Математический анализ

Математический анализ

1. Числовые множества и функции

1.1. Числовая ось. Множества на числовой прямой

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые понятия.

Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество называются элементами, или точками этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т. д. Т. е. объекты могут иметь самую различную природу, какую себе можно только представить.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными.

Факт принадлежности элемента а множеству А условно принято обозначать записью . Если элемент b не является элементом множества А, то пишут

Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом ø. Например, множество действительных корней уравнения х 2 + 1 = 0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А, что эквивалентно символьной записи .

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Обозначается .

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В. Обозначается .

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Обозначается E = A\B.

Пример 1.1. Найти объединение, пересечение и разность множеств А = {1; 3; 6; 8}, В ={2; 4; 6; 8}

Ответ: , ,

Дополнением множества называется множество А0, состоящее из всех элементов множества В, не принадлежащих А.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Из школьного курс алгебры известны множества : R – действительных чисел, Q – рациональных, I - иррациональных, Z – целых, N – натуральных чисел. Очевидно, что

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовой оси). Числовой прямой называют прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой оси – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Приведем определения некоторых множеств на числовой оси. Пусть а и b - действительные числа, а < b.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству a ≤ x ≤ b, называют закрытым интервалом (или сегментом) и обозначают [a;b]; неравенству a< x < b – открытым интервалом (a;b); неравенствам a ≤ x < b или

a < x ≤ b - полуинтервалами [a; b) или (a;b]. Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы

(-∞; a), (b; +∞), (-∞; +∞), (-∞; a], [b; +∞).

1.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число −х, если х – отрицательно:

По определению | x | ≥ 0. Например, | 5 | = 5; | −1,5 | = 1,5.

Свойства абсолютных величин:

1. │х + у│ ≤ │х│+│у│,

2. │х − у│ ≥ │х│ − │у│,

3. │ху│ = │х│·│у│,

4. │х/у│ = │х│/│у│

Из определения абсолютной величины числа следует: −│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε. Можно написать: −ε < −│х│≤ х ≤│х│< ε, или –ε < х < ε, т. е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε).

Абсолютная величина разности двух чисел │х −а│означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая х < а, так и для случая х > а.

Поэтому, например, решениями неравенства│х −а│< ε (где ε > 0). будут точки открытого интервала (а – ε, а + ε), т. е. точки интервала, удовлетворяющего неравенству а – ε < х < а + ε (рис. 1.1).

Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.

Интервал (а – ε, а + ε), т. е. множество точек х таких, что │х - а│< ε

(где ε > 0), называется ε – окрестностью точки а (рис. 1.1).

Рис. 1.1.

1.3. Понятие функции одной переменной

Определение функции. Рассмотрим два множества Х и Y, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество Y).

Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – Y.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

ƒ – закон соответствия, знак функции.

Буквы для обозначения зависимой и независимой переменной можно выбирать любые, например

u =x2, y =x2, z =t2;

это одна и та же функция, один и тот же закон сопоставления.

Пусть Х и Y множества вещественных чисел.

Значения х и у могут быть любой физической природы. На данном этапе мы будем рассматривать только функции, область определения и область значений которых являются числовыми множествами.

Область определения функции будем иногда обозначать символом D, а область значений – символом E

Пример 1.2.

1) Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: D = (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

2) Найти область определения функции у= log3(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х > 1. Запишем решение в виде интервала: D = (1, ∞).

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. п.).

Полезно помнить.

Пусть рассматривается какое-либо утверждение В в связи с некоторым утверждением А. Если из В следует А, т. е. В→А, то А является необходимым условием для В. Если же из А следует В, т. е. А→В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 является необходимым условием для В (делимость на 6 →делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 является достаточным условием делимости на 6 (делимость на 12 → делимость на 6).

Таким образом, необходимые условия − те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия − те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно.

2.3. Способы задания функции

1). Табличный - наиболее простой способ задания функции; составля­ется таблица: два столбца (или две строки), в левом записываются значения аргумента, в правом - соответствующие значения функции. Например, следующая таблица (табл.1.1) означает, что

Таблица 1.1

X	у
0	0
0,1	0,2
0,5	1
1	2
2	4
3	6

Этот способ не всегда приемлем. Например, для функции

невозможно записать в таблицу все значения, которые принимает х. Но он очень важен, например, для задания функций, полученных из эксперимента.

Пример: В киоске продается мороженое. Зависимость количества проданных за день порций от цены мороженого (при прочих равных условиях) отражена в табл. 1.2:

Таблица 1.2

p	q
0,20	300
0,25	270
0,30	220
0,35	200
0,40	150
0,45	100
0,50	50
0,55	20
0,60	10

В левом столбце - цена в рублях (обозначена буквой р), в правом столбце - количество проданных порций q = f(p), т. е. зада­на функция, выражающая зависимость спроса от цены. Такие функции (они называются функции спроса от цены) имеют большое значение в экономике, и мы к ним еще будем возвращаться.

2). Графический – наиболее наглядный способ задания функции.

Графиком функции

называется множество всех точек плоскости с координатами (х, f(x)). Для предыдущего примера график функции имеет вид (рис. 1.2)

Рис. 1.2.

Для большей наглядности полученные точки графика соединены отрезка­ми прямых.

Отметим, что следующая кривая (рис. 1.3) не является графиком функ­ции, так как в промежутке от a до b нарушается требование однознач­ности из определения функции, каждому значению х из этого промежут­ка отвечают несколько значений у.

Рис. 1.3.

3). Аналитический способ задания функции - это задание функции формулой, с помощью которой по данным значениям аргумента определя­ются соответствующие значения функции; например,

Наряду с таким (как в этих примерах) явным заданием функции функциональная зависимость между переменными может быть задана уравнением

связывающим переменные х и у. Здесь зависимая переменная явно не выражена через независимую, например х3- у3+ 4 = 0. Такого типа функциональная зависимость между переменными х и у называется неявной. Более строго говоря, уравнение F(х, у) = 0 определяет у как неявную функцию от х, если каждому значению х из некоторого множества X можно однозначно сопоставить значение у так, что полу­ченная пара значений (х, у) обращает уравнение

F(x, у) = 0 в тож­дество. В одних случаях от неявного задания функции несложно перейти к явному. Например, если

х3- у3+ 4 = 0 - неявное задание функции, то у = (х3 + 4)1/3 есть явное задание этой же функции. В других случаях такой переход может быть затруднен или вообще невоз­можен. Не всякое уравнение F(x, у) = 0 определяет функцию, в част­ности из-за требования однозначности функции. Оно может определять сразу несколько функций. Например, известному из курса средней школы уравнению окружности х2 + у2 = a2 соответствуют две функции:

у = (а2 - х2)1/2 и у = -(а2 - х2)1/2 . Графиком первой из них является верхняя полуокружность, а графиком второй - нижняя (рис. 1.4).

Рис. 1.4.

4). Параметрический способ задания функции. Функциональную зависимость между переменными х и у можно задать с помощью третьей вспомогательной переменной, называемой параметром, а именно - каждая переменная задается как функция этого вспомогательного параметра:

Так быва­ет, например, при задании движения объекта на плоскости, когда каж­дая координата х, у задается как функция времени:

Тогда обе функции в совокупности определяют траекторию движения этого объекта.

Пример. Функция у = (1 - х2)1/2 может быть задана параметри­чески:

5) Способ, когда функция определяется несколькими формулами, действующими на различных участках, например:

График этой функции

Рис. 1.5.

Еще один пример.

График этой функции

Рис. 1.6.

Функция обозначается у = sign x.

Существуют функции; которые ни одним из предыдущих, способов задать нельзя. Их задают словесным описанием закона, по которому значениям одной переменной сопоставляют значения другой переменной.

Пример.

Эта функция называется функцией Дирихле. Ни графически, ни аналити­чески, ни таблично ее описать нельзя.

Иногда подобным образом задают функцию, которую нельзя задать аналитически, а затем строят ее график.

Пример: у(х) есть наибольшее целое число, меньшее или равное х. Обозначают: у = Е(х).Например, Е (6,2) = 6. График этой функции

Рис. 1.7.

Замечание. До сих пор мы говорили в основном о функции непре­рывного аргумента, т. е. о функции, аргумент которой является не­прерывной величиной. Точно так же можно говорить о функции дискрет­ного аргумента; например, если n - натуральное число, то

есть функция натурального аргумента. Ее график имеет вид:

Рис. 1.8.

2.4. Обратная функция

Если Y – множество значений функции f (x) и для любого элемента существует единственный элемент такой, что f (x) = y, то говорят, что функция осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу соответствует единственный элемент и наоборот, каждому элементу соответствует единственный элемент Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается и каждому элементу ставит в соответствие такой элемент что f (x) = y; этот факт записывают так: Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что − обратная функция, график которой получается из графика исходной функции y = f (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции: .

Пусть имеется функция у = f(x) с областью определения Х и об­ластью изменения Y. По определению функции каждому значению х из X ставится в соответствие значение у из Y. Будем рассматривать такие функции, что двум разным значениям аргумента x1 и х2 соответствуют разные значения функции, т. е. при x1 ≠ х2 справедливо f(x1) ≠ f(х2).

Тогда для каждого значения у из Y найдется такое единственное значение х из X, что f(x) = у.

Правило, сопоставляющее каждому у из Y указанное значение х, определяет функциональную зависимость

φ(у) = х. Эта функция назы­вается обратной к функции

у = f(x). Она обозначается х = f-1(y).

Областью определения обратной функции является множество значений данной функции f(x). График функции

у = f(x) является и графиком обратной функции х = f-1(y), при этом независимая и зависимая пе­ременные меняются ролями. Напомним, что функция не зависит от обозначения переменных: у = х2, u= у2, х = у2 - одна и та же функция. Также у = f-1(х) и х = f-1(y) - одна функция, обратная функции у = f(x). Так как точки (a, b) и (b, а) симметричны относи­тельно биссектрисы I - III координатных углов, то график обратной функции у = f-1(х) симметричен относительно этой биссектрисы графи­ку функции у = f(x).

Примеры.

1. Для функции у = ах обратной является функция

х = loga y или у = loga х. См. рис. 1.9.

2. Для функции у = х3 обратной является функция

у = х1/3 (рис. 1.10).

Рис. 1.9. Рис. 1.10.

Использование обратной функции позволяет перейти от параметри­ческого задания функции к явному:

пусть функция задана параметрически:

причем функция х = φ(t) имеет обратную t =φ-1(х). Подставляя в функцию у = ψ(t) выражение t =φ-1(х), получаем у = ψ(φ-1(x)) - явное задание функции.

1.5. Сложная функция

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – Y, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

2.6. Ограниченная функция

Функция называется ограниченной сверху, если найдется такое число М, что для всех х справедливо неравенство Аналогично определяется функция, ограничен­ная снизу. Например, функция ограничена снизу, для всех х. Здесь М = 0.

Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Например, функция

2.7. Основные элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся:

I. Степенная функция y = kxa, где а - действительное число; в частности:

если а = 1, k=1 то y = х - линейная функция (рис. 1.11);

если а = 1/2, k=1, то у = х1/2 (рис. 1.12).

Рис. 1.11. Рис. 1.12.

если а = -1, то у = kх-1 = k/х - гипербола; при этом:

− если k >0, то гипероола располо­жена в 1-й и 3-й четвертях (рис 1.13);

− если k < 0, гипербола располо­жена во 2-й и 4-й четвертях (рис. 1.14).

Рис. 1.13. Рис. 1.14.

2. Показательная функция y =a x, где a - положительное чис­ло, a ≠ 1 (рис. 1.15, 1.16)

Рис. 1.15. Рис. 1.16.

3. Логарифмическая функция у = log a х, a > О, a ≠ 1.

Рис. 1.17. Рис. 1.18.

4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

(графики не приводятся)

1.6. Примеры функции из экономики

1.  Функция спроса от цены Q = f(p) определяет зависимость величины Q спроса на товар от цены р этого товара (при прочих равных условиях). Рассмотрим примеры функций спроса от цены.

1). Так как р и Q должны быть неот­рицательны, то график этой функции есть находящаяся в 1-й чет­верти часть гиперболы (смещенной по оси на -2).

2). При р = 0 спрос равен 10 ед. С увеличением цены спрос падает и, начиная с р = 20, становится равным нулю. Поэтому правильнее было бы записать эту функцию спроса так:

Однако принято писать так, как указано в условии примера.

Как правило, функция спроса есть убывающая функция, то есть с возрастанием цены спрос на данный товар падает (в экономике такое явление называется законом спроса). Вместе с тем бывают случаи, когда этот закон не действует, и в последующем студенты смогут по­знакомиться с такими "неправильными" товарами.

Отметим, что функция спроса (от цены) часто обозначается Q = D(p), где D от английского Demand - спрос.

2. Функция предложения (от цены) показывает количество Q това­ра, которое производитель готов предложить рынку при данной цене р.

Пример. Q = 0,75р - 3 - функция предложения.

Пока цена меньше 4, производителю невыгодно поставлять данный товар, предложение равно нулю. Опять же можно отметить, что более аккуратной с математической точки зрения была бы такая запись:

Известны и другие функции, применяемые для описания экономических законов.

2. Предел числовой последовательности

2.1. Понятие числовой последовательности и функции натурального аргумента

Определение 2.1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x1, x2, x3, ... }.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение {xn}.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c×{xn} – это последовательность с элементами {c×xn}, то есть

c×{x1, x2, x3, ... }={c×x1, c×x2, c×x3, ... }.

2. Сложение и вычитание последовательностей.

{xn}±{yn}={xn±yn},

или, более подробно,

{x1, x2, x3, ... }±{y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Умножение последовательностей.

{xn}×{yn}={xn×yn}.

4. Деление последовательностей.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹ 0.

Определение 2.2. Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если .

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если .Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

2.2. Предел последовательности. Бесконечно большая последовательность

Определение 2.3. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности, если

.

Для этого факта используют следующие обозначения:

или .

Подчеркнем, что N зависит от e.

Варианты определения.

Говорят, что , если .

Говорят, что , если .

Определение 2.4. Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

2.3.  Бесконечно малая последовательность.

Определение 2.5. Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если , то есть если .

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/xn}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn} – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn} есть бесконечно большая последовательность.

2.4.  Сходящиеся последовательности.

Определение 2.6. Если существует конечный предел , то последовательность {xn} называется сходящейся.

Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.

1. Сходящаяся последовательность ограничена.

2. .

3. .

4. .

5. Если , то .

2.5.  Предельный переход в неравенствах.

Теорема 2.1. Если, начиная с некоторого N, все xn ³ b, то .

Следствие. Если, начиная с некоторого N, все xn ³ yn, то .

Замечание. Заметьте, что если, начиная с некоторого N, все xn > b, то , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.

Теорема 2.2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N, выполнены следующие свойства

1. ;

2. ,

то существует .

2.6. Предел монотонной последовательности.

Определение 2.7. Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ³ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn.

Оба этих случая объединяют символом xn­.

Определение 2.8. Последовательность {xn} называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 £ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn.

Оба этих случая объединяют символом xn¯.

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).

2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ ( -¥ ).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

2.8. Подпоследовательности

Пусть имеется некоторая последовательность {xn}={x1, x2, x3, ... }. Рассмотрим последовательность n1, n2, n3, ... , где

а) все ni - целые положительные числа;

б) ni­+¥

и рассмотрим последовательность . Она называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

Теорема 2.3. Если последовательность {xn} сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано - Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов – Признак сходимости Больцано-Коши.

Для того, чтобы у последовательности {xn} существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

.

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.

3. Предел функции

В предыдущем разделе мы уже изучали предел функции, но там ситуация была довольно специфической: речь шла о последовательности, т. е. о функции дискретного аргумента. С другой стороны, очень многие функции математически моделируют изменение той или иной величины в зависимости от непрерывно меняющейся величины.

Поэтому теперь мы будем изучать функции вида

y= f(x): X→R

где X ⊂ R есть интервал или совокупность нескольких непересекающихся интервалов числовой оси, т. е. множество, в котором независимая переменная

имеет возможность изменяться непрерывным образом.

3.1. Основные понятия

Пусть функция y= f(x) определена в некоторой выколотой окрестности точки x0.

Определение предела функции. Число а называется пределом функции f (x) при х, стремящемся к x0 , если разность между f (x) и а, с приближением х к x0 , становится как угодно малой (см. рис. 1).

Точнее – если для любого заданного числа ε > 0 найдется число δ (ε) такое, что при |x − x0| < δ (ε ) выполняется соотношение | f (x) − a | < ε .

Сокращенно:

∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 :{x−x0 <δ(ε)}⇒{f (x)−a <ε}

Говоря геометрически, график функции, имеющей предел в точке x0 , вплотную приближается к точке ( x0 , а), когда х вплотную приближается к x0, неважно с какой стороны.

Рис. 3.1. К определению предела функции в точке.

Если данное определение выполняется, то пишут

Пример 3.1. Доказать, что , найти δ(ε)

Для этого надо решить неравенство

относительно переменной х. Упрощая выражение под знаком модуля, получаем . Разлагая на множители квадратный трехчлен в числителе, имеем

Следовательно, можно положить .

Существует другое определение предела функции в точке, эквивалентное предыдущему. Оно звучит так:

Если для любой последовательности xn точек из области определения функции f (x), такой что xn ≠ x0 и xn →x0 при п → ∞, соответствующая после

довательность f(xn) значений функции имеет один и тот же предел а, то

говорят, что f (x) имеет предел а при x→x0 .

Мы не будем приводить доказательство эквивалентности двух данных

определений. Заметим, что первое из них называется определением "на языке ε – δ ", второе – определением "на языке последовательностей". На практике

иногда удобнее пользоваться одним определением, иногда – другим.

Конечный и бесконечный предел

В том случае, если последовательность {f(xn)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

f(x) = ¥ ( f(x) = - ¥).

Переменная величина (т. е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Односторонние пределы.

Определение. Число b есть предел слева (справа) функции f(x) при x стремящимся к a, если

().

Обозначение ().

Теорема. Если ,то существует . Верно и обратное утверждение.

3.2. Теоремы о пределах функции одной переменной

Теорема о единственности одного предела в данной точке.

Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Если

f(x)→a при x→x0 , то f (x) ограничена при x→x0.

Теорема (Признак Больцано-Коши существования предела функции). Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный , необходимо и достаточно, чтобы

.

Эта теорема является одной из важнейших теорем теории пределов.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами:

,

,

,

, если

Кроме того справедливы теоремы, аналогичные теоремам о двух милиционерах и теореме о переходе к пределу в неравенствах, которые рассматривались в разделе числовых последовательностей.

Предел монотонной функции.

Функция f(x) называется:

- монотонно возрастающей, если из x 1> x2 следует f(x1)³ f(x2);

- строго монотонно возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)> f(x2).

Оба эти случая объединяют символом f(x)­.

Функция f(x) называется:

- монотонно убывающей, если из x1>x2 следует f(x1)£ f(x2);

- строго монотонно возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)< f(x2).

Оба эти случая объединяют символом f(x)¯.

Теорема.

Если f(x)­ при x<a и ограничена сверху то существует конечный предел .

Если f(x)­ при x<a но сверху не ограничена, то .

Аналогичные формулировки имеют место и для монотонно убывающей функции.

3.3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при x®a, если .

Пусть a(x) и b(x) – две бесконечно малые при x®a. Тогда

1. Если существует и , ¸ то говорят, что a(x) и b(x) – бесконечно малые одного порядка.

Обозначение: a=O(b) или b=O(a).

2. Если (или, что то же самое, ), то говорят, что a(x) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b(x).

Обозначение a=o(b).

3. Если не существует, то говорят, что a(x) и b(x) несравнимы.

Имеется стандартная бесконечно малая величина b(x)=x – a. Тогда, если существует , то говорят, что a(x) является бесконечно малой k-го порядка, и обозначают это так

.

Слагаемое называется главной частью a(x).

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при x®a, если .

Пусть A(x) и B(x) – две бесконечно большие при x®a. Тогда

1. Если существует и , ¸ то говорят, что A(x) и B(x) – бесконечно большие одного порядка.

2. Если (или, что то же самое, ), то говорят, что A(x) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B(x).

3. Если не существует, то говорят, что A(x) и B(x) несравнимы.

Имеется стандартная бесконечно большая величина . Тогда, если существует и , ¸ то говорят, что A(x) есть бесконечно большая k-го порядка и записывают это следующим образом:

.

3.5. Виды неопределенностей

Выделяют неопределенности двух типов:

Арифметические неопределенности (0/0); (∞/∞); (∞ – ∞); (0 · ∞).

Степенно-показательные неопределенности (1∞); (∞0); (00).

В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.

Примеры.

х→ -2

1. Найти lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)].

Решение:

х→ -2

1) Подставим точку х = - 2 в нашу функцию, получим lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).

х→ -2

2) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда

lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]= lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3.

х→ ∞

Пример 2. lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]

Решение:

х→ ∞

lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = (∞/∞).

Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из

знаменателя х в старшей степени, т. е. х2, получим:

lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = lim [(х2 *

(1 – 4/х2) / (x2(1+1/x – 2/x2)] = 1/1=1, т. к.

lim 4/х2 = 4 / ∞= 0, lim 1/х =

1/∞= 0 и lim 2/х2 = 2/∞

Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.

3.6. Первый и второй замечательный пределы

х→ 0

Первый замечательный предел .lim sinx/х = 1, он раскрывает неопределенность (0/0).

х→ 00

Второй замечательный предел. . 0lim (1+1/х)х = ℮, где ℮=2, 7, …

иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.

х→ 0

Пример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).

х→ 0

х→ 0

Решение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3

х→ 0

Пример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).

х→ 0

х→ 0

Решение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) * 2x)]

х→ 0

х→ 0

= 5/2 * [(lim (sin5x / 5х)) / lim (sin2x / 2х)] = 5/2

х→ 00

Пример. 5 Найти lim (1+(1/2x))x = 100.

х→ 0

Решение: lim (1+(1/2x))2x * (1/2) = ℮1/2=℮

х→ 00

Пример. 6 Найти lim (1+(1/(x-1))x = 100.

х→ 00

х→ 00

Решение: lim [1+(1/(x-1))]x -1+1 = lim [(1+(1/(x-1)))x -1 * (1+(1/(x-1)))1] = ℮*1 = ℮