Тема 2. Динамика поступательного и вращательного движений.
1) Законы Ньютона. Силы в природе.
2) Основные характеристики динамики вращательного движения.
3) Работа и мощность. Механическая энергия.
4) Законы сохранения механики.
1.
Кинематика рассматривает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение и его изменение.
В основе динамики, которая изучает причины изменения движения, лежат законы Ньютона. Эти законы относятся к фундаментальным законам природы и доказать их справедливость или опровергнуть можно только опытом.
Второй закон Ньютона – основной закон динамики.
Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.
В динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила 
, а также способы их измерения. Масса тела m является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – силаявляется количественной мерой действия одного тела на другое.
Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:
1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам
2. Если силами разной величины подействовать на одно то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам.
Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики: Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:
(1)
Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :
|
(2)В международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н).
Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:
Если равнодействующая сила равна нулю, то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Второй закон Ньютона также можно записать в виде:
(3).
Импульсом (количеством движения) называется векторная физическая величина, численно равная произведению массы тела на его скорость.
(4).
Основной единицей импульса тела в СИ является кг · м/с.
Тогда второй закон Ньютона окончательно примет вид :
(5)
Таким образом, скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.
Силы в природе.
1) Сила всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела.
Закон всемирного тяготения был сформулирован Ньютоном – сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел, т. е.
(6)
где 
- гравитационная постоянная, численно равная силе взаимодействия двух тел единичной массы, находящихся на единичном расстоянии друг от друга.
Сила всемирного тяготения является центральной силой, т. е. направленной вдоль прямой соединяющей центры тел.
Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения 
. Это означает, что на всякое тело массы m действует сила 
, называемая силой тяжести.
Когда тело покоится относительно Земли, сила тяжести уравновешивается силой реакции опоры (или подвеса), удерживающей тело от падения. По третьему закону Ньютона, тело будет действовать на опору (или подвес) с силой 
, равной по величине 
и противоположной ей по направлению, т. е. 
.
Сила, с которой тело действует на опору или подвес, вследствие притяжения к Земле, называется весом тела.
2) Силы трения.
Силы трения появляются при перемещении двух соприкасающихся тел или частей тела относительно друг друга.
Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям, причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей.
В случае сухого трения, сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но также и при попытках вызвать такое смещение. В этом случае сила трения называется силой трения покоя.
Опыт показывает, что максимальная сила трения покоя 
равна
(7)
где N – сила нормального давления, 
- безразмерный коэффициент, зависящий от рода соприкасающихся тел и чистоты обработки поверхности и называемый коэффициентом
трения.
Следует иметь в виду, что, помимо сил трения, при движении в жидкости или газе возникают силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо больше сил трения. Характерной особенностью этих сил является их зависимость от скорости движения тела и его формы.
2.
Если на вал с диском действуют две силы 
, то простой опыт показывает, что равновесие имеет место только при условии, что 
, т. е. когда моменты сил равны по величине и противоположны по направлению.
Псевдовектор
(8)
называется моментом силы 
относительно точки О.
Модуль вектора 
определяется по формуле
(9) ,
где 
- плечо силы, т. е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.
Величину
(10)
называют моментом импульса материальной точки относительно точки.
Величину
(11)
называют моментом импульса твердого тела относительно точки.
Физическую величину
(12)
называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения, а величину
(13)
моментом инерции твердого тела.
Любое твердое тело можно разбить на элементарные массы 
, расположенные на расстоянии 
от оси вращения. Тогда момент инерции твердого тела может быть определен по формуле 
, где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.
Момент инерции тела зависит от положения оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно пользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера
(14),
где 
- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, 
- момент инерции относительно новой оси, 
- расстояние между осями, 
- масса тела.
Момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, т. е. является мерой инертности тела во вращательном движении.
Второй закон Ньютона для вращающегося тела можно записать в виде:
(15).
Так как 
, то можно найти и другую форму записи данного закона:
(16).
Это выражение получило название основного уравнения динамики вращательного движения.
3.
Энергия – универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.
С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную и т. д.
Чтобы количественно характеризовать процесс перехода энергии от одного тела к другому, в механике вводится физическая величина, называемая механической работой силы, приложенной к данному телу. Механическая работа - это мера превращения одного вида энергии в другой.
Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы 
, составляющей постоянный угол 
с направлением перемещения 
, то работа этой силы определяется по формуле
. (17)
В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивается на большое число участков длиной 
, так чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного участка – постоянной. Тогда элементарная работа
(18)
а работа переменной силы на всем пути будет равна сумме элементарных работ:
(19)
При 
А > 0, при 
А < 0, если 
,то А = 0
Для характеристики скорости совершения работы вводится физическая величина, называемая мощностью. Если за время 
совершается работа 
, то величина равная
(20)
называется средней мощностью, а величина
(21)
мгновенной мощностью.
Учитывая, что 
можно получить
(22).
Физическую величину
(23)
называют кинетической энергией тела.
Работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела.
. (24)
Кинетическая энергия вращающегося тела определяется выражением:
(25)
Элементарная работа переменной силы при вращательном движении равна:
(26)
Полная работа переменной силы равна:
(27)
Механическая мощность при вращательном движении определяется выражением :
(28)
Работа силы тяжести не зависит от формы и длины пути, а определяется начальным и конечным положением тела.
(29)
Следовательно, сила тяжести является консервативной силой, а потенциальная энергия тела поднятого над
Землей определяется по формуле
(30)
Если деформируется упругое тело, то работа идет на увеличение запаса энергии деформированного тела, которая называется потенциальной энергией упругой деформации.
Элементарная работа силы упругости 
будет равна 
, а полная работа
(31)
Отсюда следует, что потенциальная энергия упруго
деформированного тела определяется по формуле
(32).
4.
Для замкнутых систем оказываются неизменными
(сохраняются) три физических величины: импульс, момент импульса, энергия. Поэтому в механике мы рассматриваем три закона сохранения – закон сохранения импульса, закон
сохранения момента импульса, закон сохранения энергии.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса относятся к числу фундаментальных законов физики, значение которых трудно переоценить. Роль этих законов особенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы. Они действуют и в области элементарных частиц, и в области космических объектов и являются одними из тех немногих наиболее общих законов, которые лежат в основе современной физики.
Закон сохранения импульса.
Величину
(33)
называют импульсом системы тел (частиц) и тогда
. (34)
Для замкнутой системы тел равнодействующая всех внешних сил равна нулю, т. е. 
и тогда 
,
а это означает, что
. (35)
Это утверждение составляет содержание закона
сохранения импульса: импульс замкнутой системы
остается величиной постоянной.
Закон сохранения момента импульса.
Основное уравнение динамики вращательного движения 
справедливо как для материальной точки, так и для системы материальных точек (тел). Для замкнутой системы 
и тогда 
, а это означает, что
. (36)
Это утверждение выражает закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы остается величиной постоянной.
Закон сохранения энергии.
Величина
(37)
называется полной механической энергией системы и тогда
(38),
т. е.
полная механическая энергия системы изменяется на величину работы внешней силы.
Из данного уравнения следует невозможность создания вечного двигателя первого рода, т. е. двигателя который совершал бы работы больше, чем затрачено энергии.
Для замкнутой системы работа внешних сил равна нулю, и поэтому 
, а это означает, что
Это утверждение выражает закон сохранения энергии: полная механическая энергия замкнутой системы
остается величиной постоянной.
