Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

Межрегиональная многопрофильная олимпиада ГУ-ВШЭ 2010

МАТЕМАТИКА, 11класс, 1 этап

Здесь приведено авторское решение задач.

Замечания и пожелания прошу

направлять по адресу *****@***ru

Вариант 1

1.На рисунке приведены проекции детали на координатные плоскости ХОУ и УOZ. Сторона клеточки равна 1. Каким может быть наибольший возможный объём детали?

Х
 

3. КАКОВ НАИБОЛЬШИЙ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, КОТОРУЮ МОЖНО ПОМЕСТИТЬ ВНУТРЬ ТРАПЕЦИИ С ОСНОВАНИЯМИ 5 И 17 И БОКОВЫМИ СТОРОНАМИ 10? (ТАКАЯ ОКРУЖНОСТЬ МОЖЕТ КАСАТЬСЯ НЕКОТОРЫХ СТОРОН ТРАПЕЦИИ).

РЕШЕНИЕ

ПРОВЕДЁМ ВЫСОТЫ ВК И СМ.

КМ=5 АК=МD=6

ИЗ АВК НАХОДИМ

ВК= 8=СМ

ВЫВОД: ВНУТРЬ ТРАПЕЦИИ ОКРУЖНОСТЬ С
РАДИУСОМ БОЛЬШЕ 4 НЕ ВОЙДЁТ.

ПРОВЕДЁМ СРЕДНЮЮ ЛИНИЮ WP. ТОЧКА О –

ЕЁ СЕРЕДИНА. WO=OP.

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ S=88. ВЫРАЗИМ ЕЁ ЧЕРЕЗ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

AOD, DOC, COB И BOA. ОБОЗНАЧИМ ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ DOC И BOA ИЗ ВЕРШИНЫ О ЧЕРЕЗ L.

S= 0.5*4*17+0.5+4*5 + 0.5*10*L +0.5*10*L=44+ 10*L=88

ПОЛУЧАЕМ L=4.4. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОКРУЖНОСТЬ РАДИУСА 4 С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ О КАСАЕТСЯ ОСНОВАНИЙ ТРАПЕЦИИ И НЕ ИМЕЕТ ОБЩИХ ТОЧЕК С БОКОВЫМИ СТОРОНАМИ.

ОТВЕТ: 4
 

 

4.Известно, что замкнутая ломаная линия состоит из 29 звеньев, причем никакие два звена не лежат на одной прямой. Какое наибольшее число точек самопересечения возможно для этой линии? (Вершины ломаной не считаются точками самопересечения).

РЕШЕНИЕ

Звено ломаной не может иметь точек пересечения с тремя звеньями (само с собой, два звена, с которыми имеется общие вершины). Если каждое звено ломаной пересекается со всеми другими звеньями (кроме трёх, упомянутых выше), то в этом случае ломаная будет иметь максимальное число точек самопересечения.

Примером такой ломаной может быть пятиконечная звезда. Точно также можно построить и 29 - конечную звезду. Число звеньев у неё 29 и каждое звено пересекается с=26) звеньями. Если просуммировать точки пересечения на всех звеньях ломаной, то получим

29*26= 754. В этой сумме каждая точка пересечения учтена дважды, т. к. она принадлежит двум звеньям. Следовательно, число точек самопересечения равно 754:2=377.

ОТВЕТ: 377
 
 

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

5. По прямой на некотором расстоянии друг от друга (не вплотную) катятся с равными
скоростями 5 абсолютно упругих шариков. Ещё 7 таких же шариков катятся с той же
скоростью им навстречу. Сколько всего произойдет столкновений?

(При абсолютно упругом столкновении двух шариков, движущихся навстречу друг другу
с равными скоростями, шарики после соударения разлетаются в противоположные
стороны с теми же скоростями.)

РЕШЕНИЕ

 

После упругого столкновения первых двух шариков положение шариков и направления их движения можно представить в виде рисунка

Подпись: Положение и распределение скоростей шариков на последних двух рисунках совпадает. Разница в окраске шариков не влияет на число столкновений. Значит, две модели поведения шариков после столкновения эквивалентны с точки зрения числа столкновений. Тогда каждый красный шарик пройдёт насквозь через все чёрные шарики и общее число столкновений равно 7*5=35. ОТВЕТ: 35
 

6. Натуральные числа a, b, c имеют соответственно 6, 9 и 14 различных делителей
(включая 1 и само число). НОД (a, b, c) =6. Найдите НОД (a, b)x НОД(b, c).

РЕШЕНИЕ

Подпись: Сначала немного теории. Пусть имеется некоторое число Х. Сколько у этого числа различных делителей Q, включая 1 и само число Х? Известно, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел , где Р1, Р2, ……Рк - различные простые числа, ?1, ?2,…., ?k - неотрицательные целые числа. Любое число является делителем числа Х, если при всех натуральных n ? к. Следовательно, каждая величина может принимать различных значений и
 

Перейдём к решению задачи.

Из условия задачи следует, что число а делится на 6 и имеет 6 различных делителей,
включая 1 и само число а.

Следовательно, число а делится на 2 и 3. Обозначим число делителей числа а
через Qа.

Полученное уравнение имеет два решения

Следовательно, число а может иметь 2 значения а= 223=12 или а= 322=18.

В первом случае делителями числа а являются:1, 2, 3, 4, 6, 12.

Во втором случае делителями числа а являются:1, 2, 3, 6, 9, 18.

Аналогично, Следовательно, и .

Поскольку известно, что b делится на 2 и 3, то b=2232=36

Делители числа b: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Аналогично

Полученное уравнение имеет два целочисленных решения

Значит число с может иметь два значения с= 2*36= 1458 или с=26*3= 192.

Рассмотрим все возможные сочетания значений чисел a, b, c.

1. а=12 b =36 c= 1458

НОД(12,36)=12 НОД(36,1458)= 12
Тогда НОД(а,b)*НОД(b,c)=12*18=216

2. а=12 b =36 c=192

НОД(12,36,192)=12 – противоречит условию

3. а=18 b=36 c= 1458

НОД(18,36,1458)=18 – противоречит условию

4. а=18 b=36 c=192

НОД(18,36)=18 НОД(36,192)= 12

Тогда НОД(а,b)*НОД(b,c)=18*12=216

ОТВЕТ: 216

7. Найдите предпоследнюю цифру числа 292010.

Подпись: Напоминание. Формула бинома Ньютона

РЕШЕНИЕ

В данном случае а=30, b=-1, n=2010

Каждое из первых 2008 слагаемых оканчивается на два нуля, так как содержит
сомножив степени 2. Предпоследнее слагаемое также оканчивается на два нуля.

Следовательно, сумма всех слагаемых оканчивается на 01. Предпоследняя цифра числа
292010 равна нулю.

ОТВЕТ: 0

8. Найдите наибольшее целое решение уравнения -

(1)

РЕШЕНИЕ

Если показатель степени положителен, то число 3 в этой степени больше числа 2 в этой
же степени. Поэтому решение уравнения достаточно находить среди тех значений х,
когда х2-22х+120<0. Корни уравнения х2-22х+120=0 равны х1=10 и х2=12. Тогда
остаётся единственное число 11, которое, возможно, является корнем исходного
уравнения (1).

В уравнение (1) вместо х подставим 11.

3-1 + 6-1 = 2-1 Значение х=11 является корнем исходного уравнения.

ОТВЕТ: 11

9. В треугольной пирамиде все высоты боковых граней, проведённые из вершины
равны 13, периметр основания равен 75, объём равен 750. Найти высоту пирамиды.

РЕШЕНИЕ

Обозначим через Н высоту пирамиды. Так как высоты боковых граней одинаковы и

равны 13, то равны и перпендикуляры, проведенные из точки проекции вершины
пирамиды на плоскость основания к сторонам основания. -

Длину этих перпендикуляров обозначим через a. Ясно, что

Тогда площадь основания пирамиды S выражается зависимостью

Объём пирамиды V выражается

Тогда,

Из последнего уравнения получаем Н=12.

ОТВЕТ: 12 -

10. Окружность с центром в точке (4;1) касается параболы
Найдите абсциссу точки касания.

РЕШЕНИЕ

Уравнение окружности имеет вид , где R - радиус окружности.
Таким образом, получаем систему уравнений

Две эти линии касаются друг друга, если система имеет единственное решение.
Подставляем во второе уравнение значение у из первого уравнения и, раскрывая
скобки, получаем

После преобразований это уравнение примет вид

Исследуем функцию Её производная
При х=2 производная обращается в ноль, при х<2 она
отрицательна и при х>2 положительна. За счёт выбора величины R график
функции можно так сместить вдоль оси y, чтобы она касалась оси х и,
следовательно, уравнение имело бы единственное решение.
Так как Z(x) минимально при х=2, то и касание Z(x) c осью х произойдёт при х=2.

Отсюда следует, что точка касания окружности и параболы произойдёт при х=2.

ПРОВЕРКА

Из первого уравнения получаем у=2. Из второго уравнения получаем .

Точка (2;2) удовлетворяет системе уравнений при .

Из первого уравнения получаем При х=2 производная равна 2.

Из второго уравнения системы

Производная имеет вид Тогда получаем, что при х=2
и в этом случае производная равна 2.

Таким образом, две линии имеют общую точку (2;2) и одинаковые
производные (2) в этой точке.

ОТВЕТ: 2