Гальванические покрытия служат для защиты изделий от коррозии и обеспечения нужных свойств их поверхности. Покрытия получают электроосаждением металлов на поверхность изделий в гальванических ваннах. Существенно, чтобы нанесенное покрытие не отслаивалось от поверхности и обладало заданными физико-механическими свойствами, среди которых одним из главных является внутреннее напряжение. Высокие внутренние напряжения вызывают растрескивание слоя, отслаивание его от подложки, ухудшение защитных свойств. Разработана методика измерения внутреннего напряжения по деформации изделия.

Наша цель заключается в том, чтобы выяснить, каким образом влияют на внутренние напряжения различные факторы, от которых оно зависит, а также в том, чтобы найти такие условия осаждения, при которых внутренние напряжения окажутся минимальными или даже практически исчезнут. Таким образом, параметром оптимизации (откликом) выбрано внутреннее напряжение «у» в условных единицах. Предварительные исследования показали, что наибольший интерес представляют следующие три фактора: концентрация сахарина в растворе , плотность тока , температура раствора .

Таблица 2

Уровни и интервалы варьирования факторов

Концентрация сахарина, , г/л

Плотность тока, ,

А/дм2

Температура

раствора, , °С

Основной уровень

0,7

55

45

Интервал варьирования

0,3

25

15

Верхний уровень

1,0

80

60

Нижний уровень

0,4

30

30

Т а б лица 3

Порядок проведения, план эксперимента и результаты опытов

Номер двойного опыта

Порядок проведения двух повторных опытов

Факторы

Отклики

X0

X1

X2

X3

первый

повтор-ный

сред-ний

1

8; 13

+1

-1

-1

-1

3,40

4,10

3,75

2

3; 12

+1

-1

+1

+1

2,35

3,15

2,75

3

11; 15

+1

-1

+1

-1

-0,40

-0,60

-0,50

4

6; 14

+1

-1

-1

+1

2,70

1,80

2,25

5

2; 4

+1

+1

-1

-1

2,20

3,30

2,75

6

5; 7

+1

+1

-1

+1

0,60

0,90

0,75

7

1; 9

+1

+1

+1

-1

-0,84

-1,16

-1,00

8

10; 16

+1

+1

+1

+1

0,60

0,40

0,50

А теперь приступим к выбору модели и плана эксперимента. Прежде всего, важно уяснить, оценки каких эффектов интересуют экспериментатора. В данном случае это линейные эффекты и парные взаимодействия. Поэтому модель объекта имеет вид:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Таблица 4 Дисперсии среднего

Номер опыта

1

0,122

2

0,160

3

0,010

4

0,202

5

0,302

6

0,022

7

0,025

8

0,010

Наиболее простой план, допускающий оценку всех коэффициентов этой модели, — полный факторный эксперимент 23. Уровни факторов и их интервалы варьирования, выбраны на основе априорных сведений и представлены в табл. 2, табл. 3 содержит план и результаты опытов, а табл. 4 — оценки дисперсий средних арифметических. Для оценки ошибки воспроизводимости все опыты дублировались.

Регрессионный анализ для ортогональных двухуровневых планов

Благодаря выбору ортогонального плана и равномерному дублированию опытов (два параллельных опыта в каждой из восьми комбинаций уровней факторов) вычислительная процедура для нашего примера оказывается очень простой и сводится к следующей схеме.

1. Оценка дисперсий среднего арифметического в каждой строке плана эксперимента

где yiq — результат отдельного опыта, — среднее значение отклика по повторным опытам, п — количество параллельных опытов, q — номер параллельного опыта, q=1….n, i — номер строки матрицы плана, i = 1 ... N.

2. Проверка однородности дисперсий с помощью критерия Кохрена G.

Критерий Кохрена определяется отношением максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

С этим критерием связаны числа степеней свободы п-1 и N. Гипотеза об однородности дисперсий не отвергается, если экспериментальное значение критерия Кохрена не превысит табличного.

3. Если дисперсии однородны, то рассчитывается оценка
усредненной дисперсии воспроизводимости:

В реальных условиях гипотеза об однородности дисперсий подтверждается далеко не всегда. Тогда можно идти различными путями. Например, найти преобразование зависимой переменной, отыскать иной закон распределения случайной величины или обратиться к какому-нибудь робастному статистическому методу. Этот этап относится к выбору модели ситуации.

4. Мы уже говорили о том, что благодаря ортогональности плана вычислительная процедура сильно упрощается:

,

где xji — значение j-го фактора в i-ом опыте, и,j - номера факторов, j, u=0,1, ..., k,.

5.Проверка гипотезы об адекватности модели основана
на расчетах дисперсии адекватности и критерия Фишера (F-критерия)

, ,

где — рассчитанное по уравнению регрессии значение отклика, f — число степеней свободы, связанное с дисперсией адекватности, р — число оцениваемых коэффициентов регрессии. Рассчитанное значение F-критерия сравнивается с табличным значением, определяемым числами степеней свободы f и N (п—1). Если экспериментальная величина F-критерия не превышает табличного значения, гипотеза об адекватности модели не отвергается.

'6. Проведем проверку значимости коэффициентов регрессии. Поскольку план ортогонален, они определяются с одной и той-же дисперсией:

Далее для коэффициентов регрессии рассчитывается доверительный интервал

с некоторой доверительной вероятностью. В этом выражении t-критерий (критерий Стьюдента) имеет то же число степеней свободы, что и дисперсия воспроизводимости

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

7, Незначимые коэффициенты регрессии исключаются,
и вновь проводится проверка адекватности модели со значимыми коэффициентами.

8. Статистический анализ завершается интерпретацией модели в терминах объекта исследования.

Продолжение примера. А теперь приведем численные результаты. В. табл. 4 даны значения дисперсий среднего арифметического для каждой строки плана эксперимента. Критерий Кохрена G=0,302/0,853=0,35. Ниже помещен фрагмент таблицы критерия Кохрена для уровня значимости 0,05:

n-1

N

1

2

3

7

0,727

0,561

0,480

8

0,679

0,515

0,437

9

0,638

0,477

0,402

Табличное значение для п—1 = 1 и N=8 равно 0,679. Экспериментальная величина G-критерия меньше этого значения, в силу чего гипотеза об однородности дисперсий не отвергается*. Это позволяет рассчитать усредненную оценку дисперсии воспроизводимости . Число степеней свободы равно N(n-1)=8(2-1)=8

* Наш пример носит главным образом иллюстративный характер. На практике же делать выводы при наличии одной степени свободы рискованно.

Таблица 5 Расчетная таблица и результаты опытов

Номер опыта

Аддитивная постоянная

Матрица планирования

Векторы - столбцы взаимодействия

Экспериментальный отклик

X0

X1

X2

X3

X1X2

X1X2

X1X2

1

+ 1

- 1

-1

-1

+1

+1

+1

3,75

2

+ 1

- 1

+1

+1

-1

-1

+1

2,75

3

+ 1

- 1

+1

-1

-1

+1

-1

-0,50

4

+ 1

- 1

-1

+1

+1

-1

-1

2,25

5

+ 1

+ 1

- 1

-1

-1

-1

+1

2,75

6

+ 1

+ 1

-1

+1

-1

+1

-1

0,75

7

+ 1

+ 1

+1

-1

+1

-1

-1

- 1,00

8

+ 1

+ 1

+1

+1

+1

+1

+1 -

0,50

Для получениякоэффициентоврегрессии составляется расчетная таблица (табл. 5).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6