Математика, 8 класс, февраль 2013

Математика, 8 класс

Февраль 2013

Диагностика по математике проводилась в феврале 2013 года с целью определения уровня усвоения учащимися 8 классов предметного содержания курса алгебры и геометрии по программе основной школы (7 класс, первое полугодие 8 класса), выявления элементов содержания, вызывающих наибольшие затруднения.

Содержание и основные характеристики диагностических материалов определялись Федеральным компонентом государственного стандарта основного общего образования (Приказ МО от 5 марта 2004 г. № 000) и документом «О сертификации качества педагогических тестовых материалов» (Приказ Минобразования России от 01.01.2001 г. № 000).

Характеристика инструментария

Диагностическая работа охватывала учебный материал, изученный в 7-8 классах, по следующим содержательным блокам:

·  алгебраические выражения;

·  уравнения и неравенства;

·  треугольники;

·  четырёхугольники.

Включенные в работу элементы содержания, изученные к моменту тестирования, являются необходимыми для эффективного усвоения программы 9 класса как по алгебре, так и по геометрии.

Каждый вариант диагностической работы (два комплекта, 8 вариантов) состоял из 12 заданий: 6 заданий с выбором одного правильного ответа из четырёх предложенных и 6 заданий с кратким ответом.

В работе были представлены задания базового и повышенного уровней сложности. Задания повышенного уровня сложности (2 задания с выбором ответа и одно – с кратким ответом) проверяли знание и понимание свойств параллелограмма или признаков равенства треугольников, умения преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни, и выполнять числовые подстановки в буквенные выражения.

За правильное выполнение каждого задания выставлялся 1 балл. Максимальный балл, который можно было получить за правильное выполнение всей работы, — 12 баллов. Время выполнения работы – 45 минут.

Шкала выставления оценок за тест в соответствии с диапазоном тестовых баллов

Оценка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Общий балл	Меньше 5	5–7	8–9	10–12

Диагностические тесты были одобрены представителями Ассоциации учителей математики города Москвы.

Основные результаты выполнения диагностической работы

Диагностическую работу по математике выполняли 21251 обучающихся 8 классов (1077 классов) из 698 общеобразовательных учреждений Москвы.

Распределение учащихся по количеству полученных тестовых баллов представлено на диаграмме 1.

Диаграмма 1

Доля учащихся, не достигших достаточного уровня овладения учебным материалом (выполнили менее 5заданий), составляет 17% (3694 учащихся, из которых не выполнили правильно ни одного задания – 134 человека, выполнили правильно одно или два задания 436 и 765 учащихся соответственно).

57% учащихся выполнили правильно от 8 до 12 заданий.

4212 восьмиклассников – 20% от числа тестировавшихся – продемонстрировали отличный уровень подготовки, из них 1663 учащихся выполнили правильно все 12 заданий.

В таблице 1 показано распределение оценок, полученных за выполнение диагностической работы по математике учащимися 8-х классов в феврале 2013 года и школьных оценок за последнюю промежуточную аттестацию (не учтены сведения по школьной успеваемости 2783 учащихся, оценки которых не были предоставлены школами).

Таблица 1

Оценка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Распределение оценок за выполнение теста	17%	26%	37%	20%
Доля учащихся, имеющих школьную оценку	0,3%	44,5%	42,9%	12,2%

Как видно из таблицы, в основном подтвердили свои школьные оценки учащиеся, получившие за тест оценки «4» и «5». По результатам дополнительного исследования, установлено, что расхождение оценок за выполнение диагностической работы со школьными оценками в 2 балла отмечено у 6% тестировавшихся.

Высокий уровень подготовки (процент выполнения выше среднего на 10%) продемонстрировали учащиеся 311 классов (29%), низкий уровень («2» получили от 40% до 94% учащихся) 172 класса (16%). В 188 классах с работой справились все восьмиклассники, а в 29 классах все учащиеся за выполнение работы получили только «4» и «5».

Анализ результатов выполнения диагностической работы

по математике

На диаграмме 2 показана структура знаний восьмиклассников по математике, а в приведенной ниже таблице 2 представлены средние результаты выполнения заданий по проверяемым элементам содержания.

Диаграмма 2

Таблица 2

Код	Контролируемый элемент содержания	Средний % выполнения
21.01.01	Числовые подстановки в буквенные выражения	46%
21.10.02	Сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя	89%
21.11.01	Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем	70%
21.11.03	Умножение алгебраических дробей	76%
21.11.04	Деление алгебраических дробей	65%
21.12.01	Рациональные выражения и их преобразования	61%
21.13.01	Квадратный корень из произведения и дроби	83%
21.13.05	Преобразование выражений, содержащих квадратные корни	45%
22.02.01	Решение линейных уравнений	77%
22.03.03	Решение неполных квадратных уравнений вида ах2+с=0	54%
22.03.04	Решение неполных квадратных уравнений вида ах2+bх=0	69%
42.04.03	Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам	51%
42.04.04	Признак равенства треугольников по трём сторонам	43%
42.11.01	Теорема Пифагора	56%
43.01.02	Свойства и признаки параллелограмма	45%
43.02.02	Ромб, его свойства и признаки	61%
	Среднее	64%

Анализ данных, приведенных в таблице, позволяет утверждать, что восьмиклассники в целом овладели умениями (средний процент выполнения заданий по разделу не менее 65%):

·  сокращать дроби без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя;

·  умножать алгебраические дроби;

·  вычислять квадратный корень из произведения и дроби;

·  решать линейные уравнения и неполные квадратные уравнения вида ах2+bх=0.

На диаграмме 3 представлена структура знаний учащихся (55%), которые по результатам последней школьной аттестации успевают по математике на «4» и «5».

Диаграмма 3

Как видно из диаграммы, учащиеся (43%), успевающие в школе на «4» и «5», справились с заданиями (выполнение не ниже 65%) по большинству проверяемых тем. Задания повышенного уровня сложности выполнены ими на уровне 45-55% по следующим темам:

·  числовые подстановки в буквенные выражения (54%);

·  преобразование выражений, содержащих квадратные корни (49%);

·  признак равенства треугольников по трём сторонам (45%);

·  признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (55%);

·  свойства и признаки параллелограмма (47%).

Восьмиклассники, имеющие отличные оценки по математике, по результатам тестирования подтвердили свои школьные оценки.

Ниже приведены примеры заданий по темам, являющимся проблемными в основном для учеников, аттестованных по математике на «3».

Примеры проблемных заданий

Задания на числовые подстановки в буквенные выражения выполнены восьмиклассниками в среднем на 46%. Подобные задания на итоговой диагностике в 2012 году семиклассниками были выполнены практически на том же уровне 44%.

Пример 1

Найдите значение выражения при .

Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: – 1,4 дали 37% тестировавшихся восьмиклассников. Пример этого же задания был приведен в анализе результатов диагностики за прошлый учебный год (правильно выполнили это задание 32% семиклассников).

Наиболее типичные ошибки:

потеря в ответе знака минус: ответ 1,4 – 15% (такой же процент учащихся допустили подобную ошибку в 7-м классе);

ошибка при вычитании отрицательного числа: ответ– 2,52 – 1% (столько же и в прошлом году - 1%);

две ошибки: при вычитании отрицательного числа и потеря знака минус: ответ 2,52 – 5% (7% - по результатам прошлого года).

25% учащихся получили 30 различных ответов, допустив ошибки, свидетельствующие о неумении выполнять действия с десятичными дробями, а 17% не дали никакого ответа (так же, как и на тестировании в 7 классе).

Очевидно, совершенствованию вычислительных навыков уделяется недостаточно внимания на уроках математики в восьмых классах (только треть учащихся с удовлетворительной успеваемостью безошибочно выполняет числовые подстановки в буквенные выражения).

Пример 2

Выполните действия: .

1)

- (56%-правильный ответ)

2)

- (14%)

3)

- (16%)

4)

- (14%)

В среднем задания на преобразования рациональных выражений выполнены всеми тестировавшимися на 61% и на 48% учениками, успевающими на «3».

С преобразованием выражений, содержащих квадратные корни, справилось в среднем 45% всех тестировавшихся и 35% «троечников». Наибольшие трудности вызвало у восьмиклассников следующее задание по этой теме.

Пример 3

Найдите значение выражения ( + )2 – × .

1)

46 – (35%)

2)

66 – (15%)

3)

56 – (38% - правильный ответ)

4)

78 – (12%)

Умение решать неполные квадратные уравнения вида ах2+bх=0 продемонстрировало в среднем 69% тестировавшихся, а с решением уравнений вида ах2+с=0 справилось только 54% учащихся и 39% «троечников».

Пример 4

Решите уравнение .

Запишите в ответ его меньший корень.

Правильный ответ: - 4 дали 52% тестировавшихся учащихся, 10% не записали никакого ответа, остальные допустили ошибки.

Наиболее типичные ошибки:

16% учащихся записали второй корень уравнения (4), который не является меньшим;

5% - указали корень 0;

2% - записали ответ 16;

2% - дали ответ 8.

Достаточный уровень знаний по геометрии о признаках параллелограмма и равенстве треугольников при выполнении заданий на установление истинности утверждений продемонстрировали только отлично успевающие восьмиклассники.

Пример 5

Верны ли следующие утверждения?

А. Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом.

Б. В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов.

1)	верно только А - (45% - правильный ответ)
2)	верно только Б - (24%)
3)	верны оба утверждения - (17%)
4)	оба утверждения неверны - (14%)

Умение применять теорему Пифагора при решении задач на нахождение неизвестных элементов равнобедренного треугольника продемонстрировали 56% тестировавшихся.

Пример 6

Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см. Основание равно 30 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Правильный ответ: 17 получили 51% тестировавшихся, не решали задачу 24% учащихся, 5% учеников привели ответ 22.

Описание уровня подготовки учащихся, получивших различные отметки на тестировании

Категории участников тестирования	Описание уровня подготовки по математике категорий участников тестирования
Отметка «5». (10 – 12 баллов) Учащихся этой категории – 20%. Средний процент выполнения заданий 94 %.	Учащиеся продемонстрировали владение всеми контролируемыми элементами содержания на достаточно высоком уровне (выполнение заданий от 76 до 99%).
Отметка «4» (9 – 10 баллов). Учащихся этой категории – 37 %. Средний процент выполнения заданий 73 %.	Тестируемые данной группы продемонстрировали владение всеми контролируемыми элементами содержания. С заданиями повышенного уровня сложности справилось около половины тестировавшихся этой группы: ·  числовые подстановки в буквенные выражения (54%); ·  преобразование выражений, содержащих квадратные корни (51%); ·  признаки равенства треугольников (50%) ·  свойства и признаки параллелограмма (47%).
Отметка «3» (5 – 7 баллов). Учащихся этой категории –26%. Средний процент выполнения заданий 49 %.	Учащиеся с удовлетворительным уровнем подготовки показали достаточный уровень (выполнение выше 65%) знаний при выполнении базовых заданий, проверявших следующие элементы математической подготовки: ·  сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знамена%); ·  умножение алгебраических дробей (68%); ·  квадратный корень из произведения и дроби (процент выполнения – 82%) ·  решение линейных уравнений (72%). С заданиями по геометрии справилось от 31% до 44% тестировавшихся этой группы.
Отметка «2» ( меньше 5 баллов). Процент учащихся этой категории –17%. Средний процент выполнения заданий 23 %.	У учащихся, получивших за тест неудовлетворительную оценку, полностью отсутствуют усвоенные контролируемые элементы содержания (не выявлены задания базового уровня, для которых процент выполнения оказался выше 65%). Большинство учеников (63%) справились только с заданием на сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя

Сравнительный анализ результатов тестирования

Независимая диагностика знаний учащихся основной школы по математике проводится ежегодно в различных классах. В 8-х классах диагностические работы в конце учебного года (в 2001, 2006 и 2009 годах) проверяли усвоение материала только по алгебре, в 2008 году – только по геометрии, а в 2010 году – и по алгебре и по геометрии.

В таблице 3 представлены сведения о диагностических работах по математике за два года.

Таблица 3

	2013 год (февраль)	2010 год (апрель)
Характеристика тестов	12 заданий: 9 по алгебре, 3 по геометрии; 6 заданий с выбором ответа и 6 с кратким ответом	15 заданий: 12 по алгебре и 3 по геометрии; 12 заданий с выбором ответа и 3 с кратким ответом
Участники	21245 учащихся из 698 ОУ (1077 классов)	2548 учащихся из 124 ОУ (124 класса)
Средний процент выполнения заданий теста	64%	61%
Уровень подготовки учащихся по результатам тестирования
Отличный и хороший	57%	48%
Неудовлетворительный	17%	18%

По сравнению с 2010 годом значительно выросло число участников тестирования (более чем в 8 раз), при этом результаты тестирования изменились только относительно доли учащихся, выполнивших работу на «отлично» и «хорошо» (с 48% в 2010 году до 57% в 2013 году). Различия в характеристике тестов не повлияли на процент учащихся, не справившихся с работой. Средний процент выполнения заданий теста изменился незначительно (вырос на 3% и составил в 2013 году – 64%).

Большинство восьмиклассников, выполнявших рубежную работу по математике, участвовали в независимой диагностике по алгебре в конце 7 класса (май 2012 года).

Таблица 4

	2013 год (февраль)	2012 год (апрель)
Характеристика тестов	12 заданий: 9 по алгебре, 3 по геометрии; 6 заданий с выбором ответа и 6 с кратким ответом	12 заданий по алгебре; 8 заданий с выбором ответа и 4 с кратким ответом
Участники	21245 учащихся из 698 ОУ (1077 классов)	18431 учащийся из 809 ОУ (859 классов)
Средний процент выполнения заданий теста	64%	69%
Неудовлетворительный уровень подготовки	17%	12%

По результатам независимой диагностики в 7 классе оценки не выставлялись – устанавливалась только граница, определяющая достаточный уровень овладения учебным материалом по алгебре: 5 заданий (5 тестовых баллов). Такая же граница (5 баллов) отделяла результаты учащихся с неудовлетворительным уровнем подготовки по математике на рубежном тестировании в этом году. Доля неуспевающих в восьмом классе по математике (17%) увеличилась по сравнению с 7 классом на 5%, а доля учащихся выполнивших от 8 до 12 заданий теста уменьшилась на 4% (с 61% в 7 классе до 57% в 8-м классе).

Анализ результатов отдельных школ и классов, участвовавших в тестировании по математике, показывает снижение доли восьмых классов с низким уровнем подготовки учащихся (40% учащихся и более выполнили работу на «2»): с 22% в 2009 году до 16% в 2013 году.

Таблица 5

Доля классов с низким уровнем подготовки учащихся по математике

2009 год	2010 год	2013 год
22%	17%	16%

В тесты рубежной диагностики знаний учащихся были включены задания из комплектов диагностических материалов предыдущих лет. Это позволило повысить надежность определения уровня учебных достижений учащихся и провести сравнительные исследования динамики обученности учащихся 8-х классов.

Сравнение результатов выполнения учащимися одних и тех же заданий на рубежном тестировании в 2013 году и предыдущих тестированиях в 7-9 классах (20гг.) представлено на следующих диаграммах.

Диаграмма 4

Результат выполнения заданий на сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя восьмиклассниками оказался на 6-7% выше по сравнению с результатами девятиклассников на стартовой диагностике в 2011 году.

Диаграмма 5

По теме «Деление алгебраических дробей» наблюдается снижение результатов выполнения заданий восьмиклассниками на 9% - 15% по сравнению с результатами, полученными в 2006 году.

Диаграмма 6

Группа заданий на преобразование выражений, содержащих квадратные корни, использовалась неоднократно в тестах 8 класса и 9 класса (на стартовом тестировании). Наилучшим выполнение заданий восьмиклассниками было в 2006 г. (72% - 73%). В этом году задания выполнены восьмиклассниками хуже на 27%, чем в 2006 году, и на 4 - 7% по сравнению с результатами стартовой диагностики девятиклассников в 2012 году.

С решением неполных квадратных уравнений вида ах2+bх=0 восьмиклассники справились в 2013 году в среднем на 69%, а девятиклассники на стартовой диагностике - на 72%. Различие в выполнении одного и того же задания В4 из варианта 3003 составляет 5% (60% - 8 класс, 65% - 9 класс).

Диаграмма 7

Результаты восьмиклассников по решению линейных уравнений статистически не отличаются от результатов семиклассников на итоговом тестировании в 2012 году. А задания на числовые подстановки в буквенные выражения выполнены восьмиклассниками 13-17% лучше, чем семиклассниками, но при этом результат по-прежнему остается низким.

Диаграмма 8

Выводы и рекомендации

83% учащихся 8-х классов по результатам стартовой диагностики овладели базовыми знаниями и умениями по алгебре и геометрии.

Недостаточный уровень овладения учебным материалом выявлен у восьмиклассников по тем же темам, что и у девятиклассников на стартовой диагностике:

·  выполнение числовых подстановок в буквенные выражения;

·  выполнение преобразование выражений, содержащих квадратные корни;

·  знание свойств и признаков параллелограмма.

Плохо освоенными являются также темы, изученные в 8-м классе по алгебре и геометрии:

·  решение неполных квадратных уравнений вида ах2+с=0;

·  знание признаков равенства треугольников;

·  умение применять теорему Пифагора при решении задач на нахождение неизвестных элементов равнобедренного треугольника.

Сравнение результатов рубежного тестирования с результатами тестирования прошлых лет выявляет снижение уровня обученности восьмиклассников по следующим темам:

-  деление алгебраических дробей;

-  преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

С выполнением заданий на решение линейных уравнений восьмиклассники справляются практически на одном уровне с семиклассниками. При этом каждый пятый тестировавшийся ученик не умеет решать простейшие линейные уравнения.

Результаты диагностических работ за два последних года свидетельствуют о недостаточном внимании, которое уделяется на уроках математики в основной школе совершенствованию вычислительных навыков (только треть учащихся с удовлетворительной успеваемостью безошибочно выполняет числовые подстановки в буквенные выражения).

Учителям математики при планировании своей работы рекомендуется помимо упражнений, связанных с изучением нового материала, подбирать к каждой теме упражнения для повторения. Эти упражнения должны образовывать в целом систему, построенную по определенному плану, с помощью которой организуется непрерывное сопутствующее повторение в течение всего учебного года. Целью этих упражнений является формирование математических навыков в течение длительного периода времени, повторение ранее изученного материала, необходимого для изучения нового.