Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
Вычислительная математика
для направления 230400.62 «Информационные системы и технологии»
Автор программы:
, к. т.н., доцент
Одобрена на заседании кафедры Кибернетика «___»____________ 20 г
Зав. Кафедрой
Рекомендована секцией УМС «___»____________ 20 г
Председатель
Утверждена УС факультета «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 230400.62 Информационные системы и технологии, изучающих дисциплину Вычислительная математика.
Программа разработана в соответствии с:
· ФГОС ВПО по направлению подготовки 230400.62 Информационные системы и технологии.
· Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 230400.62 Информационные системы и технологии, утвержденным в 2012г.
2 Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Вычислительная математика» является получение студентами теоретических знаний в области проблем, возникающих при реализации алгоритмов вычислений, а также получение практических навыков выполнения работ на ЭВМ с использованием пакета математических программ Mathematica.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать
· теоретические основы построения методов численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений;
· теоретические основы методов решения систем линейных и нелинейных уравнений;
· теоретические основы построения алгоритмов интерполяции;
· основные части пакета программ Mathematica.
Уметь
· грамотно использовать методы численного решения уравнений;
· грамотно использовать алгоритмы численного решения систем уравнений;
· грамотно использовать алгоритмы интерполяции;
· создавать вычислительные алгоритмы в указанных областях в соответствии с техническим заданием;
· составлять инструкции по эксплуатации математического обеспечения и программы испытаний.
Иметь навыки (приобрести опыт)
· разработки численных алгоритмов;
· отладки алгоритмов с использованием средств пакета Mathematica.
.
Дисциплина «Вычислительная математика» способствует формированию у студентов следующих компетенций:
Компетенция | Код по ФГОС/ НИУ | Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) | Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции |
Способен к самостоятельному обучению в новой области знаний | ОК-2 | Демонстрирует способность самостоятельного поиска, анализа информации по темам, выносимым на самостоятельное изучение | Самостоятельная работа студента |
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина входит в базовую часть общенаучного цикла образовательной программы подготовки по направлению 230400.62 Информационные системы и технологии.
Для наиболее целостного и результативного изучения курса студентам необходимы знания, полученные в рамках ранее пройденных дисциплин:
· математическая логика и теория алгоритмов;
· информатика;
· алгоритмические языки и программирование;
· математический анализ;
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении курсов программирования и математики.
5 Тематический план учебной дисциплины
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Введение в дисциплину | 2 | 1 | 1 | ||
2 | Причины возникновения вычислительных погрешностей | 3 | 1 | 1 | 1 | |
3 | Пакет прикладных программ Mathematica | 12 | 4 | 4 | 4 | |
4 | Численное решение уравнений | 5 | 1 | 2 | 2 | |
5 | Вычисление значений функций | 2 | 1 | 1 | ||
6 | Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – точные методы | 8 | 2 | 2 | 4 | |
7 | Итерационные методы решения СЛАУ | 5 | 1 | 2 | 2 | |
8 | Метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений | 2 | 1 | 1 | ||
9 | Интерполяция с использованием глобального многочлена. | 12 | 4 | 4 | 4 | |
10 | Сплайновая интерполяция | 5 | 1 | 2 | 2 | |
Итого | 56 | 17 | 17 | 22 |
6 Формы контроля знаний студентов
Текущий контроль
В течение семестра студенты выполняют три домашних задания и контрольную работу
Срок выполнения домашнего задания – 3 недели. Максимальная оценка 5 баллов. За каждую неделю опоздания оценка снижается на 1 балл. Сдача домашнего задания проходит в компьютерном классе: студент демонстрирует на экране компьютера работу созданной программы, возможно, корректирует программу и отвечает на вопросы.
Контрольная работа проводится письменно и состоит в решении задач. Максимальная оценка за работу 10 баллов.
Итоговый контроль
Итоговый контроль состоит в подсчете итогового количества накопленных баллов и в проведении экзамена.
Итоговое количество накопленных баллов вычисляется по формуле:
(сумма баллов за домашние задания и контрольную работу)
Таким образом, максимальная итоговая накопленная сумма баллов равна 10.
Если итоговая сумма выше 7 баллов, преподаватель вправе освободить от сдачи экзамена, с выставлением им в зачетную ведомость соответствующего числа баллов (8, 9, 10 баллов). Студент может отказаться и сдавать экзамен. На экзамене с учетом накопленных баллов студент может получить максимум 10 баллов.
7 Содержание дисциплины
Тема 1. Вводная
Предмет и задачи дисциплины "Вычислительная математика". Причины возникновения вычислительных погрешностей. Требования к вычислительным алгоритмам.
(1 час лекций)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (1 час)
Литература: 1 - 4, 7.
Тема 2. Причины возникновения вычислительных погрешностей
Представление чисел в системе с плавающей запятой. Параметры, определяющие систему. Абсолютная и относительная погрешности вычислений. Машинный эпсилон. Примеры неустойчивых алгоритмов. Примеры некорректных задач
(1 час лекций, 1 час практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции ( 1 час)
Литература: 7, 10.
Тема 3. Пакет математических программ Mathematica
Основные части пакета: интерфейс и ядро. Точные и приближенные вычисления. Аналитические преобразования. Операции с ячейками. Глобальный характер данных в течение сеанса работы в пакете Математика. Наиболее часто употребляемые операции и функции. Генераторы случайных чисел. Циклические операции. Логические операторы. Функции пользователя. Шаблоны для описания типов аргументов. Операции немедленного и задержанного присваивания. Простейшие программы. Конструкция Module. Операции со списками. Матричные функции. Графические возможности. Анимация. Аналитические операции. Решение алгебраических и трансцендентных систем уравнений. Решение начальной и краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Преобразование выражений. Операции повторного применения преобразований. Анонимные функции. Функция Outer.
(4 часа лекций, 4 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекций, подготовка к выполнению домашних заданий 4 часа)
Литература: 5, 6.
Тема 4. Численное решение уравнений
Методы отделения корней уравнений. Использование правила Декарта для отделения корней алгебраического уравнения. Оценка погрешности приближенного значения корня. Метод пропорциональных частей (метод хорд) для решения уравнений. Метод Ньютона (метод касательных) для решения уравнений. Теорема о сходимости метода Ньютона. Оценка погрешности приближенного значения корня уравнения, полученного с помощью метода Ньютона. Модернизированный метод Ньютона. Комбинированный метод решения уравнений (метод касательных – хорд). Метод итераций для решения уравнений. Теорема о сходимости метода итераций для решения уравнений. Условие монотонной и немонотонной сходимости. Оценка погрешности приближенного значения корня уравнения, полученного с помощью метода итераций. Методы выбора функций, удовлетворяющих условию сходимости процесса итераций для решения уравнений.
(1 час лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции, выполнение домашнего задания (2 часа)
Литература: 1, 3, 7, 10.
Тема 5. Вычисление значений функций
.
Схема Горнера для вычисления значений полинома. Примеры вычисления значений аналитических функций с помощью степенных рядов. Оценка погрешности. Вычисление значения корней с помощью метода итераций.
(1 час лекций)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (1 час)
Литература: 7, 10.
Тема 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – точные методы
Условия существования единственного решения СЛАУ. Метод Гаусса для решения СЛАУ. Оценка количества умножений и делений, необходимых при решении системы из n уравнений методом Гаусса. Схема решения с частичным выбором ведущего элемента. Схема Жордана (схема без обратного хода). Вычисление определителей и обратной матрицы с использованием метода Гаусса. Описание преобразований, осуществляемых при решении СЛАУ методом Гаусса, с помощью произведения матриц. LDU-разложение.
Невязка и погрешность решения СЛАУ с помощью метода Гаусса. Число обусловленности матрицы. Зависимость относительной погрешности решения СЛАУ от погрешностей представления коэффициентов системы.
Метод прогонки для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.
(2 часа лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции, выполнение домашнего задания (4 часа)
Литература: 6, 7.
Тема 7. Итерационные методы решения СЛАУ
Метод простых итераций. Условия сходимости метода. Оценка погрешности решения. Приведение системы к виду, при котором реализуется сходящийся итерационный процесс. Метод Зейделя. Нормальные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о приведении произвольной системы линейных алгебраических уравнений к нормальной.
(1 час лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции, выполнение домашнего задания (2 часа)
Литература: 4, 7, 10.
Тема 8. Метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений
Метод Ньютона для решения системы из двух нелинейных уравнений. Обобщение на систему с произвольным числом уравнений
(1 час лекций)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (1 час)
Литература: 7.
Тема 9. Интерполяция с использованием глобальных многочленов
Постановка задачи интерполяции. Система уравнений для нахождения коэффициентов интерполирующей суммы. Интерполяция функций алгебраическими полиномами. Система уравнений для нахождения коэффициентов полиномов. Определитель Вандермонда. Существование и единственность интерполяционного полинома. Интерполяционный многочлен Лагранжа в разной записи. Априорная оценка остаточного члена интерполяционного полинома.
Разделенные разности. Рекуррентное определение. Общая формула для разделенной разности n-го порядка. Формула для оценки погрешности интерполирования с использованием разделенной разности. Оценка производной с помощью разделенной разности. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона с использованием разделенных разностей.
Конечные разности. Общая формула для конечной разности n-го порядка. Доказательство формулы, связывающей конечные и разделенные разности. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона с использованием конечных разностей.
Характер изменения погрешности интерполяции в пределах отрезка интерполирования. Расположение узлов интерполяции, позволяющее снизить погрешности при наличии равномерной и неравномерной сеток. Общая и рекуррентная формулы для многочлена n-го порядка, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [–1,1]. Расположение нулей и экстремумов многочлена Чебышева. Величина максимального отклонения от нуля. Расположение нулей многочлена, наименее отклоняющегося от нуля на произвольном отрезке [a,b]. Постановка вопроса о сходимости интерполяционного процесса. Теорема Фабера. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
(4 часа лекций, 4 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции, выполнение домашнего задания (4 часа)
Литература: 1, 7, 9.
Тема 10. Сплайновая интерполяция
Постановка задачи сплайновой интерполяции. Вид сплайновой функции с использованием безразмерного аргумента w = (x–xi)/h. Производные сплайновой функции. Вывод условия сшивания сплайнов во внутренних узлах отрезка интерполирования. Варианты выбора условий для сплайнов на концах отрезка интерполирования. Решение системы уравнений для коэффициентов естественного сплайна методом прогонки.
(1 час лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции, выполнение домашнего задания (2 часа)
Литература: 7, 8, 9.
:
8 Образовательные технологии
Занятия проходят в компьютерном классе, оборудованном проектором или программой Teacher.
Занятия проходят в форме лекций и практических занятий. На практических занятиях преподаватель демонстрирует методы решения задач и составления компьютерных программ. Затем студенты выполняют задание самостоятельно и проводится разбор выполнения заданий. Проводится также разбор выполнении домашних заданий.
Для достижения хороших результатов при изучении дисциплины студентам необходимо самостоятельно дома выполнять задания, выданные преподавателем, а также разбирать материалы лекций или соответствующие темы в рекомендованных учебниках. Отдельные темы предлагаются студентам для самостоятельного изучения. На занятиях студенты выступают с сообщениями по темам, заданным для самостоятельного изучения.
9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Темы контрольных работ
1. Приближенное решение алгебраических уравнений. Оценка погрешности приближенного решения.
Решение систем линейных алгебраических уравнений точными и приближенными методами. Разложение матриц. Обусловленность матриц. Вычисление разделенных разностей. Построение интерполяционных многочленов.Темы домашних заданий
1. Составление в среде пакета Mathematica собственных программ для решения алгебраических уравнений разными методами. Сравнение с результатами, получаемыми с помощью встроенных программ пакета Mathematica. Построение графиков
2. Составление в среде пакета Mathematica. собственных программ для решения СЛАУ итерационными методами, вычисления определителей, нахождения обратных матриц, вычисления числа обусловленности. Сравнение с результатами, получаемыми с помощью встроенных программ пакета Mathematica.
3. Составление в среде пакета Mathematica собственных программ для глобальной и сплайновой интерполяции. Вычисление погрешностей интерполяции. Построение графиков.
Примеры вопросов на экзамене
1. Что такое число обусловленности матрицы? Как связаны между собой оценки погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений и погрешности представления правой части системы?
2. В чем состоит итерационный метод для решения системы линейных алгебраических уравнений? Условия сходимости метода. Оценка погрешности решения. Метод Зейделя.
3. Разделенные разности. Рекуррентное определение. Свойства разделенных разностей.
4. Апостериорная оценка погрешности интерполяции. Оценка значения производной с помощью разделенной разности.
5. Метод Ньютона (метод касательных) для решения уравнений. Выбор начального приближения.
6. Составление программ в пакете Математика. Конструкция Module.
7. Функции Range и Table в пакете Математика. Преобразования списков.
8. Интерполяцонные формулы Ньютона с использованием разделенных разностей.
9. Постановка задачи сплайновой интерполяции. Вид сплайновой функции с использованием безразмерного аргумента 
. Производные сплайновой функции.
10. Функция Manipulate в пакете Математика
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. С, Жидков Н, Кобельков Г, Численные методы, Физматгиз, М – СанктПетербург, 2001.
2. М, Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения, Высшая школа, М, 2001.
3. И, В, Численные методы в примерах и задачах, М, Изд–во МАИ, 2000.
4. Г, Численные методы, Дрофа, Москва, 2004.
5. Н, Mathematica. Краткая инструкция пользователя, Электронный материал.
6. Н, Методические указания к курсовым и лабораторным работам, Электронный материал.
7. Н, Курс лекций по вычислительной математике, Электронный материал.
Дополнительная литература
8. Каханер Д, Моулер К, Нэш С, Численные методы и программное обеспечение, М, Мир, 1998.
9. Н, Численные методы, М, "Наука", 1978.
10. В, А, Вычислительная математика в примерах и задачах, М, "Наука", 1972.
Программные средства
При изучении дисциплины используются следующие программные средства:
· Пакет прикладных программ Mathematica.
Дистанционная поддержка дисциплины
Доступны электронные версии некоторых пособий (список литературы).
