Рабочая программа учебной дисциплины
МАТЕМАТИКА
Направление подготовки :
020800 - «Экология и природопользование»
Профиль подготовки :
П р и р о д о п о л ь з о в а н и е
Квалификация(степень) выпускника :
Специалист
Форма обучения :
О ч н а я
Москва - 2011
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математика» являются овладение совокупностью математических объектов, их свойств и основных операций с ними. Освоение дисциплины направлено на приобретение навыков исследования свойств реальных объектов и процессов на основе их математических моделей.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина Математика представляет собой дисциплину базовой части математического и естественнонаучного цикла (Б2).Обучение происходит в течение трех первых семестров и студентам, обучающимся по данной дисциплине достаточно знаний, полученных в процессе обучения в средней школе.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины Математика обучающийся должен:
Знать: - основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Обладать базовыми знаниями в области фундаментальных разделов математики в объеме, необходимом для владения математическим аппаратом экологических наук, для обработки информации и анализа данных по экологии и природопользованию(ОНК-1).
Уметь: -использовать в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в
области математики; моделировать процессы в области природопользования, рассчитывать
параметры моделей; анализировать массивы нормативных, статистических и других данных,
проводить их статистическую обработку(ОПК-5).
Владеть:- принципами математических рассуждений и математических доказательств,
методами математического моделирования и анализа(ОПК-6).
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины Математика составляет 6 зачетных единиц или 350 часов.
4.1 Структура преподавания дисциплины
№ п/п | Раздел дисциплины | семестр | Неделя семестра | Виды учебной работы, включая Самостоятельную работу студентов и (в часах) | Форма текущего контроля (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам) | |||
Лек- ции | Практи- ческие занятия | Семинары | Самостоя- тельная работа студентов | |||||
1 | Линейная алгебра | 1 | 1-4 | 8 | 8 | 15 | Контрольная работа Расчетно-граф. раб. | |
2 | Аналитичес-кая геометрия | 1 | 5-8 | 8 | 8 | 15 | Контрольная работа Расчетно-граф. раб | |
3 | Эл-ты функц. анализа. Математичес-кий анализ | 1-2 | 9-18 1-7 | 34 | 34 | 62 | Контрольная работа Расчетно-граф. раб | |
4 | Ряды | 2 | 8-12 | 10 | 10 | 10 | Контрольная работа Расчетно-граф. раб | |
5 | Дифференц. уравнения | 2 | 12-18 | 6 | 6 | 25 | Контрольная работа Расчетно-граф. раб. | |
6 | Теория вероятноятей | 3 | 1-9 | 10 | 10 | 15 | Контрольная работа Расчетно-граф. раб | |
7 | Математичес-кая статистика | 3 | 10-18 | 8 | 10 | 25 | Контрольная работа Расчетно-граф. раб | |
8 | Промежуточная аттестация | 1,3 2 | 19-20 18 | 10 3 | Экзамен Зачет |
4.2 Содержание дисциплины
Линейная алгебра
Матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства. Способы вычисления определителей. Системы линейных уравнений с невырожденной матрицей коэффициентов и методы их решения. Совместность системы линейных алгебраических уравнений, критерий совместности. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Общее решение однородной системы линейных уравнений и частное решение неоднородной. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
Аналитическая геометрия
Векторы. Операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость и независимость векторов. Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов. Прямая линия на плоскости и ее уравнения. Уравнения плоскости в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и расстояния от точки до плоскости. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Кривые второго порядка и их свойства.
Математический анализ.
Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Общее понятие функции. Конечные и бесконечные множества. Эквивалентность множеств. Счетные множества и несчетные множества
Предел функции и его геометрический смысл. Свойства пределов функций. Сравнение функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные функции. Вычисление пределов с помощью таблицы основных эквивалентных функций. Первый и второй замечательные пределы.
Понятие непрерывности в точке. Определения разрывов и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций, связанных с основными арифметическими операциями над функциями. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, достижимость наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
Производная и дифференцируемость функции в точке и их связь. Геометрический и физический смысл первой производной. Свойства дифференцируемых функций. Правила нахождения производной суммы, разности, произведения и отношения функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная неявной функции.
Первый дифференциал его свойства. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков и их свойства. Геометрический и физический смысл дифференциала.
Теоремы о средних значениях для дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. Таблица разложений основных элементарных функций по формуле Маклорена.
Критерий монотонности дифференцируемых функций. Необходимое и достаточное условие экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Определение выпуклости и вогнутости, точек перегиба. Применение второй производной к нахождению интервалов выпуклости. Общая схема исследования функций и построения графиков.
Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование по частям и подстановкой. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональностей. Определение и основные свойства определенного интеграла. Производная по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов методами замены переменной и по частям. Некоторые геометрические и физические приложения определенных интегралов.
Область определения, предел и непрерывность функции нескольких переменных. Основные теоремы о непрерывных функциях: теорема о непрерывности сложной функции, первая теорема Вейерштрасса. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости. Инвариантность формы первого дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл частных призводных и первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Ряды
Числовой ряд и его сходимость. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами («эталонные» ряды). Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница Функциональные ряды. Мажорируемые ряды. Непрерывность суммы ряда. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Степенные ряды. Лемма Абеля. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда. Простейшие способы нахождения радиуса сходимости. Ряд Тейлора и Маклорена. Приемы суммирования степенных рядов.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решение. Задача Коши для уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности. Простейшие типы уравнений первого порядка и методы их интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные. Интегрирование уравнения Бернулли. Линейное уравнение 2-го порядка. Задача Коши и терема существования и единственности её решения.. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Приемы решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Числовые характеристики равномерного, показательного и нормального распределений. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Математическая статистика
Элементы математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез. Методы обработки статистической информации.
Темы для индивидуальной работы
Таблица производных и правила дифференцирования.
Таблица разложений в ряд Тейлора основных элементарных функций.
Разложение в ряд Фурье функций с различными формами четности.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
5. Образовательные технологии
При реализации программы дисциплины Математика реализуются как традиционные технологии в виде аудиторных занятий, состоящих из лекционных (84 часа) и практических занятий (86 часов) так и компьютерные – при проведении расчетных работ и тестировании остаточных знаний студентов. Самостоятельная работа студентов (180 часов) подразумевает работу под руководством преподавателей ( консультация и помощь при выполнении расчетно - графических работ), и индивидуальную работу студентов в компьютерном классе или библиотеке Университета.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
6.1 Контрольные вопросы и задания для промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
В течении преподавания курса Математика в качестве форм текущей аттестации студентов используются такие формы как, контрольная работа (30 часов), расчетно-графическая работа (10 часов), тестирование по проверке текущих и остаточных знаний. По итогам обучения в 1-ом и 3-м семестрах проводятся экзамены на которые суммарно выделяется (10 часов), а по итогам 2-го семестра - зачет(3 часа).
Темы контрольных работ:
- нахождение произведения матриц;
- вычисление определителей матриц 2-го и 3-го порядков;
- вычисление обратных матриц;
- определение совместности системы линейных уравнений 2-го и 3-го порядков;
- вычисление координат векторов в заданном базисе;
- вычисление длин векторов и угла между двумя векторами;
- определение взаимного положения прямых на плоскости и в пространстве (параллельность, перпендикулярность, расстояние между скрещивающимися прямыми) и плоскостей и прямых в пространстве;
- приведение квадратичной формы от 2-х переменных к каноническому виду;
- вычисление параметров кривых второго порядка по каноническому уравнению и построение эскизов кривых.
- вычисление предела функции, раскрытие неопределенностей;
- определение точек разрыва функции и их классификация;
- вычисление производной функции;
- определение промежутков возрастания и убывания функции;
- определение экстремумов функции в области её определения;
- определение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек ее перигиба;
- нахождение асимптот графика функции;
- нахождение множества первообразных заданной функции;
- вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница;
- вычисление простейших несобственных интегралов;
- вычисление частных производных первого и второго порядка функции 2-х и 3-х переменных;
- вычисление градиента функции и производной по заданному направлению;
- исследование сходимости числового ряда с положительными членами;
- исследование сходимости знакочередующегося ряда;
- нахождение радиуса сходимости и области сходимости степенного ряда;
- классификация дифференциального уравнения 1-го порядка и его решение;
- интегрирование однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
- нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка;
- операции над событиями (сложение, умножение, вычитание);
- вычисление вероятности суммы и произведения событий;
- вычисление условной вероятности;
- вычисление вероятности события с использованием формулы полной вероятности;
- вычисление вероятности события с использованием формулы Байеса;
- вычисление вероятности события в схеме независимых испытаний с использованием формулы Бернулли и его приближений ( локальная и интегральные формулы Лапласа);
- вычисление математического ожидания и дисперсии дискретно распределенной случайной величины;
- вычисление математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины по функции плотности распределения;
- вычисление вероятности попадания в заданный интервал случайной величины;
- построение полигона и гистограммы частот по заданной выборке;
- построение эмпирической функции распределения по заданной выборке.
Темы расчетно-графических работ.
- нахождение геометрических характеристик пирамиды по заданным координатам вершин в прямоугольной системе координат;
- решение системы линейных алгебраических уравнений 3-го порядка методом Гаусса и методом обратной матрицы;
- определение вида кривой второго порядка по его уравнению и построение эскиза кривой в заданной прямоугольной системе координат;
- исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика;
- вычисление геометрических характеристик (длины кривой, объёма тела вращения, площади поверхности) тел с помощью определенного интеграла;
- исследование функции 2-х или 3-х переменных на экстремум;
- приближенное вычисление значений элементарных функций с помощью их разложения в степенные ряды и оценка погрешности вычисления;
- решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
- построение вероятностной модели данной задачи и вычисление значения вероятности события в рамках классического определения вероятности;
- построение функции распределения случайной величины и вычисление характеристик случайной величины;
- исследование заданной генеральной совокупности статистическими методами: точечная оценка генерального среднего, построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии, построение вариационного ряда и гистограммы относительных частот;
проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.
7.1 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. . Высшая математика (учебник). М.: Высшая школа 2001.
2. . Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа 2001.
3. . Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1и 2. «Интеграл-пресс»,2006.
4. . Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование, 20с.
5. . Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. Спб.»Лань», 2005.
6. . Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшее образование, 2008.
7. . Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физико-математическая литература, 2000.
8. , . Краткий курс высшей математики М.: «Астрель-Аст», 2003.
9. , , Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Части 1-3. Спб:»Лань». .
б) дополнительная литература
1. . Краткий курс аналитической геометрии. М.:» Физматлит». 2002.
2. , , . Высшая математика в упражнениях и задачах.
Части 1 и 2. М.: «Оникс». 2008 .
3. . Сборник задач по высшей математике. М.:»Физматлит». 2001.
4. П. Бочаров, . Теория вероятностей и математическая статистика.
М.:»Физматлит», 2005.
5. Методические указания для студентов 1-го и 2-го курсов по дисциплине
«Теория вероятностей». М.: Изд-во ГУЗ. 2003 г.
в) методические материалы и интернет ресурсы:
Сборники тестов для контроля усвоения знаний, созданные сотрудниками кафедры высшей математики и физики ГУЗ ;
www. ***** – сайт интернет тестирования;
www. ***** – сайт Центра дистанционных методов обучения ГУЗ.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО и профилю подготовки
020802-«Природопользование»
Авторы:
Профессор, д. ф.-м. н. ,
Доцент, к. ф.-м. н.
Рецензенты: профессор кафедры высшей математики МФТИ, д. ф.-м. н. , доцент кафедры высшей математики и физики ГУЗ
Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики и физики. Протокол
№ 10 от 27 августа 2011 г.
Зав. кафедрой:
Программа одобрена на заседании УМС университета
Протокол № от «_____»___________________2011 г.
