его ребро является диагональю грани куба. Теперь очевидно, что группа поворотов тетраэдра является подгруппой группы поворотов куба. Проходящие через середины рёбер тетраэдра оси поворотов, совмещающих его с собой, стали теперь осями поворотов, совмещающих куб с собой, причём число таких поворотов удвоилось — добавились повороты на и Появились также новые оси поворотов. Они проходят через середины противоположных рёбер куба. Диагонали куба лежат на прямых, проходящих через вершины тетраэдра и середины его граней. Повороты вокруг этих прямых на углы, кратные , совмещают с собой куб. Поскольку число пар противоположных рёбер у куба равно 6, число пар противоположных граней — 3 и диагоналей – 4, то получаем поворота, совмещающих куб с собой. Заметим, что между множеством этих поворотов и множеством перестановок диагоналей куба устанавливается взаимно однозначное соответствие. Следовательно, группа поворотов куба изоморфна симметрической группе степени 4.

Зададим матрицами повороты, совмещающие куб с собой. Для этого координатные оси расположим на прямых, проходящих через середины противоположных граней. А именно, из граней 1234, 1485, 1562, изображённых на рис. 2, выходят оси абсцисс Ox, ординат Oy, аппликат Oz соответственно. Пусть числами 1, 2, 3, 4 обозначены диагонали грани и повороту на прямой угол вокруг оси соответствует их циклическая перестановка Этот поворот задаётся также матрицей

Поворот на вокруг оси, соединяющей середины противоположных рёбер куба, меняет местами две его диагонали, а каждую из двух других отображает на себя. Пусть перестановке диагоналей куба соответствует поворот вокруг биссектрисы координатного угла Построим матрицу этого поворота. Поскольку симметрическая группа порождается перестановками и то матрицы и будут порождать группу поворотов куба.

Пусть — поворот системы координат на вокруг оси Очевидно,

Теперь первая координатная ось проходит через середину ребра куба и поворот вокруг этой оси на совмещает куб с собой. При изучении группы диэдра уже рассматривалась (диагональная) матрица этого поворота. А сопряженная с ней матрица

и является искомой матрицей т. е.

Рис.1 Икосаэдр	Рис.2 Рёбра икосаэдра на гранях куба

Группа поворотов икосаэдра. Напомним, что решение

уравнения определяет отношение ребра икосаэдра к ребру куба (рис. 1, 2), много веков называемое золотым сечением единичного отрезка. На рис.2 более толстыми линиями изображены расположенные на гранях куба рёбра икосаэдра. Пара таких рёбер, расположенных на противоположных гранях куба, определяет прямоугольник, а все шесть этих рёбер определяют прямоугольную триаду икосаэдра. В каждом икосаэдре можно построить 5 таких триад. Оказывается, между множеством всех чётных подстановок прямоугольных триад и множеством всех поворотов, совмещающих икосаэдр с собой, существует взаимно однозначное соответствие. Оно является изоморфизмом знакопеременной группы чётных подстановок 5-й степени и группы .

В качестве порождающих последней группы можно взять повороты на вокруг осей, проходящих через середины смежных треугольных граней икосаэдра. Удобно выбрать общим ребром таких граней расположенное на грани куба ребро икосаэдра. Тогда в рассмотренной уже при изучении группы поворотов куба системе координат указанные оси поворотов икосаэдра окажутся в координатной плоскости. Если прямоугольные триады пронумеровать числами то поворотам, выбранным в качестве порождающих группы, будут соответствовать подстановки и порождающие группу

Около 1890 г. знаменитый русский кристаллограф и геометр решил теоретико-групповыми методами одну из основных задач кристаллографии: задачу классификации правильных пространственных систем точек. Это было первым случаем непосредственного применения теории групп в естествознании и оказало существенное влияние на развитие теории групп.

При изучении кристаллов, естественно, возникает предположение о некоторой правильности расположения в них атомов. Оказалось, что описать все возможные кристаллические решётки проще, если предварительно вычислить для них группы симметрий. Сегодня эти группы называют федоровскими. Эта задача связана с задачей разбиения пространства на совокупность равных многогранников, непересекающихся по своим внутренним точкам. Для простоты проясним ситуацию на плоскости. Допустим, что плоскость разбита на бесконечную совокупность квадратов, как на клетчатом тетрадном листе.

Рассмотрим подгруппу G группы симметрий этой бесконечной фигуры со свойством: каждый из квадратов рассматриваемого разбиения является фундаментальной областью группы G, т. е. такой областью внутри которой ни одна точка не содержит своих образов при действии нетождественным элементом группы G. Тогда для группы G возможны следующие варианты:

1. Группа G состоит из линейных комбинаций двух параллельных переносов по вертикали и горизонтали с целочисленными коэффициентами, т. е. G – прямая сумма двух бесконечных циклических групп.

2. Группа G состоит из осевых симметрий с осями, содержащими стороны фундаментальной области, и всевозможных их композиций. В этом случае этой группе естественно сопоставить разбиение плоскости на квадраты, закрашенные так, как на шахматной доске.

Разбиение плоскости можно сделать более мелким и выбрать в качестве фундаментальной области четверть клетки – равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает со стороной клетки, а вершина прямого угла совпадает с центром клетки. Группу G тогда нужно дополнить поворотами на вокруг центров квадратов.

Начальное разбиение плоскости можно дробить и дальше, полагая, что фундаментальная область соответствующей группы совпадает с 1/8 частью квадрата и т. д.

Упражнение. Докажите, что для разбиений плоскости на совокупность правильных n-угольников n может принимать только значения 3, 4 и 6.

Оказывается, что на этом пути можно получить только 17 различных групп симметрий. Мастера орнамента практически открыли орнаменты со всеми возможными группами симметрий: на долю теории групп выпало лишь доказать отсутствие других видов. Подробный вывод и перечисление всех фёдоровских групп движений пространства и в настоящее время требуют нескольких десятков страниц текста. Сообщим лишь, что существует только 230 фёдоровских групп движений пространства. Некоторые из них были открыты благодаря применению теории групп.

РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тема 23. Атласы групп

Таблицы групп. Атласы конечных простых групп и представлений конечных групп. Конечной целью собственно теории групп является описание всех существующих в природе групповых композиций. Понятно, что задача получения списка всех групп неразрешима. Однако частичные решения этой задачи приводят к таблицам групп. Такие таблицы или ссылки на них появляются уже в первых книгах по теории групп. Например, шестая глава книги [37] завершена построением всех групп 12-го порядка и таблицей, указывающей для каждого число неизоморфных групп порядка

«Очаровательная коллекция конкретных групп, записанных порождающими элементами и определяющими соотношениями» — такая характеристика книги [14] дана редактором её перевода. Эта книга (см. также [13]) содержит и метод перечисления смежных классов Тодда-Коксетера, позволяющий найти определяющие соотношения для групп, заданных к.-н. иным способом.

Этот метод многократно программировался и является сегодня частью систем компьютерной алгебры. Таким образом, системы компьютерной алгебры служат источником для составления таблиц групп. Системы компьютерной алгебры MAGMA и GAP отражают два основных способа представления группы: комбинаторный (порождающими элементами и определяющими соотношениями) и в виде группы преобразований (подстановками или матрицами). Открытая для пользователей система GAP [43] создавалась на основе подстановочного представления группы. Кроме большого количества запрограммированных алгоритмов, позволяющих строить списки групп с нужными пользователю свойствами, система GAP содержит и готовые таблицы групп.

Здесь приведён список некоторых групп из библиотеки системы GAP с указанными в скобках командами обращения к этим группам, причём параметр в этих командах определяет способ задания группы. Например, при filt=IsPermGroup получаем подстановочное представление группы, а при — её линейное представление.

Циклическая группа порядка (CyclicGroup( [filt, ]n ));

Абелева группа, разложимая в прямую сумму групп порядков для списка натуральных чисел (AbelianGroup( [filt, ]ints ));

Группа диэдра порядка (DihedralGroup( [filt, ]n ));

Знакопеременная группа степени (AlternatingGroup( [filt, ]deg ));

Симметрическая группа степени (SymmetricGroup( [filt, ]deg ));

Группа Матье степени (MathieuGroup( [filt, ]degree ));

Общая линейная группа обратимых матриц над кольцом (GL( [filt, ]d, R ));

Общая линейная группа обратимых матриц над конечным полем из элементов (GL( [filt, ]d, q ));

Специальная линейная группа обратимых матриц над кольцом (SL( [filt, ]d, R ));

Специальная линейная группа обратимых матриц с единичным определителем над конечным полем из элементов (SL( [filt, ]d, q ));

Проективная специальная линейная группа, изоморфная фактор-группе группы по её центру (PSL( [filt, ]d, q ));

Группа под номером каталога всех групп порядка (SmallGroup( order, i )), ( группы).

Кроме того, в каталоге групп малых порядков системы GAP можно найти каждую группу порядка:

— для и для каждого простого числа ;

— для делящего или и для каждого простого ,

— имеющего не более 3 различных простых делителей.

Заметим, что каждый из этих случаев охватывает бесконечное множество групп.

Командой AllSmallGroups( arg ) можно вызвать все группы со свойством Например, по команде AllSmallGroups( 1029, IsNilpotent ) выписываются все 5 нильпотентных групп порядка 1029, причём каждая из них задана системой из 4 порождающих элементов и определяющими соотношениями.

Помещённый в дополнении пример группы Фробениуса с некоммутативным инвариантным множителем находится в каталоге системы GAP. Таким образом, свойства этой группы можно получить сегодня и с помощью этой системы, либо обратившись к её каталогу групп, либо построив в системе GAP указанную группу на языке определяющих соотношений.

Система GAP может обращаться и к существующему отдельно от неё Атласу представлений конечных групп [44]. Атлас содержит: спорадические группы (т. е. исключительные конечные простые группы), знакопеременные группы, линейные группы, другие классические группы, исключительные группы лиева типа и некоторые другие группы. Из бесконечных серий групп берутся только группы малых рангов над полями небольших порядков.

Каждая группа этого Атласа задаётся своими порождающими элементами, которые названы "‘стандартными"’. Каждый стандартный порождающий группы записан в виде матрицы или подстановки. Авторы Атласа стремятся получить как можно больше представлений стандартных порождающих. Каждой группе Атласа посвящена его страница, которая, если это возможно, содержит также по представителю каждого класса сопряжённых элементов этой группы и список её максимальных подгрупп.

Атлас представлений конечных групп позволил найти другие порождающие некоторых его групп. Например, на сайте ИВМ СО РАН

(http://icm. *****/resources. php? resid=10) для каждой (кроме группы Монстр) спорадической группы размещено три инволюции, порождающих эту группу, причем либо две из них перестановочны, либо в каждой состоящей из трёх инволюций системе порождающих этой группы любые две инволюции не коммутируют.

Тема 24. Заключение

Как мы уже отмечали в начале курса лекций, в настоящее время теория групп представляет собой хорошо развитую область математики. В Красноярске в августе 2007 г. проходила международная алгебраическая конференция, посвященная 75-летию профессора . Многие участники этой конференции приехали в Красноярск с только что закончившегося международного российско-китайского семинара, проходившего на озере Байкал. В сентябре 2007 г. в Санкт-Петербурге проходила международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения . Работало четыре её секции. Наибольшее число докладов было прочитано в секции «Теория групп». В некоторые дни эта секция делилась на три подсекции: бесконечные группы, конечные группы и конечные геометрии, абелевы группы.

В России работают постоянно действующие алгебраические семинары, на которых регулярно заслушиваются доклады по теории групп, в т. ч. и доклады красноярских алгебраистов. Это семинары МГУ, ИМ УрО РАН, ИМ СО РАН, НГУ, Красноярский городской алгебраический семинар, работающий на базе СибФУ.

Российские ученые имеют большой авторитет в мире. Для участия в оргкомитетах конференций, проводимых в других странах, приглашаются многие российские ученые. Приглашенные алгебраисты выступают с докладами на международных конференциях, проводимых за рубежом. Большинство научных журналов, таких как «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук» переводятся на английский язык и переиздаются за границей.

Аспирантура по теории групп начала работать в Красноярском государственном университете с появлением первых его выпускников. На кафедре алгебры и математической логики руководят работой студентов и аспирантов семь докторов физико-математических наук. На базе кафедры алгебры и математической логики создан совет по защите докторских диссертаций.

ДОПОЛНЕНИЕ

Тема 25. Группы Фробениуса

Группы Фробениуса играют большую роль в изучении бесконечных групп. Интересны для изучения как сами группы Фробениуса, так и группы, обладающие системами подгрупп, являющимися группами Фробениуса.

Определение. Напомним, что конечная группа G называется группой Фробениуса, если в ней найдется собственная подгруппа H, совпадающая со своим нормализатором и взаимно простая со своими сопряженными подгруппами, отличными от H, [29].

Приведем элементарные свойства групп Фробениуса.

Теорема 25.1. Порядки ядра и неинвариантного множителя конечной группы Фробениуса взаимно просты.

Доказательство. Пусть G = F H – конечная группа Фробениуса и S – силовская p-подгруппа из H. Предположим, что найдётся p-подгруппа P > S и P не содержится в H. По теореме 16.2.2 из [13] найдётся элемент из . Тогда . Противоречие с определением группы Фробениуса. Учитывая строение группы Фробениуса G = F H, получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 25.2. Всякая подгруппа порядка pq, где p и q – необязательно различные числа, дополнительного множителя Фробениуса – циклическая.

Доказательство. Пусть существует группа Фробениуса G = F H с абелевым инвариантным множителем F и нециклическим дополнением . Пусть H = <a> <v>, где |a| = p, |v|= q и . Элемент равен e, т. к. он централизует H, следовательно, . Ввиду нецикличности H имеем . По свойствам групп Фробениуса, G=F (a) и F (a’v) имеем , . Поэтому

.

Таким образом, . Это невозможно, т. к. (|F|,|1|)=1. Теорема доказана.

Следствие 25.1. Силовские p-подгруппы в дополнительном множителе циклические при p > 2, а при p = 2 либо циклические, либо (обобщённые) группы кватернионов.

Разрешимый дополнительный множитель Фробениуса является группой одного из таких типов:

1.  Циклическая группа;

2. H = <a> <b>, (|a|, |b|)=1, (a)=H, все элементы простых порядков из b лежат в Z(H);

3. H = H1 Q, где H1 – группа нечётного порядка одного из типов 1, 2, Q1 – обобщённая группа кватернионов с инволюцией t, ;

4. H = Q H1, где H1 – группа нечётного порядка одного из типов 1, 2, Q – группа кватернионов восьмого порядка;

5. H содержит подгруппу индекса 2 типа 4, и силовская 2-подгруппа из H есть группа кватернионов порядка 10.

Неразрешимый дополнительный множитель Фробениуса H содержит в качестве подгруппы индекса группу , где – группа одного из типов 1, 2, (|H1|,30)=1.

Пусть G — группа, H — ее собственная подгруппа. Имеется в виду, что G и H составляют пару Фробениуса, если для любого элемента x из G\H пересечение H с Hx единично.

Дадим описание группы Фробениуса с неинвариантным множителем, содержащим инволюцию.

Теорема 25.3. Пусть G = B (i) – периодическая группа Фробениуса, |i| = 2. Тогда любой нетривиальный элемент из ядра B служит строго вещественным относительно инволюции i.

Доказательство. Рассмотрим элемент c = ib-1ib, где b – произвольный элемент из b. Так как , то по теореме 25.1 порядок элемента c нечётен, |c| = 2n+1. Тогда или . Следовательно, , и появляются две возможности или . Первая возможность не реализуется ввиду того, что . Значит, или . Тогда имеет место равенство , которое и доказывает теорему. Теорема доказана.

Теорема 25.4. Пусть G=B (i) – периодическая группа Фробениуса, |i| = 2. Тогда ядро B будет абелевой группой.

Доказательство. Пусть b, c – произвольные элементы из b, c. По предыдущей теореме элемент c имеет нечётный порядок, и пусть, напр., |c|=2n-1. Рассмотрим элемент . По теореме 25.3:

idi = d -1 = c-nb-1cn,

с другой стороны,

Таким образом, или . Учитывая порядок элемента c, перепишем это равенство в виде или . Теорема доказана.

Приведем формулировку знаменитой теоремы Фробениуса:

Теорема 25.5. Пусть G — конечная группа, содержащая подгруппу H, совпадающую со своим нормализатором и взаимно простую со своими сопряжёнными подгруппами. Тогда совокупность элементов, не содержащихся ни в H, ни в одной из сопряжённых с H подгрупп, вместе с единицей составляют нормальный делитель группы G.

Доказательство теоремы Фробениуса в случае, когда порядок |H| чётен. Пусть – множество инволюций, взятых по одной из каждой сопряжённой с H подгруппой. Так как пара a, b инволюций в любой группе порождает группу диэдра (ab) (a) и

то для любых содержатся во множестве . Если один из i, k фиксирован, а другой принимает значение от 1 до n, то получается n различных элементов из F. Так как |F|=n, то эти элементы исчерпывают всю F. Значит, для любых ,

при некотором . Следовательно, и теорема Фробениуса в случае четного порядка группы доказана.

Доказательство теоремы Фробениуса в случае нечётного порядка неинвариантного множителя занимает большой объём, и по этим соображениям здесь оно не рассматривается.

Теорема Фробениуса неверна для бесконечных групп. -вым и его учениками построены примеры групп, которые вместе со своей подгруппой составляют пару Фробениуса, но не являются группами Фробениуса.

Теорема Фробениуса справедлива для локально конечных групп, как показывает теорема Бусаркина-Старостина (см., напр., [40]): если в локально конечной группе G имеется подгруппа B, совпадающая со своим нормализатором и взаимно простая с каждой из своих сопряжённых подгрупп, то множество элементов из G, не входящих ни в одну из сопряжённых с B подгрупп, вместе с единицей является инвариантной в G подгруппой.

Как показывает этот пример, теорема Фробениуса не может быть обобщена на произвольные группы. Поэтому появилось более общее определение, в котором для конечных групп, ввиду теоремы Фробениуса, достаточно оставить только первое условие.

Определение. Группа G называется группой Фробениуса (фробениусовой группой) с дополнением (неинвариантным множителем) H и ядром (инвариантным дополнением) F, если F и H — такие её собственные подгруппы, что выполняются условия:

1) (G,H) — пара Фробениуса, т. е. H Hg=1 для любого элемента g G \ H;

2) подгруппа F нормальна в G и G=F H;

3) G \{ F\{1}} = Hg.

Если G и H удовлетворяют условию 1 определения группы Фробениуса, то по они составляют пару Фробениуса (G,H).

совместно с доказано [28], что если (G, H) — пара Фробениуса в периодической (слабо) (сопряженно) бипримитивно конечной группе G, то G=F H — группа Фробениуса.

показано, что в сопряженно бипримитивно конечной группе, которая со своей подгруппой H составляет пару Фробениуса, если имеется неединичный элемент конечного порядка, то группа обладает периодической частью T, являющейся группой Фробениуса с локально конечным неинвариантным множителем H T.

Приведём пример группы Фробениуса с некоммутативным ядром. Если дополнительный множитель группы Фробениуса содержит элемент порядка два, то ядро группы является абелевой группой, если же дополнительный множитель нечётного порядка, то это не всегда так. Вейснер пытался доказать коммутативность инвариантного множителя Фробениуса в общем случае. обнаружил ошибку в рассуждениях Вейснера и построил пример группы Фробениуса с некоммутативным инвариантным множителем, который был опубликован в 1940 г. [37]. Пусть

G=<q,r,t,p|q7=p7=r7=1,t3=1,rt=tr2,r-1q-1rq=p,

qt=tq2p, pt=tp4,rq=qrp, pq=qp, pr=rp>.

Данная группа обладает следующими свойствами:

a) Любой элемент группы G может быть представлен в виде taqbrcqd, где показатели a, b, c, d неотрицательны и не превышают порядка соответствующего элемента, причём единственным образом;

б) |G | = 3*73 = 1029;

в) Подгруппа третьего порядка H = (t) совпадает со своим нормализатором и взаимно проста со своими сопряжёнными, составляя вместе с ними класс из 343 групп;

г) Существует 342 элемента седьмого порядка, которые вместе с единицей составляют нормальный делитель порядка 343, а именно: F = <g, r>, куда входит и p;

д) При преобразовании элементами F (кроме единицы) все 343 сопряжённые с H подгруппы перемещаются между собой.

Рассмотрим пример группы Фробениуса с ненильпотентным дополнительным множителем.

Группа G = {a, b,c, d} порядка 22372 с определяющими соотношениями

a7 = b7 = c3d4 = e, ab = ba, cac-1 = a2,

cbc-1 = b4, dad-1 = b2, dbd-1 = a3, dcd-1 = c2

является группой Фробениуса с инвариантным множителем A = <a> <b> и ненильпотентным дополнительным множителем B = < c, d >, [10].

поставил в Коуровской тетради нерешенных проблем по теории групп вопрос 6.53. Что можно сказать о ядре и дополнении

группы Фробениуса? В частности, какие группы могут выступать в качестве ядра? дополнения?

Группа Фробениуса в бесконечном случае может иметь очень сложное строение.

показал, что любая группа может быть вложена в ядро некоторой группы Фробениуса и любая правоупорядоченная группа изоморфна дополнению некоторой группы Фробениуса [6]. Обзор результатов по группам Фробениуса и группам с системами фробениусовых подгрупп можно найти в [24].

Библиографический список

1 Адян, Бернсайда и тождества в группах / . М.: Наука, 1975.

2.  Александров, в теорию групп / . М.: Наука, 1980.

3.  Алешин, автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах / // Мат. зам. – 1972. – Т. 11. №3. – С. 319–328.

4.  Бахова, бипримитивно конечных групп без инволюций / : тез. докл. 17 всесоюзной алгебр. конф. – Минск, 1983. – С. 17.

5.  Богопольский, в теорию групп. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

6.  Блудов, В. В. О группах Фробениуса / // Сиб. мат. журн. –1997. – Т.38. № 6. – С. 1219–1221.

7.  Глухов, . Т.1,2 / , , ; допущено МО РФ в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по группе специальностей в области информационной безопасности. М.: Гелиос АРВ, 2003.

8.  Голод, Е. С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых p-группах / // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1964. – Т. 28. №1. – С. 273–276.

9.  Голод, Е. С. О некоторых проблемах бернсайдовского типа / // Труды международного конгресса математиков. – М.: Мир, 1968. – С. 284–289.

10.  Горчаков, Ю. М. О бесконечных группах Фробениуса / // Алгебра и логика. – 1965. – Т. 4. №1. – С. 118–125.

11.  Григорчук, Р. И. К проблеме Бернсайда о периодических группах / // Функц. анализ и его приложения. –1980. – Т. 14. №1. – С. 53–54.

12.  Каргаполов, М. И. О проблеме / // Сиб. мат. журн. – 1963. – Т. 4. №1. – С. 232–235.

13.  Каргаполов, теории групп / , . М.: Наука, 1996.

14.  Коксетер, Г. С.М. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп: пер. с англ. / Г. С.М. Коксетер, У. О.Дж. Мозер; под. ред. . М.: Наука, 1980.

15.  Кудрявцев, в теорию автоматов / , , . М.: Наука, 1985.

16.  Курош, групп / . М.: Наука, 1967.

17.  Математическая энциклопедия / под ред. . М.: Сов. энциклопедия, 1977–1984.

18.  Международный математический конгресс в Амстердаме, 1954. – М., 1959.

19.  Мерзляков, Ю. И. О бесконечных конечно-порожденных периодических группах / // Докл. АН СССР. – 1983. – Т. 268. №4. – С. 803–805.

20.  Новиков, П. С. О периодических группах / // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 127. №4. – С. 749–752.

21.  Новиков, П. С. О бесконечных периодических группах / П. С. Но-виков, // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1968. – Т. 32. №1. – С. 212–244; Т. 32. №2. – С. 251–523; Т. 32. №3. – С. 708–731.

22.  Ольшанский, группы с циклическими подгруппами / // Докл. АН СССР. – 1979. – Т. 245. №4. – С. 785–787.

23.  Ольшанский, определяющих соотношений в группах / . М.: Наука, 1989.

24.  Попов, с системами фробениусовых подгрупп / , , . Красноярск. Изд-во КГТУ, 2004.

25.  Рожков, конечности в группах автоморфизмов деревьев / // Алгебра и логика. – 1998. – Т. 37. №5. – С. 568–605.

26.  Сенашов, с условиями конечности / , . Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.

27.  Сенашов, с условиями конечности / , , // Успехи мат. наук. – 2005. – Т.69. № 5 (365). – С. 1–46.

28.  Созутов, А. И. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы / , // Мат. сб. – 1976. – Т.100. № 4. – С. 495–506.

29.  Старостин, А. И. О группах Фробениуса / // Укр. мат. журн. –1971. – Т. 23. № 5. С. 629–639.

30.  Струнков, и абелевы подгруппы некоторых классов групп / // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1967. – Т. 31. №3. – С. 657–670.

31.  Сущанский, p-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда / // Докл. АН СССР. – 1979. – Т. 247. №3. – С. 557–561.

32.  Холл, М. Теория групп / М. Холл. М.: Мир, 1962.

33.  Череп, А. А. О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной группе / // Алгебра и логика. – 1987. – Т. 26. № 4. – С. 518–521.

34.  Черников, , разложимые в произведение перестановочных подгрупп / . Киев: Наук. думка, 1987.

35.  Черников, конечности в общей теории групп / // Успехи мат. наук. – 1959. – Т. 14. № 5. – С. 45–96.

36.  Черников, с заданными свойствами системы подгрупп / . М.: Наука, 1980.

37.  Шмидт, O. Ю. Избранные труды. Математика / O. Ю. Шмидт. – М.: Изд-во. АН СССР, 1959.

38.  Шунков, В. П. О локально-конечной группе с экстремальными силовскими p-подгруппами по некоторому простому числу p / // Сиб. мат. журн. – 1967. – Т. 8. №1. – С. 213–229.

39.  Шунков, В. П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы / // Алгебра и логика. – 1967. – Т. 6. №3. – С. 113–124.

40.  Шунков, В. П. Mp-группы / . М.: Наука, 1990.

41.  Feit, W. Solvability of groups of odd order / W. Feit, J. G. Thompson // Pacif. J. Math. – 1963. – V. 13. № 3. – P. 775–1029.

42.  Holl, Ph. A property of locally finite groups / Ph. Holl, C. R. Kylatilaka // J. London Math. Soc. – 1964. – V. 39. – P. 235–239.

43.  The GAP Group GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4, 2006 (http://www. gap-system. org).

44.  Wilson R. Atlas of Group Representations, Version 2.0 (http://www. mat. bham. ac. uk/atlas/).