Заочная физико-математическая олимпиада для школьников

Московский физико-технический институт

(Государственный университет)

Факультет управления и прикладной математики

ЗАОЧНАЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ОЛИМПИАДА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

Решения

Долгопрудный – 2007

Критерии оценок:

1)  Каждая задача по математике оценивается в 7 баллов. Правильный ответ в каждой задаче оценивается в 3 балла. Оценивается каждое верное утверждение, приближающее участника к решению конкретной задачи.

2)  Каждая задача по физике оценивается в 8 баллов. Правильный ответ в каждой задаче оценивается в 2 балла. Оценивается каждое верное утверждение, приближающее участника к решению конкретной задачи.

Математика

1. Последовательность целых чисел задана следующим образом: равно сумме цифр числа . Найдите чему равно .

Решение:

Заметим, что . Т. к. , то имеет не более 8033 цифр. Тогда , поскольку есть сумма цифр . Т. е. имеет не более 5 цифр. Далее аналогично: и имеет не более двух цифр; . Значит - однозначное, причём даёт остаток 1 при делении на 9. Следовательно .

Ответ: .

2. Стороны треугольника – натуральные подряд идущие числа. Найти их, если известно, что в этом треугольнике медиана перпендикулярна биссектрисе.

Решение:

Первый случай: Пусть медиана и биссектриса выходят из одной вершины ( и ). Но тогда поскольку - биссектриса, то . Медиана и биссектриса лежат внутри треугольника, а значит, не ограничивая общности можно считать, что лежит между и , а значит . Но тогда , чего не может быть.

Второй случай: Пусть медиана и биссектриса выходят из разных вершин треугольника ( и ). Тогда пусть - точка пересечения медианы и биссектрисы. Тогда и по условию . А значит - равнобедренный с основанием . А значит Если , то , ибо - медиана. По условию стороны треугольника – подряд идущие натуральные числа, а значит:

Если , то , а значит . Но тогда это не треугольник

Если , то , а значит . Очевидно для этого треугольника выполняется свойство указанное в задаче и по доказанному только этот треугольник удовлетворяет условию.

Ответ: 2, 3, 4.

3. Имеется 6 одинаковых монет на вид монет, 3 из которых тяжёлые (весят одинаково) и 3 – лёгкие (весят одинаково, но легче тяжёлых). У Васи в кармане оказалась ещё монета одного из описанных типов. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь Вася сможет наверняка определить тяжёлая или лёгкая его монета?

Решение:

Очевидно, что за одно взвешивание этого сделать не удастся. Покажем как это можно сделать за два взвешивания. Отметим следующий факт: если на весы положить Васину монету и ещё одну, и при этом весы будут не уравновешены, то мы сразу устанавливаем лёгкая или тяжёлая Васина монета.

Первое взвешивание: на одну чашу весов кладём Васину монету и ещё две, на другую – три монеты.

1) Если весы оказались в равновесии, то на каждой чаше одинаковое количество лёгких и тяжёлых монет, поэтому незадействованная в первом взвешивании монета отличается по весу от Васиной. Таким образом вторым взвешиванием (Васину монету сравниваем с незадействованной) однозначно определяем какого сорта Васина монета.

2) Если чаши весов не уравновесились, то без ограничения общности можем считать, что чаша с Васиной монетой оказалась тяжелее. Тогда на этой чаше тяжёлых монет должно быть больше, чем на другой. Поэтому либо Васина монета тяжёлая, либо она лёгкая, но вместе с ней лежат ещё две тяжёлые монеты. Следующим взвешиванием сравним её с любой монетой с той же чаши. Если Васина монета легче, то она лёгкая, в остальных случаях тяжёлая.

Ответ: за два взвешивания.

4. Сколько решений в целых числах имеет уравнение:

Решение:

.

Т. к. 502=2251, где 251 – простое, то для того чтобы х было целым числом, необходимо, чтобы 502y было квадратом целого числа, значит, , где m Z. Аналогично, в силу симметрии уравнения относительно входящих переменных, , где n Z. Подставим, в исходное уравнение: <=> |n|+|m|=2, но так как x и y выражаются черези , то достаточно рассмотреть целые неотрицательные решения: (0,2) , (1,1), (2,0).

Тогда решениями исходного уравнения будут соответственно пары: (0,2008), (502,502), (2008,0).

Ответ: три решения.

5. . На бесконечном листе клетчатой бумаги построен треугольник ABC, вершины которого находятся в узлах сетки. Известно, что периметр треугольника ABC меньше 2008, а также что AB>BC. Найти наибольшее значение выражения , где [x] - целая часть числа х.

Решение: Введём декартову систему координат, оси которой параллельны линиям сетки, а начало находится точке А. Тогда точки B и C будут иметь координаты: B(a, b) C(c, d). Преобразуем выражение , где P – периметр треугольника ABC. Таким образом получаем .

Теперь приведём пример, когда искомое выражение в точности равняется 2006. Рассмотри треугольник с вершинами A(0;0), B(1,1003), C(1;0), нетрудно заметить, что он прямоугольный. , , . Тогда . Учитывая выше сказанное, .

Ответ: 2006.

6. На некой планете есть 12 государств, каждое из них граничит с 5 другими (расположение как в додекаэдре). В некоторое время они все перессорились, разбились на 2 альянса по 6 государств в каждом и начали войну. Если в какой-то год войны государство имеет границ с вражеским альянсом больше чем с союзным, то на следующий год оно будет завоевано вражеским альянсом. Всегда ли война будет длиться бесконечно?

Решение:

Нет. Пример на рисунке к данной задаче (здесь додекаэдр проколот в середине одной грани и спроецирован на плоскость).

7. 7. Даны два правильных пятиугольника: AB1C1D1E1 со стороной а и AB2C2D2E2 со стороной b, ÐB1AB2=a<p (вершины B1, C1, D1, E1 и B2, C2, D2, E2 идут по часовой стрелке). K, L, M, N – середины отрезков E1E2, B1B2, D1D2 и C1C2 соответственно. Найдите .

Решение:

В правильном пятиугольнике ABCDE треугольники ABE и ACD имеют соответственно углы 108°, 36°, 36° и 36°, 72°, 72° (см. рис.1).

Повернём треугольник AD1D2 на 36° против часовой стрелки. Тогда отрезок AD1 совместится с отрезком AC1, отрезок AD2 – c отрезком AC2, треугольники AD1D2 и AC1C2 совместятся и совпадут середины отрезков D1D2 и C1C2 (см. рис. 2).

Следовательно, AM повернётся также на 36°, совпадёт с AN, т. е. ANM - равнобедренный и подобный треугольникам AC1D1 и AC2D2. Тогда Аналогично, повернём треугольник AE1E2 на 108°, он совпадёт с AB1B2, совместятся отрезки AK и AL. Тогда ALK – равнобедренный и подобный треугольникам AB1E1 и AB1E1, .

Вычислим AM и AK – медианы треугольников AD1D2 и AE1E2. ÐD1AD2=ÐE1AE2=ÐB1AB2=a, по теореме косинусов , .

По правилу вычисления медианы для :, .

Найдём sin18° и sin54°. На рис. 1 DAFE и DEAB подобны Þ Þ a2=x(x-a) Þ x2–ax-a2=0 Þ Þ , .

Тогда:вне зависимости от a, b и a.

Ответ: .

8. Найти все такие функции , для которых выполнено следующее условие:

, .

Решение:

:

Подставим в : (2)

Преобразуем , используя :

Подставим в :

Преобразуем левую и правую части , используя :

Преобразуем левую и правую часть , используя :

Таким образом, переходя к следствиям из условия, мы пришли к выводу, что искомая функция должна быть тождественным нулём, но, возможно, тождественный нуль не удовлетворяет всем условиям. Поэтому сделаем проверку: - верное равенство.

Ответ:

9. Решите в натуральных числах: 1!+2!+3!+…n!=.

Решение:

Рассмотрим остатки по модулю 7. Если дает остаток по модулю 7 (0,1,2,3,4,5,6), то даёт остатки (0,1,1,6,1,6,6) соответственно. Т. е. могут быть только (0,1,6). Если , то n! делиться на 7. Посмотрим, какой остаток по модулю 7 даёт левая часть при :
он будет равен остатку 1!+2!+3!+4!+…+7! = 1+2+6+24+120+720+0+0… = 873, 8735 (mod 7).
Получаем, что при решений нет. Осталось перебрать все n<6: n=5: 1!+2!+..5! = 153;

n=4: 1!+2!+..4! = 33; n=3: 1!+2!+3! = 9; n=2: 1!+2! = 3; n=1: 1! =1. Значит единственная пара: (1;1)

Ответ: n=1, m=1.

Физика

1. В цепи амперметр показывает ток =10мА, вольтметр – напряжение =2В. После того, как вольтметр отключили от резистора и подключили параллельно амперметру, показания амперметра уменьшились до =2,5 мА. Определите сопротивление резистора . Напряжение источника постоянно.

Решение:

Пусть - напряжение источника, , - сопротивления амперметра и вольтметра соответственно. Запишем второе правило Кирхгофа для всей цепи до переключения вольтметра (1) и после (2):

(1)

(2)

Воспользуемся первым правилом Кирхгофа для узла М исходной цепи: (3).

Из (1) получаем , из (3) получаем . Подставляя в (2) имеем:

следовательно:

.

Получаем .

2. Автоматическая станция обращается вокруг планеты Марс с периодом . Максимальное удаление от поверхности Марса (в апоцентре) минимальное (в перицентре) По указанным параметрам орбиты станции определите отношение массы Марса к массе Земли. Радиус марса радиус Земли

Решение:

Пусть и - массы Земли и Марса соответственно. Рассмотрим спутник массы , который движется по круговой орбите вблизи поверхности Марса. По второму закону Ньютона: , где - скорость этого спутника, - период его обращения. Воспользуемся III законом Кеплера для станции и спутника:

(1)

Для ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли имеем:

. (2)

Далее из (1) и (2) получаем:

; .

Ответ:

3. В морозный зимний день Вася войдя в свою комнату решил, что батареи «плохо топят» и включил кондиционер в режиме «нагрев» при минимальной мощности . Температура за окном , в комнате . Считая кондиционер идеальной тепловой машиной, работающей по обратному циклу, холодильником которого служит окружающая среда, а потери теплоты пропорциональными разности температур с коэффициентом пропорциональности , найдите изменения температуры в комнате.

Решение:

Рассмотрим тепловой баланс до включения кондиционера. Пусть - мощность батарей отопления. Тогда: .

Пусть - температура в комнате после включения кондиционера. Т. к. последний является идеальной тепловой машиной, то КПД прямого цикла есть: , где - поток тепла, направляемый кондиционером в комнату. В этой ситуации уравнение теплового баланса будет выглядеть следующим образом: .

Решим это уравнение численно:

.

Очевидно, что второй корень не имеет физического смысла, поэтому .

Ответ:

4. Имеется длинный прозрачный цилиндр радиуса с показателем преломления имеющим радиальную зависимость: , где ;; . Перпендикулярно оси цилиндра падает узкий пучок света (см. рис.1). Найдите наименьшее расстояние между пучком и осью цилиндра.

Указание: воспользуйтесь аналогом формулы Снелла для сферически неоднородных тел.

Решение:

Из закона преломления на границе двух сред следует: (формула Снелла). Аналогом этой формулы для сферически симметричных тел служит:  (1), где r – расстояние до центра.

Пусть - искомое расстояние. Построим окружность радиуса  (см. рис.2), она касается траектории пучка, поэтому в точке касания . Заметим, что для падающего пучка . Поэтому .

Решим числено полученное уравнение: . Мы выбрали знак «-», т. к. второй корень больше 1, что невозможно, т. к. радиус цилиндра . Заметим также, поскольку - непрерывная функция, то из соотношения (1) следует, что - также непрерывная функция. Поэтому исходный пучок на всей своей траектории не будет испытывать эффекта полного отражения.

Ответ: .

5. Корабль водоизмещением тонн с площадью ватерлинии плывет по волнам, испытывая килевую качку. Известно, что длина волн на море . Оценить, при какой скорости корабля эти волны будут особенно опасны. Рассмотреть два случая – корабль плывёт навстречу волнам и «от них».

Указание: гравитационные волны длины распространения со скоростью .

Решение:

Рассмотрим корабль на гладкой воде, и найдем период его «килевых» колебаний. Для оценки будем считать, что он приближенно равен периоду малых вертикальных колебаний. Для его вычисления рассмотрим малое смещение корабля вдоль вертикальной оси. Возвращающая сила будет равна изменению силы Архимеда, т. е.. Получаем уравнение гармонических колебаний, из которого находим их период: .

Известно, что для гравитационных волн длины скорость их распространения составляет . Рассчитаем, как часто корабль «встречает» волну. Если он плывет навстречу волнам то промежуток между встречами равен , если от волны . Опасно, если этот период совпадает с периодом килевой качки – тогда волны будут раскачивать корабль в резонансе. Следовательно, опасная ситуация возникает при выполнении условия , откуда . Плюс соответствуют случаю, когда корабль движется в том же направлении, что и волны (получаем ), минус – когда плывет навстречу ().

Ответ: , .

Задачи предложили: Исаев Михаил, Малеев Алексей, Шевченко Александр, Спирин Никита, Сергеев Константин, Рипатти Артем, Фрей Александр. Идеи некоторых задач взяты из олимпиадных сборников. Организаторы приносят благодарность Цыбулину Ивану за помощь в составлении условия олимпиады, а также и за рецензии задач по математике и физике.

Организация олимпиады — Малеев Алексей, Пустовойтов Никита, Миркин Андрей, Проценко Игорь, Спирин Никита.

В этом году, победив в конкурсе, в состав олимпиады вошла задача Риппати Артёма, студента Уфимского государственного авиационно-технического университета. Если Вы хотите, чтобы в будущих олимпиадах участвовали Ваши задачи, присылайте их в архиве на

*****@***com, указав в поле тема: «Задачи для заочной олимпиады ФУПМ».

Организаторы олимпиады выражают глубокую признательность компании «Forecsys» (http://www. *****) за оказанную материальную и моральную помощь в организации олимпиады.