Методические указания по элементарной математике для слушателей подготовительного отделения для иностранных граждан

Днепропетровск

2010

Методические указания по элементарной математике для слушателей подготовительного отделения для иностранных граждан / авторы: , , – Днепропетровск: Национальный горный университет, 2010. – 42 с.

Укладачі: , канд. техн. наук, доц.

, ст. преподаватель

, ст. преподаватель

ассистент.

Ответственная за выпуск заведующая кафедры высшей математики , д-р техн. наук, проф.

1.  Вступительный курс

Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов элементарной математике в курсе программы подготовительного отделения для иностранных граждан и расчитана на студентов-иностранцев, которые прибыли в Украину для получения высшего образования. Соответствует программе подготовительного отделения для иностранных граждан. Включает элементы теории, задачи, методические указания, собственно, решения задач, и задачи для самостоятельного решения. Главная цель данного курса – изучение математической терминологии и символики путем повторения уже известного студентам материала и подготовка учащихся для восприятия последующих тем. Весь материал разбит на параграфы, каждый из которых посвящен отдельной теме и снабжен разобранными примерами. В конце раздела приведены задания для самостоятельной работы.

Цифры и числа

Когда пересчитывают какие-либо предметы, называют в строго определенном порядке числа: один, два, три, четыре, пять и так далее. Эти числа называются натуральными. Для записи натуральных чисел используются символы 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Их называют цифрами. С помощью этих десяти цифр можно записать любое натуральное число.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пример. 327 – триста двадцать семь;

1002 – тысяча два;

30185 – тридцать тысяч сто восемьдесят пять.

Число, записанное несколькими цифрами называют многозначным; одной цифрой – однозначным; двумя – двузначным и так далее. Число «0» - не натуральное. В математике принято рассматривать «0» (нуль) не только как цифру, но и как число.

Арифметические действия. Порядок действий

В арифметике рассматривают следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Их называют арифметическими действиями.

Сложение. Сложением натуральных чисел называют арифметическое действие, при помощи которого узнают число содержащее столько единиц, сколько их есть в данных числах вместе.

Числа, которые складываются, называют слагаемыми, а результат сложения называют суммой.

Пример. 12 + 9 = 21.

Здесь 12 и 9 – слагаемые, 21 – сумма.

Знак операции сложения «+» ставится между слагаемыми.

Вычитание. Вычитанием называется действие, посредством которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них отыскивается другое слагаемое.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате вычитания, называется разность.

Пример. 30 – 12 = 18.

Здесь 30 – уменьшаемое, 12 – вычитаемое, 18 - разность.

Знак вычитания «–» минус ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Примечание.

1)  Вычитание нуля (0) из числа не изменяет этого числа.

Пример. 8 – 0 = 8.

2)  Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю.

Пример. 9 – 9 = 0.

Умножение. Умножением натуральных чисел называется действие нахождения суммы одинаковых слагаемых.

Пример. Если число 5 нужно повторить слагаемым 7 раз, то пишут и говорят, что 5 нужно умножить на 7.

Число, которое повторяется как слагаемое, называется множимым; число, показывающее сколько берется таких одинаковых слагаемых называется множителем; полученное в результате умножения число называется произведением.

В примере 5 – множимое, 7 – множитель, 35 – произведение. Множимое и множитель называют сомножителями.

Знак умножения «» ставится между множимым и множителем. В качестве знака умножения можно употреблять точку «», например, . Между буквенными сомножителями знак умножения можно вообще не ставить.

Примечание.

1) Если один из двух сомножителей равен единице, то произведение равно второму сомножителю.

Пример. .

2) Если хоть один из сомножителей равен нулю, то и произведение равно нулю.

Пример. .

Возведение в степень. Частный случай умножения, а именно умножение одинаковых чисел, называют возведением в степень.

Если, например, надо перемножить пять одинаковых чисел, каждое из которых равно 2, говорят: надо число 2 возвести в пятую степень. И вместо пишут , то есть =. Число 2, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени, число 5, указывающее сколько раз берется одинаковый множитель, называется показателем степени, а результат - степенью.

Вторая степень называется квадратом, третья –кубом. Первой степенью числа называется само это число, например .

Деление. Делением называется действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается другой сомножитель. Число, которое делят, называется делимым; число, на которое делят, - делителем; число, получаемое в результате деления, называется частным или отношением.

Деление записывается так: . Здесь 40 – делимое, 8 – делитель, 5 – частное. Знак деления «:» ставится между делимым и делителем.

Примечание.

1) Если делимое равно делителю, то частное равно единице.

Пример. .

2) Если делитель равен единице, то частное равно делимому.

Пример. .

3)  Частное от деления нуля на любое, отличное от нуля, число равно нулю.

Пример. .

4)  Деление на нуль невозможно.

Порядок действий

При выполнении нескольких действий результат зависит от порядка их выполнения. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени, умножение и деление – действиями второй ступени, а возведение в степень – действием третьей ступени.

Если в выражении (без скобок) встречаются действия только первой или только второй ступени, то они выполняются в том порядке, в котором они записаны, слева на право.

Пример. .

Пример..

Если в выражении встречаются действия разных ступеней, то сначала выполняются действия высших, а затем низших ступеней.

Пример..

Если пример содержит скобки, то сначала выполняются действия, заключенные в скобки, потом остальные по правилам, приведенным выше.

Пример. .

Сначала выполняем действия в скобках: ; . Затем выполняются остальные действия: .

Признаки делимости чисел

Чтобы, не выполняя деления, установить, делится или нет одно число на другое без остатка, пользуются признаками делимости.

Признак делимости на 10. На 10 делятся те числа, которые оканчиваются нулями.

Пример. Число 2370 делится на 10.

Признаки делимости на 2 и на 5.

На 2 или на 5 делятся те числа, у которых последняя цифра в записи числа выражает число, которое делится на 2 или на 5.

Пример. Число 140 делится на 2 и на 5, так как оно оканчивается нулем, а нуль делится на любое число.

Число 12634 делится на 2, так как его последняя цифра 4, а число 4 делится на 2.

Число 3875 делится на 5, так как 5 делится на 5.

Признак делимости на 3 и 9.

На 3 и 9 делятся те числа, у которых сумма цифр делится соответствено на 3 и на 9.

Пример. Число 34521 делится на 3, так как сумма его цифр 3+1+5+2+1=12 делится на 3.На 9 это число не делится, так как 12 не делится на 9.

Число 5193 делится на 9, так как сумма его цифр 5+1+9+3=18 делится на 9. Это число также делится и на 3,, так как 18 делится на 3.

Признак делимости на 4 и 25.

На 4 и на 25 делятся те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры составляют число, делящееся соответственно на 4 и на 25.

Пример. Число 4600 делится и на 4 и на 25; число 17364 делится на 4, так как 64 делится на 4; число 17275 делится на 25, так как 75 делится на 25.

Простые и составные числа

Всякое натуральное число делится на единицу и само на себя. Существуют числа, которые имеют и другие делители. Например число 12, кроме 1 и 12, имеет еще делители: 2, 3, 4, 6.

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым. Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще и на другие числа, называется составным. Число 1 не является ни простым, ни составным, оно занимает особое положение.

Дробные числа. Обыкновенные дроби

Число, составленное из одной или нескольких равных долей (частей) единицы, называется обыкновенной дробью. Числа, в состав которых входит целое число и дробь, называют смешанной дробью или смешанными числами. Дробь изображается с помощью дробной черты. Под чертой пишут число, которое показывает, на сколько долей (частей) разделена единица. Оно называется знаменателем дроби. Над чертой пишут число, показывающее сколько таких долей (частей) содержится в дроби. Оно называется числителем дроби.

Пример. У дроби числитель равен 5, а знаменатель равен 7. Читают дроби так: сначала называют числитель, потом – знаменатель.

Пример. Рассмотрим, как читаются следующие дроби: - «две седьмых»; - «одна десятая»; - «три пятых».

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если числитель больше знаменателя или равен ему, такая дробь называется неправильной.

Пример. Дроби - правильные. Дроби - неправильные.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная – больше или равна единице. Чтобы обратить неправильную дробь в смешанную, нужно выделить целую часть числа. Для этого необходимо числитель дроби разделить на знаменатель и найти остаток. Частное покажет число целых единиц, а остаток – число долей единицы.

Пример. , так как 37 : 5 = 7 (остаток 2).

Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно знаменатель умножить на целое число, к полученному произведению прибавить числитель и сделать эту сумму числителем искомой дроби, а знаменатель оставить прежний.

Пример. .

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой больше числитель. Например, , так как . Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, у которой знаменатель меньше. Например, , так как . В общем случае дроби сравниваются так. Умножают числитель первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. Если первое из этих произведений больше (равно или меньше) второго, значит первая дробь соответственно больше (равна или меньше) второй.

Пример. , так как ;

, так как ;

, так как .

Преобразования дробей

1. Если числитель дроби увеличить в несколько раз, не изменяя знаменателя, то дробь увеличится во столько же раз.

Пример. Возьмем дробь и увеличим (умножим) ее числитель в 2 раза. Получим дробь , которая в 2 раза больше дроби .

2. Если числитель дроби уменьшить в несколько раз, не изменяя знаменателя, то дробь уменьшится во столько же раз.

Пример. Числитель дроби уменьшим в 2 раза. Получим дробь , которая в 2 раза меньше первоначальной дроби .

3. Если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, не изменяя ее числителя, дробь уменьшится во столько же раз.

Пример. Знаменатель дроби увеличим в 4 раза, получим дробь , которая в 4 раза меньше первоначальной.

4. Если знаменатель дроби уменьшить в несколько раз, не изменяя ее числителя, дробь увеличится во столько же раз.

Пример. Знаменатель дроби уменьшим в 3 раза, получим дробь , которая в 3 раза больше первоначальной дроби .

5. Основное свойство дроби. Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее умножить на одно и то же число.

Пример. .

Отсюда следует, что значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее разделить на одно и то же число.

Пример. .

Это свойство применяется при сокращении дробей.

Приведение дробей к общему знаменателю

Обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю – то есть самому меньшему натуральному числу, которое делится на каждый из знаменателей. Чтобы найти наименьший общий знаменатель нескольких дробей, нужно разложить знаменатели на простые множители, затем, взяв разложение одного из них, умножить его на недостающие простые множители других чисел. Чтобы не изменилась при этом величина дроби, к числителю каждой дроби находим дополнительные множители, которые получаются путем деления наименьшего общего знаменателя на знаменатель каждой дроби.

Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .

Решение. Числа 72 и 48 разложим на простые множители:

;

.

Наименьший общий знаменатель равен числу .

Дополнительные множители к числителю первой дроби: , к числителю второй дроби . Следовательно, ; .

Арифметические действия над обыкновенными дробями

Сложение. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем сложить полученные числители и под суммой подписать общий знаменатель.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Вычитание. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого, а знаменатель оставить без изменений.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

;

6)

;

7) .

Умножение. Умножение дроби на целое число можно представить, как умножение двух дробей. Произведением дробей называют дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей. При умножении дробей следует делать сокращение, если это возможно.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножить по правилу умножения дробей.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Деление. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Чтобы выполнить деление смешанных чисел, их предварительно обращают в неправильную дробь и затем делят по правилу деления дробей.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Если в какой-нибудь дроби поменять местами числитель и знаменатель, получится дробь обратная данной. Две дроби называются обратными, если их произведение равно единице, например, дроби и - обратные. Учитывая это, можно операцию деления дробей заменить умножением делимого на дробь обратную делителю, или, для того, чтобы разделить дробь на дробь, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй дроби.

Примеры. 1) ;

2) ;

3) .

Рассмотрим примеры на все действия с обыкновенными дробями.

Выполнить действия:

Пример 1.

Сначала выполним действия в скобках:

1) ;

2) ;

3) .

Пример принял вид: . Выполним вычисления по действиям:

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Ответ: .

Пример 2. ;

Вычислим по действиям:

1) ;

2) ;

3) - числитель первой дроби;

4) ;

5) - знаменатель первой дроби;

6) - величина первой дроби;

7) ;

8) ;

9) - числитель второй дроби;

10) ;

11) - знаменатель второй дроби;

12) - величина второй дроби;

13) 4 + 20 = 24.

Ответ: 24.

Основные типы задач на дроби

Существует много задач, в которых требуется найти часть (или дробь) данного числа. Такие задачи решают умножением.

Пример 1. Найти от числа 30.

Решение: .

Ответ: 14.

Пример 2. Хозяйка имела 200 грн. из них она израсходовала на покупки. Сколько она потратила на покупки?

Решение: В этой задаче требуется найти от числа 200: .

Ответ: хозяйка израсходовала 80 грн.

Иногда требуется по известной части числа и дроби, выражающей эту часть, определить все число. Такие задачи решаются делением.

Пример 3. В группе 12 отличников, что составляет всех студентов группы. Сколько студентов в группе?

Решение: .

Ответ: в группе 20 студентов.

Пример 4. Найти число, которого составляют 34.

Решение: .

Ответ: .

Десятичные дроби

Обыкновенные дроби, знаменателями которых является число, изображенное единицей с последующими нулями, называются десятичными дробями. Записываются десятичные дроби без знаменателя и читаются так:

- читается: ноль целых, три десятых;

- читается: ноль целых, семнадцать сотых;

- читается: две целых, сорок одна сотая;

- читается: ноль целых, семь тысячных;

- читается: две целых, триста восемьдесят одна тысячная;

- читается: ноль целых, девяносто тысяч семь стотысячных.

Основное свойство десятичной дроби. Значение десятичной дроби не изменится, если к ней справа приписать несколько нулей. Например, 0,3=0,30=0,300=0,30000…

Превращение десятичной дроби в обыкновенную дробь. Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, ее записывают со знаменателем и, если возможно, сокращают.

Примеры: 1) ;

2) ;

3) .

Превращение обыкновенной дроби в десятичную дробь. Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.

Примеры: 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Сравнение десятичных дробей. Чтобы выяснить, какая из двух десятичных дробей больше, а какая меньше, надо сравнить их целые части, десятые, сотые и так далее. При равенстве целых частей больше та дробь, у которой десятых частей больше; при равенстве целых и десятых частей та больше, у которой больше сотых и так далее.

Примеры: 1) число 2,01 больше числа 1,723;

2) число 1,35 больше числа 1,28;

3) число 0,453 больше числа 0,432;

4) число 3,294 больше числа 3,291.

Периодические десятичные дроби

Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называются периодическими дробями. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби.

Пример.

Периодическая дробь сокращенно записывается так: 0,6666…=0,(6), то есть период записывается в скобках. Периодические дроби бывают чистыми и смешанными. Чистой периодической дробью называется такая дробь, у которой период начинается сразу после запятой, например 2,363636…=2,(36). Смешанной периодической дробью называется такая дробь, у которой между запятой и первым периодом есть одна или несколько неповторяющихся цифр, например 0,…=0,5(34). Бесконечная десятичная дробь получается в том случае, когда знаменатель несократимой дроби имеет по меньшей мере один простой делитель, отличный от 2 или 5. Например, .

Обращение периодической дроби в обыкновенную. Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а знаменателем – число, выраженное столькими девятками, сколько цифр в периоде.

Примеры: 1) 0,(7) = ;

2) 2,(05) = ;

3) 0,(063) = ;

4) 3,(278) = .

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, достаточно из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и полученную разность записать в числителе, а в знаменателе написать число, выраженное столькими девятками, сколько цифр в периоде и со столькими нулями в конце, сколько цифр между запятой и периодом.

Примеры: 1) 0,3(5) = ;

2) 0,2(53) = ;

3) 5,7(8) = ;

4) 2,32(458) = .

В общем виде преобразовать бесконечную периодическую дробь в обыкновенную можно с помощью формулы:

.

Пример: .

Рассмотрим примеры на все действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Выполнить действия:

Пример 1.

1) ;

2) ;

3) - величина первой дроби;

4) ;

5) ;

6) - величина второй дроби;

7) - значение первой скобки;

8) ;

9) ;

10) ;

11) .

Ответ: 1.

Пример 2.

1) ;

2) ;

3) ;

4) - значение числителя дроби;

5) ;

6) - значение знаменателя дроби;

7) .

Ответ: 32.

Пример 3.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Ответ: 2.

Пример 4.

1) ;

2) 7,5 – 6,75 = 0,75;

3) ;

4) - числитель первой дроби;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) - знаменатель первой дроби;

10) - величина первой дроби;

11) ;

12) ;

13) 1 – 0,96 = 0,04 - числитель второй дроби;

14) ;

15) - знаменатель второй дроби;

16) - величина второй дроби;

17) .

Ответ: 1.

Пример 5.

1) ;

2) ;

3) - числитель дроби;

4) ;

5) - знаменатель дроби;

6) - величина дроби;

7) ;

8) 3 + 8 = 11.

Ответ: 11.

Отношения и пропорции

Отношением называется частное от деления одного числа на другое.

Пример. Если разделить 10 на 2, получим 10 : 2 = 5. Говорят, что частное от деления 10 на 2 равно 5 или отношение 10 к 2 (читается: « отношение десяти к двум») равно 5. Отношение данных чисел записывается в виде 10 : 2 или .

Основное свойство отношения: значение отношения не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число.

Пропорцией называется равенство двух отношений. Общий вид пропорции: или .

Примеры пропорций: 3:4=9:12; ; .

Пропорции читаются так: « три относится к четырем, как девять к двенадцати», «10 во столько раз больше , во сколько раз больше ».

Пропорция состоит из четырех членов: и - крайние члены; и - средние члены.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов. В общем виде это свойство пропорции записывается так: .

Пример. Проверить правильность пропорции .

По основному свойству пропорции: ; ; .

Вычисление неизвестных членов пропорции

1. Неизвестный крайний член пропорции, равен произведению средних членов, деленному на известный крайний, то есть если , то .

Примеры. 1) ; ; х = 8.

2) ; ;

3) ; ; .

4) ; ; .

Проценты

Процентом какого-либо числа называется сотая часть этого числа. Вместо слова «процент» пишут также знак %. Так как процент есть сотая часть, то следует, что процент можно записать в виде дроби со знаменателем 100. Поэтому дробь 0,49 или можно прочитать как 49 процентов или 49 %. Чтобы записать десятичную дробь в процентах, надо перенести в этой дроби запятую на два знака вправо, и наоборот, чтобы из записи процентов получить десятичную дробь надо перенести запятую на два знака влево.

Примеры. 1) 0,33 = 33%;

2) 1,25 = 125 %;

3) 0,02 = 0,2 %;

4) 21 = 2100 %.

5) 7 % = 0,07;

6) 24,5% = 0,245;

7) 0,1 % = 0,001;

8) 200 % = 2.

Основные типы задач на проценты

1. Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти несколько процентов данного числа, достаточно данное число разделить на 100 и умножить результат на число процентов.

Пример 1. При варке мясо теряет 35 % своего веса. Сколько получится отварного мяса из 800 граммов сырого?

Решение. Если вместо 35 % взять равное ему число 0,35, то задача решается умножением: . Так как потеря веса мяса при варке составляет 35 %, то эта потеря в граммах составляет 280 грамм. Следовательно, отварного мяса получится 800 – 280 = 520 грамм.

Вычисление можно было бы записать и так: так как отварное мясо составляет 100 % – 35 % = 65 %, то (г).

Пример 2. Преподаватель вуза в 2008 году в среднем получал 1350 гривен, в 2009 году его зарплата увеличилась на 22 %. Какова зарплата преподавателя в 2009 году?

Решение. Найдем 22 % от числа 1350: (грн).

Зарплата преподавателя в 2009 году увеличилась на 297 гривен, что составляет 1350 + 297 = 1647 (грн).

2. Нахождение числа по его проценту. Чтобы найти число по его процентам, достаточно известную часть числа разделить на число процентов и результат умножить на 100.

Пример 1. В марте завод выплавил 124,4 тонн металла, перевыполнив план на 4,5 %. Сколько тонн металла завод должен был выплавить в марте по плану?

Решение. Определим, на сколько процентов завод выполнил план в марте: 100 % + 4,5 % = 104,5 %. Это составляет 125,4 тонны. Определим, сколько тонн металла завод должен был выплавить по плану:

(т).

Ответ: по плану завод должен был выплавить 120 тонн металла.

Пример 2. Путевка в санаторий со скидкой 70 % стоит 480 гривен. Какова полная стоимость путевки?

Решение. Полная стоимость путевки составляет 100 %. Значит 480 гривен соответствует 100 % – 70 % = 30 %. Тогда стоимость всей путевки составляет: (грн).

Ответ: полная стоимость путевки 1600 гривен.

2. Нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы вычислить процентное отношение числа а к числу b, нужно найти отношение а к b и умножить его на 100.

Пример 1. Автомобиль на каждые 100 км пути летом расходует 8 литров бензина, а зимой 8,8 литров бензина. На сколько процентов зимняя норма больше летней?

Решение. Зимой на каждые 100 км пути автомобиль расходует на 8,8 – 8 = 0,8 (л) бензина больше, чем летом. Эти 0,8 л по отношению к 8 л составляют 0,8 : 8 = 0,1 = 10 %.

Ответ: зимой расход бензина на 10 % больше, чем летом.

Пример 2. Нужно вспахать 300 га земли. В первый день вспахали 120 га. Сколько процентов участка вспахали в первый день?

Решение. 1 % составляет (га). Так как вспахали 120 га, то в процентах от всего участка это: %.

Ответ: в первый день вспахали 40 % всего участка.

Задачи для самостоятельного решения

1.  Найти наибольший общий делитель чисел A=180 та B=120.

Ответ: 60.

2.  Найти наименьшее общее кратное чисел A=180 та B=140.

Ответ: 1260.

3. Вычислить .

Ответ: .

4. Превратить десятичную периодическую дробь 4,1232323…= =4,1(23) в обыкновенную.

Ответ:.

5. Сравнить дроби и .

Ответ:.

6. Поделить число 20 на части, пропорциональные числам 2 и 3.

Ответ: (8,12).

7. Найти 19% от числа 50.

Ответ: 9,5.

8. Найти число, 5% которого равно 170.

Ответ: 3400.

Вычислить:

9) .

Ответ: 7.

10) .

Ответ: 0,75.

11) .

Ответ:1.

12) .

Ответ: 100.

13) .

Ответ: 1.

14) .

Ответ: 1.

15) .

Ответ: 0.

Разместить в порядке возрастания числа:

16) .

Ответ: .

17) .

Ответ:.

18) Найти 30% разности чисел и .

Ответ:.

19) Найти число, если 0,1% его равен .

Ответ: 2000.

20) Магазин приобрел книгу за 17 грн со скидкой 15%. Сколько гривен стоила книга без скидки?

Ответ: 20 грн.

21) Ежемесячно завод должен изготавливать 50 машин. План января и марта выполнен на 110%, а в феврале изготовлено 52 машины. На сколько процентов завод перевыполнил план за три месяца?

Ответ: 8%.

22) Кусок сплава массой 3 кг, который содержит 20% олова, переплавили с куском олова массой 1 7 кг. Определить процентный состав олова в сплаве.

Ответ: 76%.

23) На-гора подняли за смену 960 т угля. 20% из этого количества отправили на станцию. Сколько угля осталось?

Ответ: 768 т.

24) Поле состоит из двух частей. Площадь первуй части 320 га, а второй – 80% площади первой. Какова площадь поля?

Ответ: 576 га.

25) Заработная плата шахтера составляла 400 гривень. Потом ее увеличили на 20%, а затем снизили на столько же. Сколько гривен получил шахтер?

Ответ: 384 грн.

26) Сумма двух чисел равна 527. Найти числа, если известно, что 8% первого числа равны 7,5% второго числа.

Ответ: 255; 272.

27) Найти число, если 0,05% его равен .

Ответ: 2000.