Школьный этап всероссийской олимпиады школьников
по математике
учебный год
Условия
У Серёжиной мамы три сына. Первого она назвала Андреем. Второго — Борисом. Как зовут её третьего сына?
Найдите такие два числа, что при умножении первого на 2 получится квадрат второго, а при умножении первого на 3 — куб второго.
Внутри тупого угла АОВ проведены лучи ОС, OD и ОЕ, причём луч OC перпендикулярен лучу OA, OD — биссектриса угла АОВ, а OE — биссектриса угла ВОС. Чему равна величина угла DOE?
Винни-Пух и Пятачок сели за стол немного подкрепиться и начали одновременно есть мёд из одного горшка, не отвлекаясь на разговоры. Если бы Вини-Пух ел со скоростью Пятачка, то процесс еды длился бы на 4 минуты дольше, а если бы, наоборот, Пятачок ел со скоростью Винни-Пуха, то сократился бы на 1 минуту. За какое время мёд был полностью съеден?
Есть 9 запечатанных коробок, в которых лежит по 1, 2, 3, …, 9 фишек соответственно (на каждой коробке написано, сколько в ней фишек). Вася и Петя играют в следующую игру: по очереди берут по одной фишке из любой коробки, распечатывая, если необходимо, коробку. Проигрывает тот, кто последним распечатает коробку. Вася ходит первым. Кто из игроков может всегда выигрывать независимо от игры противника и как он должен для этого играть?
Есть 8 карточек, на которых по два раза написаны цифры 1, 2, 3 и 4. Составьте из них восьмизначное число, у которого между единицами стоит одна цифра, между двойками — две, между тройками — три, а между четвёрками — четыре цифры.
Четыре кота — Васька, Пушок, Базилио и Леопольд — охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали вместе столько же мышей, сколько Базилио с Васькой. Васька поймал мышей больше, чем Базилио, но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок с Базилио. Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 3 мыши?
Можно ли в кружки звезды на рисунке расставить десять различных натуральных чисел так, чтобы суммы четырёх чисел вдоль каждой из пяти прямых были нечётными?
Пусть AF — медиана треугольника ABC, D — середина отрезка AF, E — точка пересечения прямой CD со стороной AB. Оказалось, что BD = BF = CF. Докажите, что AE = DE.
Имеется 50 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Масса всех гирь равна 98 г. Доказать, что все гири можно разложить на две равные по массе кучки.
1. Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в учебнике?
2. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3 при х=0 и х=1 принимает нечетные значения, то он не имеет целых корней.
3. Построить прямоугольный треугольник по высоте, опущенной из вершины прямого угла и разности острых углов.
4. Найти трехзначное число, являющееся точным квадратом n2, и такое, что произведение его цифр равно n-1.
5. Решить уравнение 
1. Через сколько минут после того, как часы показывали 9 часов, минутная стрелка догонит часовую?
2. Найти трехзначное число, удвоив которое мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от1 до этого трехзначного числа.
3. В прямоугольнике со сторонами равными b и c вписать ромб со стороной a (вершины ромба принадлежат разным сторонам прямоугольника).
4. В шахматном турнире участвовали 8 человек, сыгравших по одной партии с каждым из остальных. Все они набрали разное число очков. Занявший 2-е место набрал столько же, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой занявшие 3-е и 7-е место?
5. Решить уравнение 
11 класс
1. Упростить
2. Доказать, что в любом тридцатизначном числе, в записи которого участвуют только цифры 1,2 и 3, можно найти две тройки из подряд стоящих цифр такие, что образованные ими трехзначные числа равны.
3. Канал имеет прямоугольный поворот. Какой максимальной площади прямоугольный плот может пройти по этому каналу, если ширина канала h?
4. В шахматном турнире принимали участие учащиеся двух классов, причем учащихся одного класса было в 10 раз больше, чем учащихся другого класса. Каждый играл с каждым один раз. Оказалось что учащиеся класса с большим числом участников набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все учащиеся другого класс. Сколько очков набрали учащиеся класса с меньшим числом участников?
5. Около выпуклого четырехугольника описать квадрат (вершины четырехугольника лежат на разных сторонах квадрата).
