Программа дисциплины Элементарная математика

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Мировая экономика

Программа дисциплины

Элементарная математика

для направления 080100.62 «Мировая экономика»
подготовки бакалавра

Автор программы: ст. преп.

Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики

25.02.2013 г.

Зав. кафедрой

Рекомендована секцией УМС «___»____________ 20 г.

Председатель

Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________ 20 г.

Ученый секретарь

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1.  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100.62 «Мировая экономика» подготовки бакалавра.

Программа разработана в соответствии с:

·  Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;

·  Рабочим учебным планом университета подготовки бакалавра по направлению 080100.62 «Мировая экономика», подготовки бакалавра, утвержденным в 2012 г.

2.  Цели освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины «Элементарная математика» - поддержка дисциплин математического и естественнонаучного цикла; дисциплина предназначена для студентов, желающих улучшить и пополнить свои знания по школьному курсу элементарной математики, используемые в дисциплинах математического и естественнонаучного цикла.

3.  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  Усвоить основы элементарной математики, необходимые для дальнейшего изучения дисциплин математического и естественнонаучного цикла, предусмотренных Базовым и Рабочим учебными планами;

·  Уметь применять знания элементарной математики для решения задач, возникающих в дисциплинах других циклов и требующих соответствующих знаний.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС / НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
Универсальные общенаучные	ОНК-3	Владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения	Стандартные (лекционно-семинарские)
Инструментальные	ИК-4	Готовность работать с информацией из различных источников	Стандартные (лекционно-семинарские)
Социально-личностные и общекультурные	СЛК-1	Способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь	Стандартные (лекционно-семинарские)
Социально-личностные и общекультурные	СЛК-4	Способность к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства	Стандартные (лекционно-семинарские)
Социально-личностные и общекультурные	СЛК-5	Способность критически оценивать свои достоинства и недостатки, наметить пути и выбрать средства развития достоинств и устранения недостатков	Стандартные (лекционно-семинарские)

4.  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина является факультативом согласно Рабочему учебному плану по направлению 080100.62 «Мировая экономика» подготовки бакалавра, утвержденному в 2012 г.

Изучение данной дисциплины не базируется на каких-либо дисциплинах, предусмотренных Рабочим учебным планом университета подготовки бакалавра по направлению 080100.62 «Мировая экономика», утвержденным в 2012 г.:

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

·  Основами школьных знаний по элементарной математике;

·  Навыками решения простейших типовых задач этих дисциплин, полученных в средних классах средней школы.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  Математический анализ;

·  Линейная алгебра

·  Дискретная математика;

·  Теория вероятностей и математическая статистика;

·  Теория игр и исследование операций.

5.  Тематический план учебной дисциплины

Тематический план учебной дисциплины
Название темы	Количество часов
Семинары	Домашняя работа
1. Основные элементарные функции (ОЭФ), их свойства и графики. Сложные функции. Поведение функций около точек разрыва и «на краях» области определения. Множество значений сложной функции: , где или и т. п.	4	2
2 Понятие функции. Способы задания функции. Числовые функции. Прямая и обратная функции, их графики на примере ОЭФ ( и т. д.). Поиск обратной функции.	2	2
3. Линейная функция и ее свойства. Пучок прямых. Линейные уравнения и неравенства. Система линейных уравнений (2х2), ее исследование.	2	2
4. Модуль числа. Модуль функции. Свойство модуля. Графики рациональных функций, содержащих модуль. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Графическое решение уравнений и неравенств (линейных и квадратичных) с модулем и без модуля. 5. Множества. Операции над множествами. Свойство при решении систем уравнений. 2 2	2 2	2 2
6. Необходимые и достаточные условия. Нематематические, промежуточные, математические примеры. Простейшие логические задачи с параметром.	2	2
7. Графики функций , заданных уравнением: . Преобразование графиков: сдвиги, сжатия-растяжения, симметричное отражение. Семейство парабол, семейство окружностей, семейство гипербол.	4	2
8. Понятие наклонной асимптоты. Поиск уравнения асимптоты дробно-рациональной функции.	2	2
9. Понятие производной. Геометрический смысл. Производная обратной функции. Правила поиска производных ОЭФ. Экстремумы функций. Наибольшие и наименьшие значения функций, заданных на отрезке.	4	2
10. Сопряжение прямой и параболы, прямой и окружности, прямой и гиперболы. Решение уравнений высоких степеней (исследование количества корней).	2	2
11. Графическое решение задачи поиска условного экстремума функции двух переменных.	4	4
12. Векторы. Свойства и действия с векторами. Скалярное произведение векторов. Направляющий вектор прямой. Параллельность и перпендикулярность прямых.	2	2
Итого:	32	26

6.  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1-й год	Параметры
I модуль
Текущий	Контрольная работа	На 4-й неделе	Письменная работа на 80 минут
Итоговый	Зачет		Письменный зачет на 120 минут

6.1  Критерии оценки знаний, навыков

Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания основных понятий и их свойств; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7.  Содержание дисциплины

Раздел I. Числовые функции и их свойства

Тема 1. Определение функции, числовые функции и их простейшие свойства

Интуитивное представление о функции как соответствии между элементами двух множеств. Декартово произведение двух множеств;. Бинарное отношение. Функция как бинарное отношение. Область определения; множество значений функции. Числовая функция числового аргумента. Способы ее задания. Простейшие свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность.. Обратная функция.

Тема 2. Элементарные функции

Основные элементарные функции; их свойства и графики. Понятие элементарной функции. Простейшие преобразования функций. Построение графика функции в случае ее элементарного преобразования.

Литература:

основная: [1], гл. VI, с.271-319; [2], гл. 3, с.109-162.

Раздел II. Числовые уравнения, их совокупности и системы

Тема 3. Стратегия и простейшие методы решения уравнений в общем случае

Числовое уравнение с одной неизвестной. Совокупности числовых уравнений с одной неизвестной. Графический метод решения числовых уравнений. Равносильные уравнения. Простейшие методы перехода от данного уравнения к равносильному. Уравнение, равносильное совокупности уравнений. Уравнение как следствие другого уравнения или совокупности уравнений.

Тема 4. Решение различных типов уравнений

Линейные и квадратные уравнения. Алгебраические уравнения высоких степеней с целочисленными коэффициентами; их свойства. Подбор рационального корня алгебраического уравнения с последующим переходом к решению алгебраического уравнения меньшей степени. Простейшие свойства степеней с любыми показателями. Иррациональные уравнения. Показательные уравнения. Логарифм как решение простейшего показательного уравнения. Основные свойства логарифма. Логарифмические уравнения.

Тема 5. Системы числовых уравнений

Числовые уравнения с несколькими неизвестными; определение его решения. Система числовых уравнений; определение ее решения. Равносильные системы. Простейшие методы перехода от данной системы к равносильной. Графическое решение систем с двумя неизвестными в простейших случаях.

Литература:

основная: [1], гл. III, с.109-124, 134-169; гл. IV, с.170-197, 134-169; VII, с.320-376; [2], гл. 2, с.76-108; гл. 4, с.163-193; гл. 10, с.341-365;

дополнительная: [3], раздел 1, §§ 1.1-1.8 с.9-50, раздел 5, §§ 5.1-5.2 с.167-175; [4], ч. I, темы 1-4, 6-7, 9, 11; [5], ч. I, §§ 2, 5.

Раздел III. Числовые неравенства, их совокупности и системы

Тема 6. Стратегия и простейшие общие методы решения числовых неравенств

Числовое неравенство с одной неизвестной; определение его решения. Совокупности и системы числовых неравенств с одной неизвестной. Графический метод решения числовых неравенств. Равносильные неравенства. Простейшие методы перехода от данного неравенства к равносильному. Неравенство, равносильное совокупности неравенств и систем неравенств. Метод интервалов на плоскости.

Тема 7. Решение различных типов числовых неравенств

Решение линейных, квадратных и дробно-линейных неравенств. Решение показательных и логарифмических неравенств. Решение иррациональных неравенств.

Литература:

основная: [1], гл. III, с.124-134; гл. VIII, с.377-441; [2], гл. 6, с.216-238; гл. 10, с.365-370;

дополнительная: [3], раздел 2, §§ 2.1-2.3, с.51-61, раздел 5, §§ 5.3, с.175-178; [4], ч. I, темы 5, 9, 11; [5], ч. I, § 6.

8.  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1. Примеры задач для разбора на семинарах и дома:

1. Построение графиков Первый уровень сложности:

; ; ; ; ; ;

Второй уровень сложности:

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

Третий уровень сложности

; ; ;

; ;

; ;

Дан график функции ; ; ;

; – найти знаки а, b, c

2. Решение уравнений и неравенств

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ;

3. Поделить многочлен на многочлен

на ;

на ;

на ;

Найти целую часть от деления многочленов:

; ; ;

4. Даны функции:

; ; ; ; при этом найти функции:

; ; ; ; ;

; ; ; ;

5. Найти обратную функцию к заданной:

; ; ; ; ;

; ; ; ;

6. Решить систему уравнений:

6.1 6.2

6.3 6.4

7. На плоскости Х0Y изобразить эскизы семейства линий, заданных уравнением.

7.1 , при

7.2 , при

7.3 , при

7.4 , при

7.5 , при

7.6 , при

7.7 , при

7.8 , при

7.9 , при

8. В каких пределах изменяется:

8.1 величина “”, если ;

8.2 величина “”, если ;

8.3 величина “”, если ;

8.4 величина “”, если ;

8.5 величина “”, если ;

8.6 величина “”, если ;

8.7 величина “”, если ;

Дать графическую интерпретацию постановки задачи и ее решения на плоскости X0Y.

9. Куда стремится значение функции y(x):

, если (х стремится к 0 справа)

, если (х стремится к 0 слева)

, если

, если

, если

, если , если

, если , есл

, если

, если

, если

10. Найти множество значений функции

10.1. , если 10.2..

10.3. , если 10.4

10.5. 10.6 , если

, если

, если

11. Найти какой-нибудь вектор сонаправленный с прямой ,

длина которого равна 20

12. Найти какой-нибудь вектор перпендикулярный прямой , длина которого равна 10.

13. Найти косинус острого угла между прямыми и

14. Найти х и у, если векторы и сонаправлены (коллинеарны).

15. Представить вектор линейной комбинацией векторов и .

16. Найти все значения параметра m, при которых система имеет бесчисленное множество решений.

17. Выбрать верные утверждения:

Если ; ; ; ;

; , то:

; …….

; …….

…. и т. д. Всего 30 утверждений.

8.2 Проект итоговой контрольной работы

Вариант 1

1. Решить неравенства:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

2. Даны функции ; ; ;

Найти функции:

2.1

2.2

2.3

3. Решить систему уравнений

4. Построить эскизы семейства линий, заданных уравнением

, при

5. Построить эскиз графика функции:

6. В каких пределах изменяется величина , если известно,

что

7. Найти множество значений функции

8. Куда стремятся значения функции ,

если

9. Найти производную функции:

10. Найти производную функции:

11. Найти вектор, сонаправленный прямой, заданной уравнением , если известно, что его длина равна 10.

12. Найти все “x”, при которых два вектора и перпендикулярны.

13. Найти все значения параметра “m”, при которых система не имеет решений.

14. Найти все значения параметра “a”, при которых из условия следует условие .

Вариант 2

1. Решить неравенства:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

2. Даны функции ; ; ;

Найти функции:

2.1

2.2

2.3

2.4

3. Решить систему уравнений

4. Найти множество значений функции

4.1 , если

4.2

4.3 , если

5. В каких пределах изменяется величина , если . Дать графическую – на плоскости X0Y – интерпретацию решения задачи.

6. Найти производные функций

6.1 6.2

7. Найти значение производной функции:

в точке

8. В каких пределах изменяется величина , если . Дать графическую – на плоскости X0Y – интерпретацию решения задачи.

9. Куда стремится значение функции , если х стремится к 3 слева?

10. Найти вектор, сонаправленный прямой, заданной уравнением , если известно, что его длина равна 10.

11. Найти все х, при которых два вектора и перпендикулярны.

12. Найти все значения параметра “m”, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений

13. Представить вектор линейной комбинацией векторов и .

14. Выбрать верные утверждения (из 12-ти):

Если

; ; ; ;

то:

; …….

; … и т. д..

(Всего 12 штук)

9.  Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу в модуле определяется перед итоговым контролем.

Накопленная оценка учитывает результаты студента по текущему контролю в модуле следующим образом:

Отекущ. = 0,25·Оауд. + 0,75·Окр,

где Оауд. – оценка за активность на семинарских занятиях и Окр - оценка за контрольную работу.

Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам арифметики округления.

Результирующая оценка за итоговый контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле

Оитоговый = 0,5·Озачет + 0,5·Отекущ.,

где Озачет – оценка за письменный зачет.

Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам арифметики округления.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

10.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1  Базовый учебник

[1] , , Алгебра и анализ элементарных функций. – М.: «Наука», ФМЛ, 1980.

10.2  Основная литература

[1] , , Алгебра и анализ элементарных функций. – М.: Наука, ФМЛ, 1980.

[2] Алгебра и начала анализа. – М.: Высшая школа, 1979.

10.3  Дополнительная литература

[3] Математика для поступающих в вузы: учебное пособие / . — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2006.

[4] Математика: Сборник задач с решениями для поступающих в вузы. / Под ред. , - М.: Астрель», АСТ», 2002.

[5] 3000 конкурсных задач по математике. 2 изд., испр. и доп. - М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.