Интегрированный урок по теме «Производная в математике и физике»

МОУ «Александровская СОШ» Томского района

– учитель математики

– учитель физики

Интегрированный урок по теме

«Производная в математике и физике» в 11 классе.

Место урока в программе

Урок целесообразно проводить после изучения темы «Производная и её применение» в курсе «Алгебра и начала анализа», а также на занятиях по подготовке к Единому государственному экзамену по физике и математике. Важно показать учащимся целостность знаний, получаемых на уроках математики и физики, их прикладном характере и эффективности использования при решении физических задач.

Продолжительность занятий

90 минут (2 урока).

Тип урока

Урок повторения, систематизации и обобщения знаний, закрепления умений.

Форма урока

Повторительно-обобщающий урок.

Цель урока

Более глубокое усвоение знаний по теме «Производная и её применение», высокий уровень обобщения, систематизации

Задачи

·  образовательные:

выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих уроках по математике и физике; обобщить материал как систему знаний по теме «Производная и её применение».

·  воспитательные:

формирование значимости взаимосвязи физики и математики в познаваемости окружающего мира; развивать коммуникативные навыки при работе в группах, уважительного отношения к мнению товарищей.

·  развивающие:

развивать умение классифицировать, выявлять связи, формулировать выводы; развивать познавательный интерес; развивать умение объяснять особенности, закономерности; развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать.

Оборудование

Мультимедийный проектор, компьютер, экран, карточки для ответов учащихся, карточки с заданиями

Ход урока

Организационный момент

На экране: «Математика вводит понятия, которые используются как "методические" понятия в физике и в других науках (таковы сложение, умножение, дифференцирование...) (слайд 1)

Учитель физики: Сегодня, в течение двух уроков, мы объединим знания, полученные на уроках математики и физики; рассмотрим задания из ЕГЭ по математике с физическим содержанием и задачи из ЕГЭ по физике, которые легко решаются с применением производной.

Учитель математики: В течение урока пройдёт ряд работ по математике и физике, за которые вы будете получать баллы, которые в конце урока превратятся в оценки по физике и математике.

2.  Устно

I.  На доске изображена таблица производных и правил дифференцирования с пропусками. Каждому учащемуся предлагается заполнить пропуски. За правильный ответ учащийся получает 1 балл. (Количество пропусков совпадает с количеством учащихся в классе.)

Функция	Производная
у=С
	у' = 1
	у'=nxn-1
у =, х>0
у = , х ≠ 0
	у' = сu'
у = u ± v
	у' = u'v + v'u
у = ( k х + с)n
	у' = cos x
у = cos x
у =ех
	у' = k cos(k x + С)
к = cos(k x + С)
	у' =k е kх
у = tg x
	у' =
	у' = ax ln а
	у' =

II.  Устная работа для всего класса. Кто быстрее и правильно ответит, получает 1 балл. Задания представлены на слайдах. (Слайд 2-5)

III.  Учащимся предлагается выполнить устную работу самостоятельно, с записью ответов на карточки:

Фамилия, Имя
Вариант
1 а)
б)
в)
г)
д)
2
3

За правильный ответ в каждом задании учащийся получает 1 балл.

(Слайд 6)

3. Повторение теоретического материала

Учащимся задаются вопросы, за правильный и быстрый ответ на которые учащиеся получают от 1 до 2 баллов. Каждый вопрос выводится на экран. (Слайд 7)

1.  В чем состоит механический смысл производной?

2.  Что такое ускорение?

3.  В чем состоит геометрический смысл производной?

4.  По какой формуле находится производная произведения двух функций?

5.  По какой формуле находится производная частного двух функций?

6.  Как найти скорость и ускорение, зная закон прямолинейного движения материальной точки?

7.  По какой формуле находится производная сложной функции?

8.  Как найти перемещение при равноускоренном движении?

Решение физических задач с применением производной.

Учитель физики: Производная есть мгновенная скорость изменения функции,
поэтому производная широко применяется в физике.

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется по закону х (t), то скорость ее движения v (t) в момент времени t равна производной х'(t ) : v (t) = х' (t ) , а eё ускорение а (t) равно производной v' (t) : а (t)= v' (t) или второй производной от х (t):

а (t)= x'' (t).

Учитель предлагает учащимся решить задачи у доски, происходит совместный разбор задач.

Задача 1. Тело движется прямолинейно по закону х (t) =3t2 + 2t + 1. Найдите скорость движения тела в момент времени t = 4 с. (Слайд 8)

Решение. х'(t)=6 t+2, v (4) = х' (4) == 6 · 4+2=26 (м/с).

Задача 2. Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется по формуле s (t) =30t —16 t2. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Сколько метров будет двигаться машина с начала торможения до полной ее остановки? (Слайд 9)

Решение. Мгновенная скорость v (t) машины при торможении равна производной: v (t) = s ' (t) = (30t — 16t2)' = 30 – 32t. В конце тормозного пути v(t)= 0, поэтому имеем: 30—32t = 0, откуда t = с. Значит, торможение осуществлялось в течение c. Тормозной путь машины составит: s ( ) = 30 · - 16·()2 ≈14 м.

Задача 3. Тело движется прямолинейно по закону х (t)=3+2t+t3. Найдите ускорение движения тела в момент времени t = 3 с. (Слайд 10)

Решение. a (t)=х"(t); x'(t)=(3 + 2t + t3)'= 2 + 3t2 ; а (t)= х" (t) == (2 + 3t2 )' =6t;

а (3) = 6 · 3 = 18 (м/с2).

Задача 4. Движение материальной точки описывается уравнением x = 2 sin( + ). Определите максимальные значения скорости и ускорения. (Слайд 11)

Решение v (t) = x'(t) = π cos ( + ); a (t)= v' (t)= - sin( + ).

Во время этого этапа урока, учитель математики подводит итоги предыдущей работы: подсчитывает количество баллов каждого ученика.

4.  Работа в группах

Учащиеся разбиваются на группы по 4-5 человек.

Учащиеся выполняют задания на карточках, на которых представлены задания из ЕГЭ по математике и физике. За каждое правильно выполненное задание все участники группы получают от 1 до 2 баллов.

Вариант карточки:

Вычислите у' (0) , если у = Найдите наименьшее значение функции g(x) =2х3 – 6х на отрезке [0;2]. Найдите значение производной функции f(x)'= cos t + tg t в точке t0 = -π. Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до точки В этой прямой изменяется по закону S(t) =2t3 – 12t2 +7 (t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/с2 ? Точка движется прямолинейно по закону x (t)= - t3/6+3t2-5. .Найти момент времени t, когда ускорение точки равно 0. Две материальные точки движутся по законам: Xl (t)=2,5t2-6t+l; X2 (t) =0,5t2 + 2t – 3. В какой момент времени их скорости равны? Уравнение движения материальной точки массой 1,5·10-2 кг имеет вид: x= 0,1 sin (/8·t + /4). Найти зависимость силы F, действующую на точку, от времени. Найти значение максимальной силы.

5.  Подведение итогов.

Пока учитель физики проверяет работу, выполненную в группах, и выставляет каждому учащемуся итоговое количество баллов и переводит их в оценки, учитель математики задаёт вопрос: Как Ньютон называл производную? (ответ - флюксия)

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно решить лёгкие задачи и полученный ответ сопоставить с буквой и вставить в таблицу по порядку.

20	-0,5	12	0,5	0,1	5	4
С	Я	К	Ю	Ф	Л	И

Найдите f '(х) = 1, при f (х) = 5x2 – 4 Найдите f '(х) , если f (х) = 5x Найдите f '(х) = 0, при f (х) = 4x2 – 4х Тело движется прямолинейно по закону х (t) =3t2 + 2. Найдите скорость движения тела в момент времени t = 2с. Тело движется прямолинейно по закону х (t) =3t2 + 2t. Найдите скорость движения тела в момент времени t = 3с. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции x3+x в точке x= - 1 В какой точке x0 угловой коэффициент касательной к графику функции f (х) = 6x2- 5 равен – 6. (Слайд 12)

Учитель математики подводит итоги урока.

Учитель физики объявляет учащимся итоговые оценки.

Перевод баллов в оценки: 25 баллов и выше - «5»

18-24 балла -«4»

9-17 баллов - «3»

Литература

, Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 – 11 классов –М «Просвещение, 1985г.,

, Физика. Сборник экзаменационных заданий. - М «Эксмо», 2009г.,

, Математика. Сборник заданий. - М «Эксмо», 2009г.,

Устно для всего класса ( 1 балл)

1. Найти производную функции

а) f(х) = 3,5х 5

б) f(х) =

в) f(х) = - (6-2x) 4

г) f(х) = 15 – 3х+2х 2

д) f(х) = 13 sin 3х

2. На рисунке изображен график функции у = f (х) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f (х) в точке х0 = -1.

3. На рисунке изображен график функции у = f (х) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной функции f (х) в точке х0 = 4.

4. Найдите f '(х) = 1 , если f(х) = х2 + 2

Каждый ученик отвечает на устный вопрос, за правильный ответ - 1 балл.

Устно ( на экране ).Ученики решают самостоятельно и устно

1 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ

1.  Найдите производную функции:

а) f(х) = 6х4 а) f(х) = -4х3

б) f(х) = б) f(х) =

в) f(х) = (х+9)10 в) f(х) = (5 +х)8

г) f(х) = х8+3х2-3,2 г) f(х) = 3х5 – 4х4+4,3

д) f(х) = -2sin х д) f(х) = 7cos х

2. Найдите f '(х) = 0, если

f(х) = 5х2 + 2х f(х) = 12х2 - 3х

3. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М графика функции f

f(х) = х2 , М(-3;6) f(х) = х3 , М(-1;3)

Ученики записывают ответы на карточке

Вопросы всему классу на 2 балла ( кто первый ответит )

В чем состоит механический смысл производной? В чем состоит геометрический смысл производной? По какой формуле находится производная произведения двух функций? По какой формуле находится производная частного двух функций? Как найти скорость и ускорение, зная закон прямолинейного движения материальной точки? По какой формуле находится производная сложной функции?

Заполнить таблицу производных и правил дифференцирования

Функция	Производная
у=С	(С)'=0
у=х	(х)' = 1
у = хn n≠ 1	(xn)'=nxn-1
у=, х>0	'=
У= , х ≠ 0	()'=-
у=сu	(сu)' == сu'
у= u ± v	(u ± v)' = u' ± v'
у = u v	(u v)' == u'v + v'u
у=
у = ( k х + с)n	у' = k n ( k х + с)n-1
у= sin x	(sin x)' = cos x
у= cos x	(cos x )' =- sin x
у=ех	(ех)' = ех
у= sin(k x + С)	(sin(k x + С))' = k cos(k x + С)
у= cos(k x + С)	(cos(k x + С) )' =-k sin(k x + С)
у =е kх	(е kх)' =k е kх
у = tg x	(tg x)' =
у = ctg x	(ctg x)' =
у = ax	(ax)' = ax ln а
у = log a x	(log a x)' =

Задания для проверочной работы (из ЕГЭ )

Вычислите у' (0) , если у= Найдите наименьшее значение функции g(x) =2х3 – 6х на отрезке [0;2]. Найдите значение производной функции f(x)'= cos t + tg t

в точке t0 = -π.

4. Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до точки В этой прямой изменяется по закону S(t) =2t3 – 12t2 +7 (t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/с2 ?

Упражнения

1. В чем состоит механический смысл производной?

2. Как найти скорость и ускорение, зная закон прямолинейного движения материальной точки?

3. Найдите скорость изменения функции у = 0,2лс3 — —х1 + 1
в точке х.

4. Точка движется прямолинейно по закону х(1)=213—6/+
+ 5, где х (() измеряется в метрах, время I — в секундах. Найди-
те: а) скорость в момент времени /; б) скорость в момент време-
ни ^==2 с; в) ускорение в любой момент времени.

5. Найдите ускорение движения в момент времени /==4 с
по заданному закону движения: а) х (I) == Iй — З/2; б) х(1)=я
= /27, где х(^) измеряется в метрах, время (—в секундах.

6. Найдите скорость изменения объема У(х) куба в зависимос-
ти от изменения длины х его ребра.

7. Найдите скорость изменения поверхности з(х) куба в зави-
симости от изменения длины х его ребра.

94

8. Закон движения частицы х(1)==13—!, где х(1) измеряется
в метрах, время / — в секундах. Каково ускорение частицы в
момент времени, когда скорость ее равна 11 м/с?

9*. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной
скоростью Уц. На какой высоте А он будет в момент 1(в с)? Опре-
делите скорость и ускорение движения снаряда. Через сколько
секунд снаряд достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии
от поверхности земли он будет находиться?

10*. Камень опущен с высоты 81 м. Через сколько секунд
он ударится о землю? Какова будет его скорость в момент удара?

II*. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону
х (0=== <3 — 3<2 + 2, где лс(0 измеряется в метрах, время I — в се-
кундах. Найдите силу, действующую на тело в момент времени
1=3 с.

12*. Тело массой 500 кг помещается в гидравлический лифт,
толкающий его вверх. С какой силой лифт должен действовать
на тело, чтобы оно двигалось с постоянным ускорением 0,5 м/с2?

13*. Найдите вторую производную от функции /(х), если:

а) !(х)=хь+2хз-7•, б) Цх)= /7^8;

.1

в) ЛО--^

г) {(х)=ах2+Ьх+с.

§ 30. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ФИЗИКЕ