Основы теории групп, курс лекций (стр. 4 )

B1 B2 … Bn…,

то объединение этой цепочки не может обладать конечной системой образующих. Так как если бы она нашлась: G = < b1, b2, …, bn >, то каждый из элементов bi, i = 1, 2, … , n, как и вообще всякий элемент из G, принадлежит к некоторой подгруппе и поэтому ко всем подгруппам Bn при k ki. Если l = max (k1, k2, … , kn), то в подгруппе Bl содержатся уже все элементы b1, b2, …, bn; порожденная ими подгруппа не может, следовательно, совпадать с G.

Изучение групп с условием максимальности оказалось менее результативным, чем изучение групп с условием минимальности. К группам с условием минимальности относятся и черниковские группы.

Черниковские группы и их свойства.

Определение. Конечные расширения прямых произведений конечного числа (в частности, и равного нулю) квазициклических групп называются черниковскими группами, или группами Черникова.

Основные свойства черниковских групп были получены -ковым, им же доказано, что бесконечная локально разрешимая группа тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности, когда она является черниковской (см., напр., [36]).

установил ряд критериев, когда группа является черниковской:

— Если в бипримитивно конечной p-группе централизатор некоторого элемента простого порядка — черниковская группа, то сама группа черниковская.

— Если в локально конечной группе силовские 2-подгруппы черниковские и подгруппы нечетного порядка конечны, то сама группа черниковская.

— Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп является черниковской группой.

Тема 19. Условия конечности

Условия бипримитивной конечности, сопряжено биприми-тивной конечности, их ослабления и обобщения. Условия конечности в группах могут накладываться на системы подгрупп. Условия минимальности и максимальности, которые мы рассматривали в предыдущей теме, также относятся к условиям конечности. Одно из классических условий конечности – условие локальной конечности.

Локально конечной называется группа, в которой любое конечное множество элементов порождает конечную подгруппу.

Здесь конечными полагаются все конечнопорожденные группы. Если множество подгрупп, которые будут конечными, изменить на множество 2-порожденных подгрупп, то появляются целые классы групп с условиями конечности, введенные .

К таким условиям относятся условия бипримитивной конечности, сопряженно бипримитивной конечности, их ослабления и обобщения.

Определение. (Сопряженно) бипримитивно конечной называется такая группа G, в которой для любой ее конечной подгруппы K в фактор-группе NG(K)/K любые два (сопряженных) элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа G называется q-(сопряженно) бипримитивно конечной, если для любой конечной подгруппы H из G в фактор-группе NG(H)/H любые два (сопряженных) элемента простого порядка q порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа называется слабо (сопряженно) бипримитивно конечной, если два любых ее элемента простого порядка (сопряженных между собой) порождают конечную подгруппу.

Перечисленные условия конечности введены

Сейчас сопряженно бипримитивно конечные группы называются группами Шункова.

История примеров периодических не локально конечных групп началась с выступления на Всесоюзном математическом съезде (1959). В период между анонсом [20] и появлением (1968) развернутой публикации [21] примеров бесконечных конечно порожденных групп нечетного периода 4381 [8, 9] для каждого простого числа p строит конечнопорожденную p-группу неограниченного периода. Как и в конструкции , построенные в 1971 г. конечнопорожденные p-группы конструкции [3] (см. также [13,15]) оказались финитно аппроксимируемыми. В класс периодических не локально конечных групп попала и построенная [22,23] бесконечная группа, которая порождена двумя элементами порядка p, причем p – нечетное простое число, и любая собственная ee подгруппа имеет порядок p. В дальнейшем работа с перечисленными примерами привела к pазделению различных условий конечности, снижению до 665 периода у известных конечно порожденных бесконечных групп, появлению бесконечных конечно порожденных групп четного периода.

Однако, несмотря на усовершенствования, группы ограниченного периода остаются достаточно громоздкими для изложения. С другой стороны, [11] сумел на двух страницах описать бесконечную 3-порожденную 2-группу преобразований единичного отрезка, из которого удалены двоично рациональные точки. Практически одновременно c группой Григорчука в конце 1970-х – начале 1980-х гг. появляются конструкция [31] конечнопорожденных p-групп подстановок неограниченного периода и первая работа [19], см. также [13], посвященная систематическому изучению конструкций не локально конечных групп с конечными, но неограниченными в совокупности порядками элементов.

На базе конструкции построены примеры М. Ю. Ба-ховой, Л. Гамуди и периодических не локально конечных групп неограниченного периода. Они служат источником примеров групп, разделяющих условия конечности. С помощью прямого и полупрямого произведения циклических групп построена бипримитивно конечная, но не бинарно конечная группа .

создал теорию групп преобразований однородных деревьев – АТ-групп (от англ. automorphisms trees). АТ-группы называют также группами алешинского типа, отдавая должное автору первых примеров 2-порожденных бесконечных p-групп преобразований .

Теоремы [25] разграничивают условие слабой сопряженной бипримитивной конечности с условиями сильной (a, b)-конечности, сопряженной бинарной конечности и слабой бипримитивной конечности. Он же разграничил классы групп с условиями r-конечности и сопряженной r-конечности, являющимися обобщениями соответственно условий бипримитивной конечности и сопряженно бипримитивной конечности.

Определение. Группа называется (сопряженно) r-конечной, если любые ее r (сопряженных) элементов порождают конечную подгруппу. При r = 2 получаем определение сопряженно бинарно конечной группы.

[4] построила бипримитивно конечную, но не бинарно конечную группу с произвольным конечным множеством простых делителей порядков ее элементов, и [33] доказал, что в бипримитивно конечной группе множество элементов конечного порядка не обязано составлять подгруппу — периодическую часть. Описание этих примеров можно найти в [26].

Здесь были рассмотрены условия конечности, которые появились и изучались в Красноярской школе по теории групп, более подробно см. [26, 27]. Большое число условий конечности рассматривается в [16. С. 337-342, 501-506].

РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП

Тема 20. Группы диэдра

Определения и свойства групп диэдра.

Определение. Группой диэдра называется группа, порождённая двумя инволюциями, т. е. элементами порядка 2.

В этом пункте зафиксируем обозначения: i, k – инволюции, G=<i. k> — группа диэдра, a=ik.

Теорема 20.1. Группа G имеет вид G=(a)(i)=(a)(k), и справедливы соотношения i-1ai=a-1, k-1ak=a-1.

Доказательство. Рассмотрим следующие соотношения:

Так как произвольный элемент u группы G представляет собой запись вида

,

где либо i, либо k, то получим при сопряжении элементом u . А это означает нормальность циклической группы (a) в G. Очевидно,

G = <a,i> = <a,k> и G = (a) (i)=(a) (k).

Теорема доказана.

Свойства группы диэдра существенно отличаются в зависимости от порядка элемента a=ik. Причём выделяется три случая: a имеет чётный порядок, нечётный, бесконечный.

Пусть сначала |a|=2n-1, нечётное число n N.

Теорема 20.2. G — группа Фробениуса с ядром (a) и неинвариантным множителем (i).

Доказательство. Обозначим H = (i). Пусть x — некоторый элемент из G\H. По теореме 20.1 его можно представить в виде , где и . Предположим, .

В силу того, что H – подгруппа второго порядка H=Hx или

Это означает: , а это невозможно. Следовательно, (G, H) – пара Фробениуса.

Теперь остаётся доказать, что любой элемент вида есть инволюция, сопряжённая с i в G.

Сначала докажем, что инволюции i, k сопряжены в группе G.

Так как a = ik и |a| = 2n-1, то ik=a2n. Отсюда

Итак,

Рассмотрим две возможности для m. Пусть m=2s – чётное число

т. е. ami, i сопряжены. Пусть имеет место вторая возможность

Как показано, . Отсюда, ввиду , получим

Теорема доказана.

Упражнение. Доказать, что для группы G из теоремы 20.2 выполняются равенства:

G' = (a), Z(G) = 1.

Теперь рассмотрим случай |a| = 2n — чётное число (n N).

Теорема 20.3. Пусть |a| =2n, тогда имеет место одно из утверждений:

1) Z(G) = G — группа Клейна;

2) Z(G) = (an), где an — инволюция.

Доказательство. Обозначим инволюцию через j. По теореме 20.1

т. е.

.

Аналогично . Ввиду того, что любой элемент группы G представим в виде произведения некоторого числа инволюций i, k, то j находится в центре группы G.

Предположим, что , и пусть x – некоторый элемент из . По теореме 20.1 , где . Если , то . С другой стороны, из следует: и, значит, , т. е. a – инволюция, и поэтому j = a. Так как G = <a,i> = <j,i> и , то – элементарная абелева группа порядка 4 (группа Клейна).

Пусть G не является группой Клейна. По доказанному , т. е. x = a <a>.

По теореме 20.1 , но , значит, . Из двух равенств получаем . Следовательно, x – инволюция из a, и из строения циклической группы видно, x = j вопреки предположению, что . Полученное противоречие доказывает: если G – не группа Клейна, то . Теорема доказана.

Упражнение. Доказать методом от противного: инволюции i, k не сопряжены в группе G.

Рассмотрим третий случай: порядок элемента a бесконечен. Здесь справедливы следующие свойства:

— инволюции i, k не сопряжены в G;

— Z(G) = 1.

Упражнение. Найти G' в случае, когда порядок элемента a бесконечен.

Тема 21. Группы подстановок и матриц

Группы подстановок и матриц. Представление группы диэдра группой подстановок. Пусть 123 — правильный треугольник,

— поворот на совмещающий треугольник 123 с собой, причем вершина 1 переходит в вершину 2 которая переходит в вершину 3 Вершина 3 отображается в вершину 1. Если последовательно выполнить этот поворот 2 раза, то получим поворот

а если 3 раза, то

где — тождественный поворот, при котором все точки неподвижны.

Совокупность трех этих поворотов и операции последовательного выполнения любых двух из них называют циклической группой поворотов порядка 3 и обозначают Операцию последовательного выполнения поворотов будем называть также композицией или умножением поворотов. Понятно, что все элементы группы можно получить умножением из нетождественного поворота.

Аналогично для каждого натурального числа определяется группа Любой ее элемент можно получить из поворота на угол градусов. К элементам группы добавим (пространственный) поворот вокруг оси, проходящей через центр правильного -угольника и его вершину. Пусть 1 — номер этой вершины. Тогда поворот задается следующей перестановкой его вершин:

Пусть Как отмечалось, — все элементы циклической группы Элемент называют порождающим элементом группы и записывают

Элементы являются порождающими группы т. е.

Упражнение. Доказать, что — все элементы группы

Если не выходить в пространство, а оставаться в плоскости, то повороты

можно рассматривать как симметрии с осями, проходящими через центр правильного -угольника.

Итак, построены серии циклических групп и групп диэдра

Определение. Взаимно однозначное отображение непустого множества на себя называют подстановкой множества Композицию подстановок будем называть умножением подстановок.

Поскольку совокупность всех взаимно однозначных отображений любого множества на себя является группой относительно композиции отображений, то множество всех подстановок, действующих на данном множестве, образует группу относительно умножения подстановок. Эта группа называется симметрической группой подстановок множества , а в случае если множество состоит из конечного числа элементов, то эту группу обозначают и называют симметрической группой подстановок -й степени. Всякую подгруппу группы называют группой подстановок.

Элементы конечного множества, на котором действует подстановка, всегда можно пронумеровать. Поэтому можно считать, что подстановки -й степени отображают на себя множество первых чисел натурального ряда. Любую подстановку из можно задать таблицей из двух строк, выписав в первой строке числа а во второй — под каждым элементом его образ при отображении т. е. записывая как образ каждого числа при подстановке получаем

В частности, тождественная подстановка имеет вид

а обратную для подстановку можно записать в виде

Определение. Нетождественную подстановку вида

называют циклом, а число — длиной цикла

Вместо табличной записи для цикла употребляют более экономную запись:

Эта запись применялась уже для обозначений подстановки, порождающей циклическую группу. Заметим, что в этой форме цикл длины может быть записан ровно различными способами.

Следующую теорему будем считать известной из курса алгебры.

Теорема 21.1. Произвольная неединичная подстановка -й степени либо является циклом, либо раскладывается в произведение некоторого числа попарно независимых циклов. Такое разложение однозначно с точностью до перестановки сомножителей.

Неизменность циклического строения подстановки при её сопряжении обеспечивает следующее

Предложение. Пусть подстановка представлена в виде произведения циклов

тогда для справедливо равенство

Доказательство. Пусть Тогда

Следовательно, подстановка переводит в тогда и только тогда, когда переводит в В частности, множество передвигаемых символов подстановки можно представить в виде образа множества передвигаемых символов подстановки при действии на него подставкой и если — цикл, то Теперь второе равенство предложения является следствием равенства

.

Определение. Транспозицией в называют цикл длины 2.

Теорема 21.2. Группа порождена:

1) множеством всех транспозиций;

2) множеством всех транспозиций вида

3) множеством всех транспозиций вида

4) транспозицией и циклом

Доказательство. 1) Тождественная подстановка разлагается в произведение транспозиций Если то Поэтому группа порождается множеством всех транспозиций.

2) Пусть Тогда для из равенства следует, что любая транспозиция лежит в подгруппе группы Ввиду того, что утверждение 1 теоремы уже доказано, получаем истинность утверждения 2.

3) Пусть Подгруппа содержит все транспозиции вида , т. к. и если то

Следовательно, а значит и

4) Указанное в последнем пункте теоремы множество порождает группу потому, что для каждой транспозиции группы справедливо равенство

Теорема доказана.

Представим теперь повороты группы в виде матриц. Пусть поворот плоскости на угол вокруг начала координат отображает точку на точку а репер — на репер Полагая известными координаты точки в репере вычислим в этом же репере координаты точки

Очевидно, — координаты вектора в репере а — координаты вектора в том же репере. Заметим, что или в матричной записи Заменив в последнем равенстве векторы столбцами их координат, получим

Таким образом, циклическую группу порядка можно представить как линейную группу, порождённую матрицей

Её повороты вокруг начала координат можно рассматривать и как повороты вокруг оси аппликат, если перейти в трёхмерное пространство. Тогда матрица поворота, порождающего эту группу, тоже будет трехмерной:

Этой матрицей и матрицей

поворота на угол вокруг оси абсцисс порождена группа диэдра А сам диэдр, т. е. правильный -угольник, расположен в плоскости так, что его центр совпадает с началом координат, а одна из вершин лежит на оси абсцисс