Рабочая программа дисциплины Высшая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)

Философский факультет

Кафедра социологии

УТВЕРЖДАЮ

Декан философского

факультета ТГУ

____________

" " февраля 2011 г.

Рабочая программа дисциплины

Высшая математика

Направление подготовки

040100 Социология

Профиль подготовки

Общий

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

Очная

Томск 2011

1 Цели освоения дисциплины «Высшая математика»

Цель данного курса заключается в том, чтобы обеспечить студентам необходимую математическую подготовку для успешного усвоения специальных курсов и самостоятельного изучения дополнительной литературы по специальности.

1.2 Задачи изучения дисциплины.

В данном курсе следует изучить матричную алгебру и методы решения систем линейных уравнений, метод координат, кривые первого и второго порядка на плоскости, дифференцирование и интегрирование функций одной и многих переменных. В данном курсе изучаются следующие четыре раздела высшей математики:элементы линейной алгебры; Аналитическая геометрия на плоскости; математический анализ функции одного действительного переменного; функции многих переменных.

2 Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Курс «Высшая математика» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла Б. 2. Направленность данного курса состоит в том, чтобы обеспечить студентам необходимую математическую подготовку для успешного усвоения специальных курсов и самостоятельного изучения дополнительной литературы по направлению «Социология».

Для успешного освоения дисциплины необходимо овладение компетенциями, сформированными в результате освоения программы средней общеобразовательной школы.

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Высшая математика»

Результаты освоения ООП бакалавриата определяются приобретаемыми выпускником компетенциями, т. е. его способностью применять знания, умения и личные качества в соответствии с задачами профессиональной деятельности.

В результате освоения данной ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующей компетенцией:

– способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-11).

Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):

– способностью применять в профессиональной деятельности базовые знания по математике по основам социальной теории и методам социологического исследования (ПК-1);

– способностью приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2).

Обучающийся должен: Знать

– определения, теоремы, подходы к решению задач из основных разделов высшей математики;

– основные модели и математические методы принятия решений, методы оценивания параметров, критерии;

– проверки статистических гипотез.

Уметь

·  решать типовые математические задачи, используемые при принятии управленческих решений;

применять методы математического анализа и моделирования социальных процессов,

·  использовать средства дескриптивной статистики, основные подходы к статистическому выводу,

·  обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные;

Владеть

·  математическими, статистическими и количественными методами решения типовых социологических задач;

·  навыками научного анализа социальных проблем и процессов,

·  навыками практического использования базовых знаний и методов математики и естественных наук.

4 Структура и содержание дисциплины «Высшая математика»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единицы, 288 часов, 108 аудиторных, 2 экзамена

№ п/п	Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
Лек-ции	Прак-тика	СРС
1	Элементы линейной алгебры Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Понятие обратной матрицы. Понятие ранга матрицы. Решение систем линейных уравнений методами: Крамера, Гаусса, матричным способом. Теорема Кронекера-Капелли. Примеры экономических приложений методов линейной алгебры	1	1-4	6	8	14	Контрольная работа
2	Аналитическая геометрия на плоскости Линии первого порядка (прямая линия). Определение положения точки на плоскости. Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой в отрезках. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Общее уравнение прямой и его исследование. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств.	1	4-6	2	4	6
3	Линии второго порядка Окружность, эллипс, гипербола, парабола и их канонические уравнения. Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду. Примеры экономических приложений методов аналитической геометрии	1	5-9	4	6	10	Контрольная работа
4	Математический анализ действительной функции одного действительного аргумента Вещественные (действительные) числа и множества Основные свойства действительных чисел и их геометрическое представление. Понятие множества, операции над множествами. Принятые обозначения, логические символы. Числовые множества, грани числовых множеств. Абсолютная величина действительного числа и ее свойства	1	7-10	2	2	4
5	Понятие функции Определение функции, способы ее задания. Классификация функций. Элементарные функции и их графики. Суперпозиция функций. Общие свойства функций (однозначность, ограниченность, монотонность, периодичность, четность, симметричность). Понятие обратной функции.	1	8-11	2	2	4
6	Предел числовой последовательности Числовые последовательности и арифметические действия над ними. Ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные последовательности. Определение предела числовой последовательности, понятие сходящейся последовательности, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Основные свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах. Признак сходимости монотонных последовательностей (теорема Вейерштрасса). Число «е» как предел числовой последовательности. Примеры применения числовых последовательностей для расчетов в финансовой математике, простые и сложные проценты, понятие эффективной годовой процентной ставки	1	9-13	2	4	6
7	Предел функции Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и связи между ними. Основные теоремы о пределах функций, типы неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы	1	10-15	2	4	6
8	Непрерывные функции Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность сложной функции. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация. Основные свойства непрерывных функций	1	11-16	2	2	4	Контрольная работа ЗАЧЕТ по практике
	1 семестр	1		22	32	54	Экзамен
1	Дифференцирование Определение производной функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Правила и формулы вычисления производной функции. Производная сложной и обратной функции, логарифмическая производная, производная показательно-степенной функции. Производные высшего порядка. Понятие эластичности функции. Основные свойства эластичности и ее применение в экономическом анализе. Геометрический смысл эластичности функции. Эластичности функции в дискретном случае. Общие свойства эластичности функции и примеры ее вычисления	2	25	2	2	4
2	Дифференциал Определение дифференцируемой функции и дифференциала. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Основные свойства и таблица формул дифференциалов элементарных функций. Свойство инвариантности дифференциала первого порядка. Применение дифференциала к приближенному вычислению функций. Дифференциалы высших порядков.	2	26	2	2	4
3	Основные теоремы дифференциального исчисления Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей типа «» и «» ). Формулы Тейлора и Маклорена.	2	27-28	2	4	6
4	Исследование поведения функций с помощью производной Возрастающие и убывающие функции, признак монотонности. Максимум и минимум функции, точки локального экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции. Понятие выпуклой функции, точки перегиба функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика	2	28-29	2	2	4	Контрольная работа
5	Неопределенный интеграл Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям. Методы интегрирования различных классов функций. Интегрирование правильных рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональностей. Методы повторного интегрирования по частям. Интегрирование некоторых трансцендентных функций. Интегрирование тригонометрических функций	2	29-32	4	6	10
6	Определенный интеграл Определение определенного интеграла с использованием предела интегральной суммы. Геометрический смысл определенного интеграла. Основные свойства и методы вычисления определенного интеграла. Замена переменной интегрирования в определенном интеграле, формула интегрирования по частям. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Понятие несобственных интегралов. Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление коэффициента Джини по кривой Лоренца для оценки степени неравномерности доходов населения.	2	31-37	4	10	14	Контрольная работа
7	Функции многих переменных Определение функций многих переменных, основные понятия и обозначения. Понятие предела и непрерывности функции многих переменных. Дифференцирование функции многих переменных. Частные производные первого порядка функций многих переменных. Понятие полного дифференциала функции многих переменных. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям функции многих переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производные сложных функций многих переменных. Дифференцирование неявных функций. Экстремум функции многих переменных на примере функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных. Условный экстремум функции двух переменных. Определение параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.	2	33-40	6	6	12	Контрольная работа ЗАЧЕТ по практике
	2семестр	2		22	32	54	ЭКЗАМЕН
	Итого	1-2		44	64	108	2 экзамена

Распределение часов курса по темам и видам работ

№	Наименование темы	Всего часов	Лекции	Практика	Форма контроля
1	Линейная алгебра	14	6	8	Практическое задание
2	Аналитическая геометрия	16	6	10	Контрольная работа
3	Теория предела	24	10	14	Практическое задание
4	Дифференцирование функций	20	8	10	Контрольная работа
5	Интегрирование функций	30	8	16	Контрольная работа
6	Функции многих переменных	10	6	6	Практическое задание
	ИТОГО	108	44	64	Экзамен

5 Образовательные технологии

В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки реализация компетентностного подхода должна предусматривать широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий. При изложении материала отдается предпочтение классическому подходу и там, где это возможно, приводится геометрический и экономический смысл математических понятий (балансовые модели, сложные проценты, эластичность функции и т. п.).

6 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Основными этапами контроля самостоятельной работы студентов по изучению дисциплины являются:

1.  Выполнение практических заданий

2.  Контрольные работы

3.  Устный экзамен при наличии двух зачетов по практике

Перечень контрольных и экзаменационных вопросов

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

1. Что изучает линейная алгебра? Понятие матрицы. Основные определения.

Действия над матрицами. Определение равенства матриц. Линейные операции над матрицами (сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на действительное число).

Умножение матриц. Свойства произведения матриц.

Определение операции транспонирования матриц. Свойства операции транспонирования матриц.

Понятие определителя матрицы. Определители 1-ого, 2-ого и 3-ого порядков. Определители n – ого порядка.

Определение минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Свойства определителей.

Понятие обратной матрицы. Определение невырожденной матрицы. Правило вычисления обратной матрицы. Общие свойства обратной матрицы.

Решение систем линейных уравнений. Основные понятия, терминология и определения.

Решение систем n – линейных уравнений с n – неизвестными матричным способом.

Метод Крамера для решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.

Метод Гаусса для решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.

Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства).

Примеры экономических приложений методов линейной алгебры. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Что изучает аналитическая геометрия? Прямоугольная и полярная системы координат. Понятие уравнения линии.

Простейшие задачи аналитической геометрии. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.

Линии первого порядка. Общее уравнение линии первого порядка в прямоугольной системе координат. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой линии в отрезках.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых линий.

Координаты точки пересечения двух прямых, заданных общими уравнениями.

Расстояние от заданной точки до прямой линии, заданной общим уравнением.

Линии второго порядка. Общее уравнение линий 2 – ого порядка в прямоугольной системе координат.

Определение окружности. Каноническое уравнение окружности в прямоугольной системе координат.

Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса в прямоугольной системе координат, смысл его параметров, понятия эксцентриситета и директрисы эллипса. Формулы для вычисления фокальных радиусов текущей точки эллипса.

Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы в прямоугольной системе координат, смысл её параметров, асимптоты гиперболы, понятия эксцентриситета и директрисы гиперболы. Формулы для вычисления фокальных радиусов текущей точки гиперболы.

Общее определение кривых второго порядка, основанное на использовании понятий эксцентриситет и директриса.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат, смысл её параметра. Уравнение директрисы параболы.

Анализ общего уравнения кривых второго порядка. Приведение его к канонической форме (теорема без доказательства). Примеры.

Второй семестр: Математический анализ

1.  Понятие функции. Общие свойства функций. Понятие обратной функции.

2.  Определение числовой последовательности. Ограниченные и монотонные числовые последовательности.

3.  Определение предела последовательности. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

4.  Основные теоремы о пределах последовательностей. Предельный переход в неравенствах.

5.  Число «е».

6.  Определение предела функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.

7.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

8.  Теоремы о пределе функций.

9.  Первый и второй замечательные пределы функций.

10.  Сравнение бесконечно малых функций.

11.  Понятие непрерывной функции. Непрерывность функции в точке и на множестве.

12.  Точки разрыва функции и их классификация. Основные свойства непрерывных функций.

13.  Понятие производной функции. Определение односторонних производных.

14.  Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к функции в точке.

15.  Общие правила дифференцирования и вычисления производной функции.

16.  Связь между понятиями дифференцируемость и непрерывность функций.

17.  Вычисление производной сложной функции. Производная обратной функции. Производная неявной функции.

18.  Понятие эластичности функции. Общие свойства эластичности функции.

19.  Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Правила вычисления дифференциала функции.

20.  Производная и дифференциал высших порядков.

21.  Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

22.  Правило Лопиталя.

23.  Формулы Тейлора и Маклорена.

24.  Исследование поведения функций с помощью производной. Возрастающие и убывающие функции, признак монотонности.

25.  Точки локального экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции.

26.  Понятие выпуклой функции. Точки перегиба функции.

27.  Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций с помощью производной.

28.  Первообразная функции. Определение неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла.

29.  Методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования. Интегрирование по частям.

30.  Определение определенного интеграла, основные свойства.

31.  Интеграл с переменным верхним пределом.

32.  Формула Ньютона-Лейбница.

33.  Замена переменной интегрирования в определенном интеграле.

34.  Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

35.  Понятие несобственных интегралов.

36.  Основные понятия и определения функций многих переменных.

37.  Понятие предела и непрерывности функций многих переменных.

38.  Частные производные 1-ого и 2-ого порядков функций многих переменных.

39.  Понятие полного дифференциала функции многих переменных.

40.  Экстремум функций многих переменных на примере функций двух переменных.

41.  Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных.

42.  Определение параметров эмпирических зависимостей методом наименьших квадратов.

Контрольные задачи и примеры приведены в задачниках и методических разработках

7 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература

1. Шипачев математика. М.: Высшая школа, 2006.

2. Высшая математика для экономистов / под ред. . М. Изд-во «ЮНИТИ» 2009.

3. Кочегурова для экономистов. Часть вторая. Изд-во «НТЛ» Томск, 1997.

4. Берман задач по курсу математического анализа. М.: Высшая школа, 2008.

б) дополнительная литература

5. Пискунов и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985.

6. Кочегурова занятия по элементам линейной алгебры. Томск: МГК ТГУ, 1997.

7. Кочегурова занятия по аналитической геометрии на плоскости. МГК ТГУ, Томск, 1997.

8. и др. Математические методы в экономике. М.: Изд-во «ДИС» 1998.

9. , Рысюк анализ. Минск. Высшая школа 1989.

10. , Демидович курс высшей математики. М.: Наука, 1985.

8 Материально-техническое обеспечение дисциплины

Кафедра социологии ТГУ располагает всем необходимым материально-техническим обеспечением для выполнения настоящей программы. Оно включает в себя:

– наличие компьютерного класса;

– наличие доступного для студента выхода в Интернет;

– наличие специально оборудованных кабинетов и аудиторий для мультимедийных презентаций.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 040100 Социология

РЕКОМЕНДОВАНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики

Председатель комиссии, профессор “___” января 2011 г.

Автор: , кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической кибернетики

Рецензент: , доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики

Программа одобрена на заседании методической комиссии философского факультета ТГУ от 01.01.2001 года, протокол