Восемь способов построения касательной к окружности

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Гимназия № 000

Проектная работа по геометрии.

Восемь способов построения касательной к окружности.

Автор работы:

9 биолого-химический класс

Научный руководитель: ,

заместитель директора по учебной работе,

преподаватель математики.

Москва 2012

Оглавление

Вступление

Глава 1. ………………………………………………………………4

Глава 2

Глава 3

Вывод (заключение)

Вступление

Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник. Он так же

неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только познаете душу

геометрии, но и возвысите душу свою.

Клавдий Птолемей
Задача.

Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности

Глава 1.

Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.

Построение №1.

Построение:

1.  Проведу отрезок ОА

2.  Найду К – середину ОА

3.  Построю окружность (К; КА).

4.  Отмечу точки пересечения окружности (О; r) и окружности (К; КА) С и В.

5.  Проведу АВ и ОВ.

Доказательство.

Треугольник ОВА – прямоугольный, так как он вписан в окружность, и гипотенуза совпадает с диаметром окружности (К; КА). Следовательно, АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

Аналогично, АС – касательная к окружности.

Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.

Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.

Построение №2.

Построение:

1. Построю окружность (А; АО)

2. Построю окружность (О; 2R)

3. Построенные окружности пересекаются в точках М и N.

4. Отрезки ОМ и ОN пересекают данную окружность (О;R) в точках С и В.

5. АВ и АС – искомые касательные.

Доказательство:

1.  Проведу АО – радиус окружности (А;АО)

АМ и AN также радиусы окружности (А;АО), следовательно

АО = АМ = AN

2.  ОВ = ВМ = ОС = CN = 0,5OM= 0,5ON, так как ОМ – радиус окружности (O;2R), а ОС – радиус окружности (О;R)

3.  Рассмотрим треугольник ОАМ. В нем АМ=ОА, тогда Δ ОАМ равнобедренный по определению. ОВ= ВМ, следовательно, АВ – медиана и высота ΔОАМ, по свойству равнобедренного треугольника.

4.  Так как в ΔОАМ АВ – высота, следовательно, АВО = 90°

5.  ОВ – радиус, АВО = 90°, следовательно, АВ – касательная по признаку.

6.  Аналогично в равнобедренном треугольнике AON АС – касательная (АСО = 90°, ОС – радиус)

7.  Итак, АВ и АС – касательные

Построение № 3

Построение:

1.  Построю концентрические окружности (О; r) и (O; OA)

2.  Проведу ОА; ОА пересекает окружность (О; r) в точке Р.

3.  Проведу перпендикуляр МN к радиусу ОА в точке Р.

4.  MN пересекает окружность(О; ОА) в точках М и N.

5.  Проведу ОМ и ОN. Эти отрезки пересекают окружность (О; r) в точках В и С соответственно.

6.  АВ и АС– искомые касательные.

Доказательство:

1. ОМ =ОА т. к. радиусы

2. В треугольниках ОМР и ОВА:

угол О – общий

ОР = ОВ как радиусы, ОМ = ОА как радиусы, следовательно, ΔОМР = ΔОВА по двум сторонам и углу между ними.

3. Следовательно ОРМ =ОВА= 90° ( как соответствующие углы в равных треугольниках), следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

4. Аналогично, АС – касательная

Построение №4

Построение:

1.  Построю окружность (О, 2r).

2.  Построю произвольную касательную к окружности (О; r), пересекающую окружность (О, 2r) в точках M и N.

3.  Рассмотрим поворот относительно точки О на угол АОМ, равный α.

4.  Точку М надо повернуть на угол α, следовательно она перейдет точку А

Точку М надо повернуть на (180 - α) следовательно, точка М перейдет в точку К.

Тогда, так как угол α остается тем же, AD и АК – касательные по признаку

Глава 2.

Построения касательной к окружности одной линейкой, одним циркулем.

Построение № 6.

Построение:

1.  Прямая ОА пересекает окружность (О, r) в точках Р и Q.

2.  Проведу через точку А произвольную прямую, пересекающую окружность(О, r) в точках М и N.

3.  Прямая PN пересекает прямую QM в точке L.

4.  Прямая PM пересекает прямую QN в точке K.

5.  Прямая KL пересекает окружность в точках B и С.

6.  АВ и ВС – искомые касательные.

Доказательство:

1.  Т. к. треугольники PQN и PQM вписаны в окружность и сторона PQ является диаметром окружности, то эти треугольники прямоугольные.

2.  В треугольнике PQL отрезки PM и QN – высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL – третья высота. Тогда KL PQ.

3.  Пусть DPK=α, DQK=β. Тогда ctg α : ctg β= |PD|:|DQ| (1).

Построю перпендикуляр к прямой АР в точке А, пересекающий прямую РМ в точке S. Тогда |PA|=|AS|ctg α и |AQ|=|AS|ctg AQS.

4.  Так как AQS =AMS = 180° - PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α : ctg β (2).

5.  Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или

(|OD| + R)( |OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).

После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².

5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны. Поскольку ODB= 90°, то OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.

Построение № 6.

Построение:

1.  Прострою окружность (A; |OA|).

2.  Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.

3.  Строю окружность (О; ST), пересекающую w1Что это за окружность? в точках М и N.

4.  Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.

5.  Далее строю окружность (U; UM), пересекающую (М; МО) в точках К и L.

6.  Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.

Доказательство:

Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.

Глава 3.

Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.

Построение № 7

Построение:

1. Построю прямую ОА, она пересечен данную окружность в точках Р и Q.

2. Построю на отрезке АQ как на диаметре окружность.

3. Пересеку построенную окружность касательной l, проведенной через точку Р к окружности (О; r), и получу точки М и N.

4. Проведу МО и NО, они пересекут окружность (О; r) в точках В и С соответственно.

5. АВ и АС - искомые касательные.

Доказательство:

По свойству секущей АМ²=АР·АQ. Поэтому окружность (А;АМ) пересечет окружность (О;R) в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС.

Построение № 8

Построение:

1.  Построю окружность (А;АР), пресекающую прямую АР в точке D.

2.  Построю окружность w на диаметре QD

3.  Пересеку ее перпендикуляром к прямой АР в точке А и получу точки М и N.

Доказательство:

Очевидно, что АМ²=АN²=АD·AQ=AP·AQ. Тогда окружность (А;АМ) пересекает (О;R) в точках касания В и С. АВ и АС - искомые касательные.