Рабочая учебная программа по дисциплине
«Математическая логика»
ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»
Екатеринбург, 2007. – 9 с.
Составитель:
, зав. кафедрой алгебры и теории чисел. |
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ
Протокол
И. о. зав. кафедрой
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Современная математика может быть представлена как наука об абстрактных объектах таких, как вещественные числа, функции, поверхности, алгебраические системы и т. д. Математическая логика рассматривает новое направление в этой науке, сосредоточивая внимание на языке, используемом в математике, на способах определения абстрактных объектов и на законах логики, которыми мы руководствуемся, когда рассуждаем об этих объектах. Логики предприняли это изучение с надеждой понять природу математического опыта и в конечном счете внести вклад в математику как важными результатами, возникающими в самой логике (теорема Гёделя о неполноте является наиболее известным примером), так и их приложениями к другим разделам математики.
Курс математической логики для студентов математических специальностей педагогических вузов имеет своей целью изложить основы этой науки, познакомить студентов с формализованным аксиоматическим методом построения математических теорий, охватывающим также и логические средства; его основными составными частями: языком, аксиомами, правилами вывода; проблемами непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий.
Изучение математической логики, безусловно, будет способствовать более ясному представлению об общей структуре математических теорий, о математике в целом, а значит, и о школьной математике. Курс математической логики имеет разнообразные межпредметные связи с алгеброй и теорией чисел, геометрией, математическим анализом. Настоящая программа предусматривает также существенную связь его с курсом информатики. Это касается изучения языка первого порядка и формализованного построения математических теорий. Исчисление высказываний может быть изложено на основе книги Д. Шенфилда “Математическая логика”.
На практических занятиях студенты решают задачи по разделам «Логика высказываний», «Исчисление высказываний», «Логика предикатов», «Теории 1-го порядка», «Модели теорий». Они должны овладеть техникой логических преобразований, особенно обращению с кванторами, научиться доказывать выводимость формулы счисления высказываний с использованием правил вывода. По курсу математической логики предусматривается проведение двух контрольных работ.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
2.1 . Учебно-тематический план очной формы обучения
№ п/п | Наименование раздела, темы | Всего трудоемкость | Аудиторные занятия | Самостоятельная работа | ||
Всего | Лекции | Практические | ||||
1. | Аксиоматический метод в математике | 8 | 4 | 2 | 2 | 4 |
2. | Алгебра высказываний. Нормальные формы | 32 | 16 | 8 | 8 | 16 |
3. | Исчисление высказываний | 24 | 12 | 6 | 6 | 12 |
4. | Предикаты и кванторы | 16 | 8 | 4 | 4 | 8 |
5. | Теории 1-го порядка | 16 | 8 | 4 | 4 | 8 |
6. | Модель теории 1-го порядка | 10 | 4 | 2 | 2 | 6 |
7. | Теорема полноты К. Геделя | 10 | 4 | 2 | 2 | 6 |
8. | Теорема Геделя о неполноте | 10 | 4 | 2 | 2 | 6 |
Итого: | 126 | 60 | 30 | 30 | 66 |
2.2 Учебно-тематический план заочной формы обучения
№ п/п | Наименование раздела, темы | Всего трудоемкость | Аудиторные занятия | Самостоятельная работа | ||
Всего | Лекции | Практические | ||||
1. | Аксиоматический метод в математике | 11 | 1 | 1 | 10 | |
2. | Алгебра высказываний. Нормальные формы | 22 | 2 | 1 | 1 | 20 |
3. | Исчисление высказываний | 16 | 2 | 1 | 1 | 14 |
4. | Предикаты и кванторы | 16 | 2 | 1 | 1 | 14 |
5. | Теории 1-го порядка | 16 | 2 | 1 | 1 | 14 |
6. | Модель теории 1-го порядка | 16 | 2 | 1 | 1 | 14 |
7. | Теорема полноты К. Геделя | 16 | 2 | 1 | 1 | 14 |
8. | Теорема Геделя о неполноте | 13 | 1 | 1 | 12 | |
Итого: | 126 | 14 | 8 | 6 | 112 |
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Аксиоматический метод в математике
Аксиоматический метод в математике. Математическая логика и формализация математических теорий. Применение математической логики в других областях знаний.
2. Алгебра высказываний. Нормальные формы
Алгебра высказываний. Операции над высказываниями и их свойства. Истинностные значения формул. Тавтологии - законы логики высказываний. Равносильность и преобразования формул. Нормальные формы. Представление истинностных функций формулами. Применение алгебры высказываний к переключательным схемам.
3. Исчисление высказываний
Принципы построения исчислений высказываний (гильбертовского и генценовского типа). Классическое и конструктивное (Интуиционистское) исчисления. Аксиомы, правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из гипотез. Производные правила. Теорема дедукции. Характеристики исчислений высказываний – непротиворечивость, полнота, разрешимость и связанные сними теоремы. Независимость аксиом, правила вывода. Законы исключенного третьего и снятия двойного отрицания – законы классической логики. Эффективные и неэффективные доказательства.
4. Предикаты и кванторы
Понятие предиката. Формулы логики предикатов. Истинностные значения формул. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений.
5. Теории 1-го порядка
Языки 1-го порядка: переменные, логические и нелогические символы, термы и формулы. Однозначность построения термов и формул, часть формулы. Cвободные и связанные вхождения переменных. Операция подстановки терма в формулу и ее допустимость. Логические и нелогические аксиомы, правила вывода. Теоремы и доказательства в теории 1-го порядка
6. Модели теории 1-го порядка
Структуры для языка 1-го порядка. Истинность формулы в структуре для языка 1-го порядка. Теорема истинности. Модель теории.
7. Теорема полноты К. Геделя
Истинность формулы в теории. Две формы теоремы полноты К. Геделя. Изоморфизм моделей. Категоричность теории.
8. Теорема Геделя о неполноте
Формализация математических теорий.
Примеры формализации математических теорий: теория групп, теория N, теория множеств. Проблема непротиворечивости в математике. Программа Гильберта. Метод формализации. Конструктивное направление в математике.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ
КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1 . Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
Формулы логики предикатов Истинностные значения формул. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений.
4.2. Примерные темы курсовых работ
1. Аксиоматический метод в математике.
2. Решение логических задач.
3. Математическая логика и формализация математических теорий.
4. Некоторые применения математической логики.
5. Теория формальных систем.
6. Теории 1-го порядка. Формализация математических теорий.
7. Теорема Геделя о неполноте.
4.3. Вопросы для экзамена
1. Аксиоматический метод в математике и формализация математических теорий.
2. Алгебра высказываний.
3. Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы.
4. Построение исчисления высказываний в виде формальной системы.
5. Свойства выводимых формул.
6. Совпадение классов выводимых и тождественно истинных формул.
7. Функции и предикаты.
8. Формализация математических теорий на языке первого порядка.
9. Аксиомы и правила вывода теории первого порядка.
10. Модель теории первого порядка.
11. Теорема о полноте.
12. Алгоритмы и машина Тьюринга.
13. Теорема Геделя о неполноте.
5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Студент, изучивший дисциплину, должен знать:
– о применениях математической логики в вопросах обоснования математики;
– формализованный аксиоматический метод построения математических теорий, его основные составные части;
– проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий; алгебру высказываний и нормальные формы;
– применение алгебры высказываний;
– изложение исчисления высказываний в виде формальной теории; предикаты и кванторы;
– проблему разрешения для общезначимости и выполнимости;
– теории 1-го порядка, язык теории, теоремы и доказательства, модель теории, изоморфизм моделей, категоричность теории; теорему К. Геделя о полноте;
– алгоритмы, рекурсивные функции и их связь с аксиоматическим методом; теорему Геделя о неполноте.
Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:
– записывать математические утверждения с использованием логической символики;
– преобразовывать формулы, в частности, формулы с кванторами и предикатами;
– вычислять нормальные формы;
– применять алгебру высказываний;
– доказывать выводимость формулы исчисления высказываний; записывать математические утверждения на языке 1-го порядка;
– строить модели теории;
– проверять непротиворечивость, независимость системы аксиом.
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1.Рекомендуемая литература
Основная
1. Ершов, логика [Текст]: учеб. пособие для вузов / , . – 4-е изд. стер. – СПб.: Лань, 2005. – 336 с.
2. Игошин, -практикум по математической логике [Текст]: учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов / . – Подольск: Академия, 2005. – 156 с.
3. Ильиных, логика [Текст]: учеб. пособие / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург: УрГПУ, 2002. – 76 с.
4. Лавров, по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [Текст] / , . – М.: Наука, 1995. – 240 с.
5. Мендельсон, Э. Введение в математическую логику [Текст] / Э. Мендельсон. – М.: Наука, 1976. – 287 с.
6. Новиков, математической логики [Текст] / . – М.: Наука, 1973. – 399 с.
7. Шенфилд, логика [Текст] / . – М.: Наука, 1975. – 527 с.
Дополнительная
1. Гжегорчик, А. Популярная логика [Текст] / А. Гжегорчик. – М.: Наука, 1979. –
2. Гладкий, логика [Текст] / . – М.: Рос. гос. гум. ун-т, 1998. – 479 с.
3. Градштейн, и обратная теоремы. Элементы алгебры логики [Текст] / . – М.: Наука, 1972. – 128 с.
4. Клини, логика [Текст] / . – М.: Мир, 1973. 480 с.
5. Колмогоров, логика: Доп. гл. [Текст]: учеб. пособие для вузов по спец. «Математика» / , . – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. – 119 с.
6. Лихтарников, логика [Текст]: курс лекций, задачник-практикум и решения / , . – СПб.: Лань, 1998. – 288 с.
7. Мадер, об алгебре логики [Текст]: книга для внеклассного чтения учащихся 10-11 кл. сред. школы / . – М.: Просвещение, 1993. –
8. Математическая логика: для спец. «Математика» [Текст]: МГЗПИ; сост. отв. ред. . – М.,1991. –
9. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие для мат. спец. пед. ин-тов; под общ. ред. . – Минск.: Вышэйшая школа, 1991. – 269 с.
10. Основы математической логики [Текст]: метод. разраб. / ; Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск: СГПИ, 1987. – 122 с.
6.2. Информационное обеспечение дисциплины
Локальная сеть математического факультета УрГПУ, сайт кафедры алгебры и теории чисел, «Информационная обучающая среда».
7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ
, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и теории чисел |
