Методические указания по курсу ²Планирование эксперимента² для студентов заочной формы обучения (стр. 6 )

Статис­тический анализ уравнения регрессии состоит из трех этапов:

1.оценка дисперсии воспроизводимости (или оценка ошиб­ки опыта),

2.оценка значимости коэффициентов уравнения регрес­сии и

3.оценка адекватности модели.

3. Расчет ошибки опыта (дисперсии воспроизводимости).

Известно, что ошибка опыта оценивается по параллельным опытам. Перед расчетом ошибки опыта необходимо убе­диться, что рассеяние опытов в каждой точке факторного простран­ства не превышает некоторой величины. Для этого рассчитываются построчные дисперсии и проверяются их однородность. Расчет проводится по формуле:

(17)

Проверить однородность дисперсий можно по критерию Кохрена.

Его расчетное значение определяют так:

(18)

где — максимальная из рассчитанных построчных дисперсии;

— сумма всех дисперсий по N строкам матрицы планирования.

Если выполняется условие:

Gp<GT (19)

то гипотеза об однородности дисперсий принимается. GT находят но таблицам (приложение 1) для чисел степеней свободы f1 = m — 1 и f2 = N и уровня значимости q. В технических расчетах прини­мается 5%-ный уровень значимости q = 0,05.

4. Принятие решений.

Если условие (19) не выполняется, то од­ним из решений является увеличение числа параллельных опытов, т. е. еще раз или несколько раз необходимо реализовать матрицу планирования.

Если увеличение m не дает результата, то следует изменить метод контроля переменной состояния, увеличив его точность. Иногда прибегают к масштабированию переменной состояния — вводится некоторая математическая функция от у (например квад­ратный корень или логарифм).

При выполнении условия (19) построчные дисперсии усредняют по формуле:

(20)

где f0 = N (m — 1) — число степеней свободы.

Таким образом, получают ошибку опыта . Неоднородные дисперсии усреднять нельзя.

5. Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Очевидно, что один фактор больше влияет на переменную состояния, другой — меньше. Для оценки этого влияния используют проверку значимос­ти каждого коэффициента двумя равноценными способами. В обоих случаях вначале находят дисперсию коэффициентов регрессии по формуле:

(21)

т. е. дисперсии всех коэффициентов равны, поскольку зависят толь­ко от ошибки опыта и числа строк матрицы планирования N.

По первому способу оценку значимости коэффициентов определяется по формуле:

(22)

и условию

(23)

где — абсолютное значение i-гo коэффициента регрессии; — табличное значение критерия Стьюдента, которое находят по числу степеней свободы

f0 = N (m — 1) и уровню значимости q

— среднеквадратичное отклонение bi.

По второму способу для проверки значимости коэффициентов регрессии используют доверительный интервал , который, вследствие равенства для всех коэффициентов, одинаков для всех bi:

(24)

Тогда значимость оценивают, сравнивая абсолютные значения ко­эффициента и доверительного интервала:

(25)

Если выполняются условия (24) и (25), то i-й коэффициент при­знается значимым.

6. Принятие решений.

Если для какого-то коэффициента условия (78) и (80) не выполняются, то соответствующий фактор можно признать незначимым и исключить его из уравнения регрессии.

Однако надо быть осторожным и всегда помнить, что в предвари­тельном эксперименте уже отсеивались незначимые факторы, скорее всего полученная незначимость фактора является следствием неудач­но выбранного интервала варьирования: он был выбран малым. Более правильным является решение повторить эксперимент при расширенном интервале варьирования для иссле­дуемого фактора. Конечно, при этом число опытов, а значит, время эксперимента, возрастает. Иногда половину опытов сохраняют тем, что расширение интервала варьирования проводят только в одну сторону: один (верхний или нижний) уровень остается.

Если фактор остался незначимым после повторения экспери­мента и всех необходимых расчетов, то его (или их) отбрасывают и пе­реходят к оценке адекватности полученной математической модели.

7. Проверка адекватности линейного уравнения регрессии.

При­годность линейного уравнения регрессии для решения задачи поис­ка области оптимума проверяется методом, изложенным в гл. II, § 6. Сравниваются две дисперсии — одна показывает рассеяние средних опытных данных переменной состояния относительно тех значений переменной состояния , которые предсказаны по­лученным линейным уравнением регрессии. Эта дисперсия назы­вается дисперсией адекватности и рассчитывается по формуле:

(26)

где m — число параллельных опытов; N — число строк матрицы планирования; l — число членов в уравнении регрессии, остав­шихся после оценки значимости.

Вторая дисперсия — это ошибка опыта. Адекватность прове­ряют, оценивая отношение

(27)

по критерию Фишера

(28)

для степеней свободы fад = N — l, f0 = N (m — 1) и заданного уровня значимости q. Если выполняется условие (28), то линейное уравнение регрессии признается адекватным, т. е. рассеяние экспе­риментальных данных переменной состояния относительно уравне­ния регрессии того же порядка, что и рассеяние, вызванное случай­ными изменениями в объекте исследования (ошибка опыта)

Таблица 7. Формула расчета ПФЭ2n

Блоки	Формулы расчета	Обозначения
1	Или	– переменная состояния расчетная); – факторы; – коэффициенты уравнения регрессии; – число факторов; – переменная состояния (экс­периментальная); – транспонированная матри­ца X; – число опытов – построчная дисперсия; –переменная состояния (в параллельных опытах) – расчетные значения крите­рия Кохрена; – число параллельных опытов – табличное значение крите­рия Кохрена; – число степеней свободы; – уровень значимости – ошибка опыта (дисперсия воспроизводимости); – дисперсии коэффициентов; – расчетное значение крите­рия Стьюдента; – среднеквадратичные откло­нения – табличное значение крите­рия Стьюдента; – число степеней свободы; – дисперсия адекватности; – расчетное значение крите­рия Фишера – число степеней свободы
2
3
3а	Условие однородности
4
5
5а	Условие значимости коэффициентов
6
6а	Условие адекватности модели (q, f1,f2)

Рис. 4. Алгоритм расчета и анализа мате­матической модели

При расчете Fp предпо­лагается, что > . Од­нако на практике бывает, что . Тогда вывод об адекватности модели мо­жет быть сделан без про­верки условия (23).

8. Приня­тие решений.

При невыпол­нении условия (23), т. е. при неадекватной линейной модели наиболее часто при­нимают решение об умень­шении интервалов варьи­рования факторов и повто­рении эксперимента. Такое решение может при­вести к появлению незначи­мых коэффициентов. Очень эффективно включать в план эксперимента новый фактор из числа тех, кото­рые в предварительном экс­перименте отсеялись, побы­ли близки по своему эффек­ту к оставшимся факторам.

Если условие (23) вы­полняется, то адекватный линейный полином можно использовать для поиска области опти­мума объекта исследования.

Блок-схема алгоритма расчета представлена на рис 4. Все расчетные формулы сведены в табл. 7.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Процентные точки распределения

q f	99,5%	97,5%	95%	5%	2,5%	0,5%
1	0,3910-4	0,9810-3	0,3910-2	3,841	5,024	7,879
2	0,010	0,050	0,103	5,991	7,378	10,597
3	0,072	0,216	0,352	7,815	9,348	12,838
4	0,207	0,484	0,711	9,488	11,143	14,860
5	0,412	0,831	1,145	11,070	12,832	16,750
6	0,676	1,237	1,635	12,592	14,449	18,548
7	0,989	1,690	2,167	14,067	16,013	20,278
8	1,344	2,! 80	2,733	15,507	17,535	21,955
9	1,735	2,700	3,325	16,919	19,023	23,589
10	2,156	3,247	3,940	18,307	20,483	25,188
11	2,630	3,816	4,575	19,575	21,920	26,757
12	3,074	4,404	5,226	21,026	23,336	28,300
13	3,565	5,009	5,892	22,362	24,736	29,819
J4	4,075	5,629	6,571	23,685	26,119	31,319
15	4,601	6,262	7,261	24,996	27,448	32,801
16	5,142	6,908	7,962	26,296	28,845	34,267
17	5,697	7,564	8,672	27,587	30,191	35,718
18	6,256	8,231	9,390	28,869	31,526	37,156
19	6,844	8,907	10,117	30,144	32,852	38,582
20	7,434	9,591	10,851	31,410	34,170	39,997
21	8,034	10,283	11,591	32,671	35,479	41,401
22	8,643	10,982	12,338	33,924	36,781	42,796
23	9,260	11,688	13,091	35,172	38,076	44,181
24	9,886	12,401	13,848	36,145	39,364	45,558
25	10,520	13,120	14,611	37,652	40,646	46,928
26	11,160	13,844	15,379	38,885	41,923	48,290
27	11,808	14,573	16,151	40,113	43,194	49,645
28	12,461	15,308	16,928	41,337	44,461	50,993
29	13,121	16,047	17,708	42,557	45,722	52,336
30	13,787	16,791	18,493	43,773	46,979	53,672

Процентные точки распределения Стьюдента

q f	10%	5%	2%	1%	q f	10%	5%	2%	1%
1	6,31	12,71	31,82	63,66	6	1,94	2,45	3,14	3,71
2	2,92	4,30	6,96	9,92	7	1,89	2,36	3,00	3,50
3	2,35	3,18	4,54	5,84	8	1,86	2,31	2,90	3,36
4	2,13	2,78	3,75	4,60	9	1,83	2,26	2,82	3,25
5	2,02	2,57	3,36	4,03	10	1,81	2,23	2,76	3,17