Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижневартовский государственный гуманитарный университет»
Утверждено на заседании кафедры
информатики и МПИ
от «___»__________________2011г.
Протокол №_____
Заведующий кафедрой
информатики и МПИ
________________
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
по специальности 05.13.18 – «Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ»
(физико-математические науки)
Нижневартовск, 2011
ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
Математический анализ
Теория пределов. Теория рядов. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях, теорема о неявных функциях, формула Тейлора).
Основные теоремы интегрального исчисления (теоремы о замене переменных, теоремы о повторных интегралах, формулы Грина, Остроградского, Стокса).
Теория функций комплексного переменного.
Условия Коши-Римана. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Точки ветвления и римановы поверхности.
Комплексное интегрирование. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Морера.
Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки аналитической функции. Теорема единственности аналитической функции. Принцип модуля и аргумента для аналитической функции. Элементы теории вычетов.
Бесконечные произведения. Представление целой функции в виде бесконечного произведения.
Принцип аналитического продолжения. Теорема Римана о конформном отображении односвязных областей. Формула Кристоффеля-Шварца.
Предельные значения интеграла типа Коши (формула Сохоцкого-Племели). Восстановление аналитической функции по ее вещественной части на окружности (формула Шварца). Решение задачи Дирихле для круга (формула Пуассона).
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения и нормальной системы. Зависимости решения от начальных условий и от параметров.
Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной однородной системы. Построение общего решения. Неоднородные линейные системы. Метод вариации произвольных постоянных. Линейное уравнение n-го порядка. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Алгебра
Алгебраическая система. Изоморфизм. Группа. Кольцо. Поле. Поле комплексных чисел. Кольцо многочленов. Кольцо матриц. Группа подстановок.
Теория определителей.
База и ранг системы векторов. Изоморфизм любого пространства некоторому пространству строк. Преобразование координат вектора при смене базиса пространства. Фактор-пространство. Размерность суммы, пересечения, фактор-пространства.
Теорема о ранге матриц. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных уравнений ( определение и отношение ). Однородные системы ( пространство решений, фундаментальные системы решений ).
Делимость многочленов (алгоритмы деления с остатком, наибольший общий делитель, алгоритм Евклида ). Разложение на неприводимые множители. Корни и значения (теорема Безу, формула Тейлора, интерполяционный многочлен). Основная теорема о комплексных числах.
Изоморфизмы с алгеброй матриц. Образ, ядра, ранг и дефект линейного преобразования. Невырожденные преобразования. Инвариантность пространства.
Процесс ортогонализации, изоморфизм евклидовых (унитарных) пространств, ортогональные и симметрические преобразования.
Поведение матриц квадратичной формы при линейной замене переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции действительной квадратичной формы. Положительно определенные формы.
Геометрия
Формулы замены координат. Вычисление скалярных произведений, длин отрезков, углов.
Одинаково и противоположно ориентированные реперы, ориентация пространства. Вычисление объема параллелепипеда, построенного по реперу, через координаты составляющих вектора. Геометрический смысл детерминанта матрицы Грамма. Векторное и смешанное произведение в 3-х мерном ориентированном евклидовом пространстве.
Задание афинного подпространства параметрическим уравнением и системой уравнений 1-й степени. Определение взаимного расположения, расстояний и углов по коэффициентам уравнений.
Связь афинных отображений с системами линейных уравнений. Существование и единственность афинного отображения, имеющего заданные значения в заданных точках. Афинные свойства фигур (прямолинейность, выпуклость, связность и т. п.). Инвариантные подпространства афинных и ортогональных преобразований. Разложение афинного отображения в произведение растяжения и ортогонального отображения.
Алгебраические поверхности. Пересечение алгебраической поверхности с прямой, условие касания. Линия второго порядка (фокусы, асимптоты, оптические свойства). Строение поверхностей 2-го порядка. Алгоритмы отыскания канонического уравнения и главных осей поверхности, заданной общим уравнением 2-й степени. Метод Лагранжа ( метод выделения полных квадратов ) для определения афинного типа поверхности 2-го порядка.
Кривизна кривой. Соприкасающаяся плоскость, главная нормаль и бинормаль. Кручение кривой. Теорема о задании кривой натуральными уравнениями.
Первая и вторая квадратичные формы. Универсальная связь между первой и второй квадратичными формами поверхности.
Теория вероятностей
Пространство элементарных событий (ЭС). Построение вероятностей для дискретного пространства ЭС. Классическое определение вероятности. Определение вероятности для произвольного пространства ЭС. Вероятностное пространство. Теорема о непрерывности вероятности. Геометрическая вероятность.
Определение случайной величины (СВ). Ступенчатые СВ. Определение условной вероятности одного события относительно другого. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Определение условной вероятности события относительно СВ.
Математическое ожидание (МО). Моменты. Условное МО одной СВ относительно другой. Независимость СВ. МО произведения СВ. Дисперсия и ее свойства. Ковариация. Неравенство Чебышева и его обобщения. Одномерные функции распределения (ФР). Плотность. Представление ФР в виде суммы трех компонент. Формула для МО функции от СВ. Примеры ФР. Многомерные ФР. Согласованность. Плотность. Вероятность попадания в прямоугольник. Построение вероятностной меры в R по ФР. Независимость СВ в терминах ФР.
Последовательные испытания. Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула для числа успехов в схеме Бернулли. Последовательность независимых СВ. Построение соответствующей вероятностной меры. Лемма Бореля-Кантелли. Закон больших чисел. Усиленный закон больших чисел. Закон нуля или единицы Колмогорова. Центральная предельная теорема. Локальная предельная теорема. Теорема Пуассона.
Математическая логика.
Множества, операции над множествами, отображения и репредикаты. Аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело. Фильтры и ультрафильтры. Язык узкого исчисления предикатов. Модели, истинность формул на модели. Прямое произведение моделей, фильтрованное произведение. Теорема Лося, локальная теорема Мальцева.
Понятие исчисления, основные проблемы. Правила вывода, понятия доказательства. Эквивалентность формул, основные эквивалентности. Теорема о существовании модели для непротиворечивой формулы. Теорема полноты Геделя, теорема Левенгейма-Сколема.
Методы вычислений
Задача наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве. Полиномы Чебышева. Интерполяционные и квадратурные формулы. Выбор узлов интерполяции. Сплайн-интерполяция.
Методы Гаусса-Жордана и последовательных приближений численного решения систем линейных алгебраических уравнений.
Методы половинного деления, последовательных приближений, Ньютона для решения уравнений и систем нелинейных уравнений.
Метод Рунге-Кутта. Метод Адамса (интерполяционный и экстраполяционный). Метод предиктор-корректор. Дифференциальное уравнение 2-го порядка. Факторизация. Метод прогонки. Устойчивость метода.
Прямая и двойственная задачи линейного программирования. Метод последовательного улучшения допустимого вектора. Минимизация выпуклого функционала на выпуклом множестве. Использование штрафных функций. Метод сопряженных градиентов.
КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ
Общая теория
Понятие информации; виды информации; математические основы информатики; подходы к оценке количества информации; структура и закономерности протекания информационных процессов; общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации; технические и программные средства реализации информационных процессов; информационные технологии; модели решения трудно формализуемых задач; алгоритмизация и программирование; формы представления и преобразования информации; роль информационных ресурсов: информатизация; перспективы перехода к информационному обществу.
Теория информации
Фундаментальные положения теории информации; количественная мера информации; понятие энтропии дискретных и непрерывных событий; скорость передачи информации и пропускная способность канала связи при отсутствии и наличии помех; прямая и обратная теория К. Шеннона; информационные пределы избыточности; методика построения избыточных кодов; проблемы передачи непрерывной информации с оценкой ошибок дискретизации по времени и по амплитуде; возможности информационного подхода к оценке качества функционирования систем.
Электронные вычислительные машины, микропроцессорные вычислительные средства, организация вычислительных систем
Системы счисления; арифметические операции; принцип микропрограммного управления; базовая архитектура ЭВМ; процессор; система команд; способы адресации; язык ассемблера; реализация основных механизмов (механизм подпрограмм, рекурсия, сопрограммы); система прерываний; организация ввода-вывода; прямой доступ в память; иерархия памяти, организация запоминающих устройств; тенденции и принципы развития современных ЭВМ; архитектура микропроцессорного набора; системная магистраль; программируемые интерфейсы; полупроводниковая память; арифметические процессоры; мультипроцессорные конфигурации; технология разработки микропроцессорных систем; инструментальные средства программирования и отладки; поколения вычислительных систем; архитектура вычислительной системы; микропроцессорные системы; архитектурные решения, проблемно-ориентированная архитектура; вопросы анализа и оценки эффективности вычислительной системы.
Алгоритмические языки, технология программирования
Основные этапы решения задач на ЭВМ; критерии качества программы; диалоговые программы; дружественность, жизненный цикл программы; постановка задачи и спецификация программы; способы записи алгоритма; стандартные типы данных; представление основных структур программирования; типы данных, определяемые пользователем; записи; файлы; динамические структуры данных; списки; программирование рекурсивных алгоритмов; способы конструирования программ; модульные программы; основы доказательства правильности; процесс производства программных продуктов; основные подходы: процедурное, логическое, функциональное и объектноориентированное программирование; методы, технология и инструментальные средства; тестирование и отладка; документирование и стандартизация; проектирование программного обеспечения; абстрактные структуры данных; автоматизация проектирования и технология использования САПР программного обеспечения.
Операционные системы и системное программирование
Пользовательский интерфейс операционной среды; управление задачами; управление памятью; управление вводом-выводом; управление файлами; пример современной операционной системы; программирование в операционной среде; ассемблеры; мобильность программного обеспечения; макроязыки; формальные системы и языки программирования; компиляторы; интерактивные системы; средства трассировки и отладки программ.
Организация баз данных
Логическая организация баз данных (БД); объекты и атрибуты; схемы и подсхемы; системы управления БД (СУБД); концептуальные модели БД; языки БД; физическая организация БД; критерии выбора физической организации данных; указатели; цепи и кольцевые структуры; способы адресации; индексно-последовательная организация; алгоритмы перемешивания; физическое представление иерархических структур; физическое представление сетевых структур; поиски по нескольким ключам; организация индекса; разделение данных и связей; методы поиска в индексе; сжатие данных; виртуальная память и иерархия организации памяти; инвертированные файлы; распределенные БД.
Методы искусственного интеллекта, базы знаний, экспертные системы
Искусственный интеллект как научное направление; представление знаний, рассуждений и задач; эпистомологическая полнота представления знаний и эвристически эффективные стратегии поиска решения задач; модели представления знаний : алгоритмические, логические, сетевые и продукционные модели; сценарии; экспертные системы : классификация и структура; инструментальные средства проектирования, разработки и отладки; этапы разработки; примеры реализации.
Компьютерная графика
Геометрическое моделирование; графические объекты, примитивы и их атрибуты; представление видеоинформации и ее машинная генерация; графические языки; метафайлы; архитектура графических терминалов и графических рабочих станций; реализация аппаратно-программных модулей графической системы; базовая графика; пространственная графика; стандарты компьютерной графики; графические диалоговые системы; применение интерактивных графических систем.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. , Жидков вычислений. Т.1,2, М:1962.
2. Бицадзе теории аналитических функций комплексного переменного.
3. Богумирский MS DOS 6.2/6.22 Санкт-Петербург, 1998.
4. Боровков по теории вероятностей.
5. Внутренний мир Adobe Photoshop 5. М., 1997.
6. , Василькова технологии вычислений в математическом моделировании: Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. М: Финансы и статистика, 1999.
7. Гиффорд Двайн Access 97. Эн. циклопедия пользователей К.: BHV 1997.
8. Гнеденко тории вероятностей.
9. Головкин системы с большим числом процессов. М: Радио и связь, 1995.
10. Грызлов Паскаль 7.0 М., 1998
11. . Visual Foxpro 5. М. 1997.
12. Клини в математику. М.:1957.
13. и Фомин теории функций и функционального анализа.
14. Корнеев вычислительные системы. М: Нолидж, 1999.
15. , Киселев микропроцессоры. М: Нолидж, 1998.
16. Курош высшей алгебры.
17. Л. Аммерал. Машинная графика на персональных компьютерах. М. 1992.
18. Лавров и алгоритмы. НГУ: 1970.
19. Теория вероятностей.
20. Мальцев линейной алгебры.
21. Марчук вычислительной математики. Новосибирск:1972.
22. Мюллер Дж., Полное руководство по Windows 95. М. 1998.
23. Математические основы теории вероятностей.
24. Руководство по программированию. М., 1994.
25. Петровский по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
26. Погорелов геометрия.
27. Погорелов геометрия.
28. Рубинштейн модели оптимизации.
29. Тайцлин моделей. НГУ: 1970.
30. Фаддеев методы линейной алгебры.
31. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2.
32. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3.
33. Хомоненко современных компьютерных технологий. М. 1998.
34. Цветков системы и технологии. М: Финансы и статистика, 1998.
35. , Боресков графика. Динамика, реалистические изображения. М., 1995.
ВОПРОСЫ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ЭКЗАМЕНУ В АСПИРАНТУРУ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 05.13.18 – «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ»
(ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ)
1. Математический анализ.
2. Теория функций комплексного переменного.
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
4. Алгебра.
5. Геометрия.
6. Теория вероятностей.
7. Математическая логика.
8. Методы вычислений.
9. Компьютерные науки. Общая теория.
10. Теория информации.
11. Электронные вычислительные машины, микропроцессорные вычислительные средства, организация вычислительных систем.
12. Алгоритмические языки, технология программирования.
13. Операционные системы и системное программирование.
14. Организация баз данных.
15. Методы искусственного интеллекта, базы знаний, экспертные системы.
16. Компьютерная графика.
