Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (1 семестр, специальность Миф, 2012-13 уч. г.)

Утверждено на заседании

кафедры математического

анализа протокол от 12.12.12

Зав. кафедрой _________________

Вопросы и задачи к экзамену

по математическому анализу

(1 семестр, специальность Миф, 2012-13 уч. г.)

Составил проф.

1  Множества. Операции над множествами. Множество рациональных чисел и его свойства.

2  Множество действительных чисел R, свойства. Геометрическое изображение и представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями.

3  Модуль действительного числа. Геометрический смысл и теоремы об абсолютной величине числа.

4  Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Существование точных граней ограниченного множества.

5  Принцип вложенных отрезков. Теорема Кантора.

6  Числовые последовательности. Предел последовательности.

7  Признак сходимости монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса.

8  Свойства сходящихся последовательностей.

9  Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

10  Критерий Коши сходимости последовательности.

11  Числовые функции. Сложная функция. Способы задания функции.

12  Ограниченные и неограниченные функции

13  Монотонные функции.

14  Четные и нечетные функции.

15  Периодические функции.

16  Предельные точки множества. Предел как локальное свойство функции. Определение предела функции по Коши и Гейне. Геометрическое истолкование предела функции в точке.

17  Односторонние конечные пределы, бесконечные пределы в конечной точке, предел на бесконечности, предел по множеству.

18  Локальные свойства функции, имеющей конечный предел: единственность предела, ограниченность функции, о сохранении функцией знака своего предела. Свойства пределов, связанные с неравенствами.

19  Бесконечно малые функции. Свойства.

20  Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Теорема о пределе сложной функции.

21  Непрерывность функции в точке. точки разрыва функции и их классификация. Локальные свойства функций непрерывных в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями и непрерывность сложной функции.

22  Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции и о достижении точных граней.

23  Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях функции.

24  Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между б. б.ф. и неограниченной функцией.

25  Существование и непрерывность обратной функции.

26  Равномерная непрерывность функции.

27  Тригонометрические и обратные тригонометрические функции: неравенства, связанные с ними, непрерывность. 1-й замечательный предел.

28  Число е и 2-ой замечательный предел.

29  Пределы, связанные с логарифмической, показательной и степенной функциями.

30  Сравнение б. м.ф. Эквивалентные б. м.ф. Теорема о замене функций эквивалентными при вычислении пределов. Признак эквивалентности б. м.ф.

31  Степенная функция с целым и рациональным показателем. Свойства.

32  Показательная функция на множестве рациональных чисел. Свойства. Определение степени с иррациональным показателем.

33  Логарифмическая функция и ее свойства.

34  Степенная функция любым вещественным показателем. Показательно-степенная функция и ее предел.

35  Асимптоты кривых.

36  Гиперболические функции.

Студент должен знать:

1.  определение ограниченного (неограниченного) множества.

2.  понятие точных граней числовых множеств.

3.  теорему о точных гранях.

4.  определение предела числовой последовательности и его геометрический смысл.

5.  определение возрастающей (убывающей) последовательности.

6.  признак сходимости монотонных последовательностей.

7.  теорему Больцано-Вейерштраса о подпоследовательностях.

8.  способы задания числовых функций.

9.  основные глобальные свойства числовых функций: ограниченность (неограниченность), монотонность, четность (нечетность), периодичность.

10.  определение предела функции и его геометрический смысл.

11.  локальные свойства функции, имеющей конечный предел: ограниченность, сохранение знака своего предела,

12.  теоремы о пределе промежуточной функции и предельном переходе в неравенстве.

13.  определение б. м.ф. и их свойства.

14.  связь б. м.ф. с функцией, имеющей конечный предел.

15.  арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел.

16.  свойства функции непрерывной на отрезке: теоремы Вейерштрасса об ограниченности и достижении точных граней, теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях, теорема Коши о нулях непрерывной функции.

17.  определение б. б.ф. и их свойства.

18.  связь между б. б.ф. и неограниченной функцией

19.  теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

20.  определение равномерной непрерывности

Студент должен уметь

1.  Строить графики основных элементарных функций

y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=, y=½x½, y=ax, y=ex, y=logax,

y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

y=shx, y=chx, y=thx, y=cthx

2.  Вычислять различные типы пределов (односторонние конечные пределы, бесконечные пределы в конечной точке, предел на бесконечности, предел по множеству)

3.  Исследовать функцию на непрерывность.

4.  Исследовать точки разрыва функции

5.  Вычислять пределы методом замены переменных, заменой эквивалентными функциями)

6.  Раскрывать неопределенности 0/0,¥/ ¥, ¥-¥, 0×¥, 1¥, ¥0, 00.

7.  Применять замечательные пределы

8.  Вычислять асимптоты кривых

Примерный билет экзамена

1.  Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции и о достижении точных граней.

2.  Дать определение АÈВ и построить это множество, если А= {(x, y)| x2-2x<y}, B={(x, y)| 0<y<2+х}.

3.  Дайте определение понятиям и приведите соответствующие примеры:

а) множество Х - ограничено;

б) точная верхняя грань множества;

в) возрастающая на области определения функция;

г) бесконечно малая функция при х®1

4.  Сформулируйте с помощью неравенств утверждение: = 2. В чем состоит геометрический смысл предела последовательности. Приведите пример последовательности на это свойство.

5.  Построить график функции y=

6.  Вычислить предел

7.  Найти область определения функции y= arccos(log2(x–3))

Задачи к экзамену

1.  Изобразить множества на координатной плоскости:

1) А={(х. у)½0£у£х}, В={(х. у)½у³ (х-2)2}, А\В, АÇВ;

2) А={(х. у)½0£х£3}, В={(х. у)½ ½х½+½у½£1}, А\В, АÇВ, В\А;

2.  Сравнить числа:

1)  3/7 и 6/11; 2) а=+2 и b=; 3) и 2,2(8)

3.  Решить уравнения и неравенства

1. ½2-х½£2 2. x2+|x|–2=0 3. |x2–2|+|6–x2|=4 4. x2–6|x|–7£0 5. |2x–1|+|2x+1|£4

4.  Исследовать множество М= на ограниченность. Найти sup A, inf A

5.  Вычислить пределы последовательностей

а) , б)

6.  Найти область определения функций:

1. у=lg(3x-x3), 2. y=arcsin 3. y= 4 y=lоg0,5 (log2x))

7.  Провести элементарное исследование и построить график функции

1. у=arccos(cosx), 2. y=, 3. y=½½x-1½-1½, 4. y=log2(4-x2)

8.  Вычислить пределы через замену эквивалентными функциями:

1) , 2) , 3)

9.  Для функции f(x)=найти f(x), f(x), f(x)