Методические указания по курсу ²Планирование эксперимента² для студентов заочной формы обучения (стр. 3 )

Коэффициенты регрессии равны:

b0 = 1,406,		b2 = -0,968,		B3 = 0,156,
b12 = -0,031,		b13 = -0,281,		B23 = 1,031.

Информация, требуемая для проверки гипотезы адекват­ности, приведена в табл. 6. Например, для первого опыта =1,406-0,,+0,,031 * (-1) -0,+1,=3,593. Число степеней свободы дисперсии адекватности f=8—7=1 и сама дисперсия равна .

Критерий Фищера для проверки гипотезы адекватности модели F==0,195/0,107= 1,82. Приведем фрагмент таблицы F-критерия для уровня значимости 0,05.

f N(n-1)	1	2	3
7	5,6	4,7	4,4
8	5,3	4,5	4,1
9	5,1	4,3	3,9

Расчет дисперсии адекватности

Номер опыта					Номер опыта
1	3,750	3,593	0,157	246,49	5	2,750	2,905	-0,155	240,25
2	2,750	2,593	0,157	246,49	6	0,750	0,593	0,157	246,49
3	-0,500	-0,343	-0,157	246,49	7	-1,000	-1 ,155	0,155	240,25
4	2,250	2,405	-0,155	240,25	8	0,500	0,657	-0,157	246,49

Расчет дисперсии адекватности для модели со значимыми
коэффициентами регрессии

Номер опыта					Номер опыта
1	3,750	3,780	-0,030	9	5	2,750	3,030	-0,280	784
2	2,750	2,406	0,344	1183	6	0,750	0,406	0,344	1183
3	-0,500	-0,218	-0,282	795	7	-1,000	-0,968	-0,032	10
4	2,250	2,280	-0,030	9	8	0,500	0,532	-0,032	10

В нашем случае f=8—7=1, N (п—1)=8, табличное значение F-критерия равно 5,3. Экспериментальная величина F-критерия не превышает табличного значения, поэтому гипотеза об адекватности выбранной модели не отвергается.

Число степеней свободы	t-критерий
5	2,57
6	-2,45
7	2,37
8	2,31

Далее найдем значимые коэффициенты регрессии. Дисперсия коэффициентов регрессии

Из фрагмента таблицы для t-критерия (уровень значимости 0,05) следует, что в нашем случае t=2,31. Доверительный интервал

Оставляя только значимые коэффициенты регрессии,

получим x2—0,968 х2—0,281 x2х3+1,031 x2х3. Предсказанные значения зависимой переменной и данные для расчета дисперсии адекватности приведены в табл. 7.

В этом случае

f=8-5=3;

;

Табличное значение F-критерия при f=3, N (n-1)=8 равно 4,1 и гипотеза об адекватности модели не отвергается. Займемся теперь интерпретацией модели,

Как интерпретировать?

Задача интерпретации весьма сложна. Ее решают в несколько этапов.

Первый этап состоит в следующем. Устанавливается, в какой мере каждый, из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии — количественная мера этого влияния. Чем больше коэффициент, тем сильнее влияет фактор. О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Линейные коэффициенты полинома являются частными производными функции отклика по соответствующим переменным. Их геометрический смысл — тангенсы углов наклона гиперплоскости к соответствующей оси. Больший по абсолютной величине коэффициент соответствует большему углу наклона и, следовательно, более существенному изменению параметра оптимизации при изменении данного фактора.

Продолжение примера. Вернемся к нашему примеру. Сразу видно, что априорные соображения экспериментатора в значительной степени подтвердились, поскольку значимыми оказались не только линейные эффекты факторов, но и некоторые парные взаимодействия. Из трех линейных эффектов выделились два: эффект фактора х1 — концентрации сахарина и фактора х2 —плотности тока,

Судя по количественной, оценке коэффициентов, плотность тока влияет несколько сильнее концентрации сахарина. Характер их влияния одинаков. С увеличением концентрации и плотности тока внутренние напряжения уменьшаются, так как коэффициенты регрессии имеют отрицательный знак. Температура (x3) в выбранных интервалах варьированная не оказывает значимого влияния на внутреннее напряжение, поскольку линейный коэффициент b3 незначим. Но влияние этого фактора проявилось весьма сильным образом в парных взаимодействиях. Ведь эффект совместного влияния плотности тока и температуры (b23) превосходит по величине даже линейные эффекты. Смысл эффекта взаимодействия состоит в том, что влияние одного фактора зависит от того, на каком уровне находится другой фактор.

К росту отклика будет вести одновременное увеличение х2 и х3 или их одновременное уменьшение. Задача же экспериментатора состоит в уменьшении отклика. Поэтому надо либо уменьшать х3 и увеличивать х3, либо наоборот. Коэффициент взаимодействия b13 имеет отрицательный знак. Это означает, что уменьшение внутреннего напряжения связано с действием концентрации сахарина и температуры в одном направлении: либо надо одновременно увеличивать концентрацию и температуру, либо уменьшать. Этот эффект взаимодействия по величине заметно уступает всем остальным значимым эффектам.

Воспользуемся полученным ранее уравнением для отыскания оптимальных условий осаждения. Особый интерес представлял поиск условий проведения процесса при концентрации сахарина 0.61,06 г/л (x1=-0,331,2), плотности тока 6080 А/дм2 (x2=0,2l,0), температуре 5060 °C (x3=0,331,0). При этом получались качественные покрытия заданного состава. В практических целях достаточно иметь уравнения для температур 50, 55 и 60 °С, что было сделано подстановкой в уравнение регрессии кодированных значений х3 (0,33; 0,66 и 1,0). Принимая у=0, получим

0,749 x1+0,625 x2=1,406;

0,841 x1+0,286 х2= 1,406;

0,937 x1-0,063 х2=1;406.

Из последних двух уравнений следует, что даже при х2=1, х1>1,3, т. е. концентрация сахарина выходит за заданный интервал. Поэтому для определения значений факторов, обеспечивающих минимальные внутренние напряжения, необходимо пользоваться только первым уравнением. Полагая x2=1,0, согласно уравнению получим x1=1,04. Натуральные значения факторов: концентрация сахарина 1,01 г/л, плотность тока 80 А/дм2, температура электролита 50 °С. Несколько опытов, проведенных в данных условиях, подтвердили, что внутренние напряжения покрытий действительно близки к нулю.

Основной эксперимент, планы первого порядка

Задача основного эксперимента — получение матема­тической модели исследуемого объекта, которая используется для оптимизации объекта исследования или для целей аппроксимации. Для получения математической модели, используется факторный эксперимент:

Все факторы объекта исследования вирируются по определенному плану.

Рассмотрим пример построения

Матрица планирования эксперимента для двух факторов на двух уровнях

Таблица 1

Опыты	X0	Планирование	Перемен­ная состоя­ния y
X1	X2
1	+1	+1	+1	y1
2	+1	-1	+1	y2
3	+1	+1	-1	y3
4	+1	-1	-1	y4

Предположим, что объектом исследования является реактор, в котором выход продукта у за­висит от температуры х1 и давле­ния х2 в реакторе. Дополнитель­но известно, что изменение тем­пературы от 60 до 80° С и давле­ния от 1 до 1,5 атм изменяет выход продукта. Обозначим мак­симальные и минимальные значе­ния факторов х1 и х2 символами + 1 и -1. Тогда все возможные комбинации факторов при варьировании на двух уровнях (мини­мальном и максимальном) будут определены четырьмя опытами. Такой план эксперимента принято записывать в виде матрицы пла­нирования (табл. 22).