Корпоративная олимпиада по математике БГУ 2011 г., очный тур

Корпоративная олимпиада по математике БГУ 2011 г., очный тур

11 класс

1. Решить уравнение .

Решение.

. Обозначим . Тогда уравнение равносильно соотношению

. (1)

Найдем при . Следовательно, возрастает на и (1) равносильно уравнению Отсюда . Ответ:

Замечание. Производную функции не сложно найти по правилу дифференцирования сложной функции: , ,

, .

2. Двум рабочим поручено изготовить за половину смены по некоторому количеству деталей. Если бы рабочие поменялись заданиями, то первый выполнил бы задание второго за 2 часа, а второй задание первого за 8 часов. В действительности, все детали пришлось изготовить одному первому рабочему. Сколько времени он затратил? Какова длительность смены?

Решение.

Пусть есть длительность смены, есть производительности (число деталей в час) первого и второго рабочих соответственно. По условию

Умножим уравнения: . По условию первый рабочий затратил полсмены и еще 2 часа на задание второго: .

Ответ: 6, 8.

3.  Найти все значения параметра (), при каждом из которых наименьшее значение функции

на отрезке принимает наименьшее значение.

Решение: Зафиксируем и обозначим через наименьшее значение функции на отрезке . Найдем .

.

Найдем критические точки функции :

Рассмотрим все возможные случаи:

1). Если , то и . Определим знаки производной на интервале , учитывая, что и , а . На промежутке , на промежутке , а на промежутке . Таким образом, на промежутке функция возрастает, на промежутке убывает, и на снова возрастает. Так как непрерывна на всей числовой прямой, то ее наименьшее значение на отрезке есть наименьшее из значений и . Так как

,

то .

2). Если , то и . Определим знаки производной на интервале , учитывая, что и , а . На промежутке , на промежутке , а на промежутке . Таким образом, на промежутке функция убывает, на промежутке возрастает, и на снова убывает. Так как непрерывна на всей числовой прямой, то ее наименьшее значение на отрезке есть наименьшее из значений и . Так как

,

то .

3). Если , то , и есть отрезок . Так как ни одна из точек не попадает на интервал , а непрерывна на всей числовой прямой, то наименьшее значение функции на отрезке есть наименьшее из двух значений и . Так как , , то .

4). Если , то , и есть отрезок . Так как ни одна из точек не попадает на интервал , а непрерывна на всей числовой прямой, то наименьшее значение функции на отрезке есть наименьшее из двух значений и . Так как , , то .

5). Если , то , , . Отрезок есть отрезок . Так как в интервал попадает только и непрерывна на всей числовой прямой, то наименьшее значение функции на отрезке есть наименьшее из трех значений , и . Так как , , то .

Таким образом,

Найдем наименьшее значение функции на отрезке . Так как для , то достаточно найти наименьшее значение функции .

Нули производной на интервале есть корни уравнения

,

то есть и , .

Так как , то , то в интервал попадает только . На интервале , а на интервале . Следовательно, на интервале функция убывает, а на интервале возрастает. Так как непрерывна на всем отрезке , то наименьшее значение функции на отрезке равно . Такое же значение достигается в точке , принадлежащей отрезку .

Ответ: , .

4. Решить неравенство

.

Решение: Найдем область допустимых значений исходного неравенства:

То есть ОДЗ состоит из всех х, удовлетворяющих системе

Квадратное уравнение имеет корни и . Следовательно, ОДЗ исходного неравенства есть и . Решения данного неравенства лежат в его ОДЗ, поэтому находятся среди чисел и .

Пусть . Подставим это значение в исходное неравенство, получим - верно. То есть значение является решением исходного неравенства.

Аналогично, при получим - верно. То есть значение является решением исходного неравенства.

Ответ: и .

5.  Решите уравнение

Решение: Преобразуем левую часть данного уравнения:

.

Таким образом, исходное уравнение равносильно

.

ОДЗ: .

Положим , , тогда уравнение примет вид .

1.  Пусть , тогда и уравнение будет иметь вид , но .

2.  Пусть , тогда и уравнение будет иметь вид - любое число. Таким образом, .

3.  Пусть , тогда и уравнение будет иметь вид , но .

Следовательно, . Так как , то .

Ответ: .

6. Окружности пересекаются в точках . Прямая касается в точке и пересекает вторично в точке . Прямая касается в точке и пересекает вторично в точке . Найти , если .

Решение.

= в , = в . Следовательно, подобен . Пусть , тогда . Перемножим эти равенства: . Ответ: .