ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к разделу «Томографические изображения, восстанавливаемые из проекций с аддитивным шумом » спецкурса «Применение томографических методов в медицинской диагностике»

для студентов специальности «Прикладная математика»

Ростов-на-Дону

2008

Печатается по решению кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол N1 от 01.01.01 года.

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры теории упругости .

1 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

С формальной точки зрения случайное изображение описывается случайной функцией двух переменных . В математи­ческой статистике такая случайная функция рассматривается как некоторое двумерное случайное поле, и каждое полученное изо­бражение отождествляется с конкретной реализацией данной случайной функции (или соответственно двумерного слу­чайного поля). Полное описание любой случайной функции зада­ется функционалом плотностей вероятностей [1]. Будучи пре­дельным аналогом многомерной плотности вероятностей, данный функционал позволяет сравнить между собой величины вероят­ностей, которые соответствуют восстановлению различных изо­бражений. Оперируя таким функционалом, можно проанализи­ровать потенциальную точность измерения неизвестных парамет­ров, закодированных в изображении, построить для них опти­мальные оценки, синтезировать алгоритмы распознавания.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В то же время очевидно, что наблюдатель, зрительно оцени­вающий случайное изображение, не пользуется такой полной информацией, которая предоставляется функционалом плотнос­тей вероятностей, а ориентируется (как это следует из приведен­ных выше рассуждений) на некоторые упрощенные характерис­тики. В математической статистике [1] упрощенными характе­ристиками для случайных полей являются: среднее значение , дисперсия

, (1.1)

и корреляционная функция или соответствующий ей коэффи­циент корреляции , равные

, (1.2)

. (1.3)

В этих выражениях верхняя горизонтальная черта означает про­ведение операции усреднения.

Обсудим более подробно приведенные величины, а затем рассмотрим, как с их помощью описывается случайная структу­ра получаемого изображения. Для однородного случайного по­ля корреляционная функция зависит от разности координат и так что в этом случае

. (1.4)

Обратное преобразование Фурье от

(1.5)

представляет собой пространственный спектр случайного одно­родного поля .

Статистически однородные поля, у которых корреляционная функция зависит не от направления вектора , а только от его модуля называ­ются статистически изотропными. В этом случае, переходя в пре­образовании Фурье, обратном (1.5), к полярным координатам в обеих плоскостях и , имеем

, (1.6)

где — функция Бесселя, и

. (1.7)

Функция обладает важным свойством — с ростом вели­чины она монотонно уменьшается.

Для изотропного поля можно ввести радиус его корреляции , т. е. расстояние , на котором значительно уменьшается по сравнению с дисперсией . Часто эффективный радиус корреляции определяется как

. (1.8)

Примерами корреляционной функции однородного и изотроп­ного случайного поля могут служить гауссовская и экс­поненциальная функции:

, (1.9)

. (1.10)

У гауссовской функции корреляции , а у экспоненциа­льной .

2 КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА СЛУЧАЙНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Изучив статистическое описание случайного изображения (что равносильно изучению его статистических характеристик), можно предсказать качество конкретно получаемой реализации. Это означает, что можно заранее сформулировать требования, кото­рые должны выполняться при томографии для того, чтобы качест­во восстанавливаемого изображения удовлетворяло заданным тре­бованиям. Однако необходимо предварительно фор­мализовать понятие «качественное изображение», определить адекватную количественную оценку этого понятия или сформулировать количественные критерии качества полу­чаемого изображения.

К сожалению, в настоящее время не существует универсаль­ного качественного критерия, на который можно было бы опи­раться при решении конкретных задач. Связано это с тем, что конечная реакция наблюдателя очень сложна, часто неоднознач­на и во многом зависит от чисто субъективных причин, так что трудно, а наверное, и невозможно установить объективно пра­вильный, «общечеловеческий» и все учитывающий единый крите­рий. Поэтому при оценке качества изображения пользуются от­дельными, частными критериями, каждый из которых отражает какую-то определенную особенность формируемого изображения.

В зависимости от того, какую информацию желательно выявить из наблюдаемого изображения, используют тот или иной частный критерий. Приведем некоторые из таких критериев, но предвари­тельно сделаем одно общее замечание, связанное со случайным; характером анализируемого изображения.

Говоря о качестве полученного изображения, мы, в первую очередь, думаем о том, насколько оно похоже на истинное, т. е. на то, которое формируется идеальной оптической системой. Вся­кое случайное изображение флуктуирует относительно своего среднего изображения. Очевидно, что величина флуктуации не­велика, если получаемые случайные изображения похожи на свое среднее изображение. Cамо среднее изображение в общем случае не совпадает с истинным и, в свою очередь, может быть лишь в той или иной степени похоже на не­го. Поэтому, для того чтобы каждое получаемое случайное изо­бражение с достаточно большой вероятностью было похоже на истинное, не достаточно, чтобы оно мало отличалось от среднего, требуется еще, чтобы и среднее изображение мало отличалось от истинного. Принимая во внимание сказанное, рассмотрим четыре возможных критерия.

Отношение сигнал-шум . Обычно эту величину определяют как отношение среднего значения к стандартному отклонению, равному квадратному корню из (1.1):

. (2.1)

Чем больше величина , тем меньше возможные отклонения наблюдаемого изображения от среднего. Поэтому в том случае, когда среднее изображение мало отличается от истинного или, более точно, это отклонение существенно меньше того, которое обусловливается флуктуациями, величина хорошо описывает качество наблюдаемого изображения. Отметим, что отношение сигнал-шум в общем случае разное в разных точках изображе­ния, а также зависит от самого вида данного изображения.

Среднеквадратическое отклонение и проинтегрирован­ное среднеквадратическое отклонение . Первая величина опре­деляется равенством

, (2.2)

а вторая

(2.3)

Первая величина представляет собой нормированное среднеквадратическое отклонение восстановленной функции от ее истин­ного значения в данной точке х, у области восстановления. Вто­рая величина — это тоже среднеквадратическое отклонение, но проинтегрированное во всей области восстановления , и соответ­ствующим образом нормированное.

В отличие от первой вторая величина не зависит от точки х, у области восстановления. Так как

, (2.4)

то, вводя обозначения

(2.5)

(2.6)

(2.7) (2.8)

имеем

, (2.9)

. (2.10)

Представление величин и в виде суммы двух сла­гаемых имеет определенный физический смысл. Первое слагае­мое дает количественную оценку случайных отклонений в наблюдаемом изображении от среднего изображения в данной точке х, у. Аналогично оценивает значения тех же отклоне­ний, но накопленных по всей области . Второе слагаемое в (2.9) определяет отклонение среднего изображения от истинного в данной точке х, у. Аналогично определяет те же отклонения, но проинтегрированные по области . Таким обра­зом, если первые слагаемые в (2.9) и (2.10) определяются статистическими характеристиками присутствующих флуктуационных эффектов, то вторые — от них не зависят.

Существенно, что в критерии, использующем величину или , удается не только по отдельности проанализи­ровать влияние флуктуационных эффектов и факта отличия от на

качество изображения, но и легко сопоста­вить их между собой. С позиций данного критерия оба фактора влияют на качество изображения примерно одинаково, если оба слагаемых в (2.9) и соответственно в (2.10) примерно равны, а нарушение этого приближенного равенства в ту или иную сторо­ну говорит о преобладании того или иного фактора.

Критерии качества, использующие величины , и могут быть рассчитаны, если известен вид изображения. По­этому применение этих критериев на практике подразумевает предварительный выбор каких-то типичных изображений, для ко­торых и определяются величины , и . Именно по значениям этих величин и формируются требования к условиям формирования изображений. Помимо рассмотренных критериев, которые могут применяться к изображению любого вида, иногда формулируются критерии для каких-то вполне определенных изо­бражений, которые, хотя и не являются типичными для изучаемо­го эксперимента, но в каком-то смысле приняты за эталонные. Приведем пример такого критерия.

Разрешающая способность. Эта величина определяется для изображения, представляющего собой совокупность двух одинаковых точечных источников, и описывает то минимальное расстояние между этими источниками, на котором они уверенно различаются. На рис. 1 приведены характерные зависимости интенсивности в плоскости изображения по прямой проходящей через точки, соответствующие положения этих источников. На рис. 1, а дано распределение интенсивности в среднем изображении, а на рис. 1, б, в — две случайные реализации. Интенсивность в среднем изображении имеет два максимума в точках и , cоответствующих положению источников, а минимальное значение между ними достигается в точке А, разделяющей расстояние пополам.

Рис.1. Интенсивность в изображении двух точечных источников: а – среднее значение; б и в – две случайные реализации

Если бы изображение флуктуировало слабо, т. е. практически совпадало со своим средним, то можно было бы воспользоваться критерием Рэлея [2]. Согласно этому критерию соответствует тому расстоянию, при котором провал в точке А составляет около 19% от максимальной интенсивности. Так как изображение случайно, то получаемые реализации (рис. 1, б, в) лишь похожи на среднее изображение — флуктуируют значения интенсивности в точках расположения источников, а максимальные и минимальные значения уже могут достигаться в других точках. В таких условиях, исходя из смысла заложенно­го в понятие «разрешающая способность», следовало бы опре­делить величину через минимальное расстояние, на котором оптимальный алгоритм распознавания с большой вероятностью принимает правильное решение о наличии именно двух источни­ков.

В том случае, когда флуктуации не очень сильные, так что отдельные реализации похожи на свое среднее изображение, мож­но отказаться от сформулированного точного определения и ограничиться требованием выполнения двух условий: 1) разность должна быть положительна и по критерию Рэлея больше ; 2) дисперсия в точке А должна быть меньше (желательно в несколько раз) величины . Действи­тельно, поскольку получаемые реализации очень похожи на сред­нее изображение, можно надеяться, что у большинства из них сохранятся два максимальных значения и их расположение мало отклонится от точек А1 и А2. Тогда возникает вопрос, как, не­смотря на имеющиеся флуктуации, заметить эти максимумы. Очевидно, что для этого и должно выполняться второе условие.

Формально оба условия записываются в виде

(2.11)

(2.12)

где , и чем больше , тем с большей вероятностью будет за­метен провал.

Если разрешающая способность ограничивается только нали­чием регуляризации, то (2.11) приводит к неравенству [3]

, (2.13)

устанавливающему требование к параметру , при котором могут различаться два точечных источника, удаленных друг от друга на расстояние . Когда разрешающая способность зависит и от других причин, следует пользоваться более общим неравенством (2.11). Последнее неравенство (2.12) можно переписать как огра­ничение на отношение , которое по своему виду по­хоже на величину (2.1). Однако оно не совпадает с этой ве­личиной, так как в данном случае значения и берутся в разных точках.

3 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. СРЕДНЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ФЛУКТУАЦИЙ

Детальное исследование статистической структуры томографи­ческих изображений начнем с ситуации, в которой измеряемые проекционные данные представляют собой сумму истинных проек­ций и некоторого шума

, (3.1)

где — детерминированная функция, описывающая радоновский образ искомой функции ; — однородная слу­чайная функция, у которой

, (3.2)

. (3.3)

Наличие - корреляции по параметру отражает обычно ре­ализующуюся на практике ситуацию, при которой проекции для различных углов регистрируются независимо друг от друга. Тог­да, естественно, что шумы, сопровождающие их регистрацию, мо­жно считать статистически независимыми, что собственно и озна­чает - коррелированность.

Спектральную плотность шумовой составляющей по координа­те s обозначим , так что

. (3.4)

При рассмотрении конкретных примеров функцию Ks(s) бу­дем брать в виде (1.9)

. (3.5)

Половину интервала, в котором сосредоточены основные значе­ния функции (3.5), обозначим , а ее значения оценим по форму­ле (1.8). Тогда

, (3.6)

а спектральная плотность

, (3.7)

В этих равенствах есть дисперсия шума. При шум ста­новится некоррелированным и по параметру s. Учитывая извест­ное соотношение

при , (3.8)

видим, что для того, чтобы в данной ситуации случайная функция являлась реализацией -коррелированного случайного по­ля со спектральной плотностью , необходимо выполнение ус­ловия

. (3.9)

(3.9)

В дальнейшем будем ориентироваться на алгоритм восстановления, описываемый формулой (2.32) [4]

(3.10)

(3.11)

Задача состоит в том, чтобы для случая, когда выполняется (3.1) изучить статистические характеристики функции (3.10) и в соответствии с рекомендациями раздела 2 проанализировать их с точки зрения качества восстанавливаемого томографического изображения.

Подставляя (3.1) в (3.10) получаем

(3.12)

(3.13)

(3.14)

Функция совпадает с той функцией, которая была бы восстановлена, если бы использовались бы формулы обращения (3.10) и (3.11), но никакого бы шума не было. Так как предполагается выполнение (3.2), то . В [3] показано, что можно представить в виде

, (3.15)

где

При использовании регуляризованной формулы обращения среднее томографическое изображение всегда отличается от искомого, и это отличие оказывается тем больше, чем больше регуляризующая функция отличается от единицы.

Перейдем к вычислению дисперсии восстанавливаемой функции . Подставим (3.12) в (1.1) и получим

. (3.16)

Далее подставим (3.14) в (3.16) и после выполнения интегрирования получим [3]

(3.17)

Выражение (3.17) позволяет вычислить дисперсию флуктуаций в восстановленном изображении для любой регуляризирующей функции при известном спектре аддитивных шумов. Из (3.17) следуют три вывода: 1) дисперсия не зависит от от формы восстанавливаемого изображения; 2) значение дисперсии не зависит от конкретной точки томографического изображения; 3) чем большую роль в регуляризованном алгоритме играет функция (т. е. чем больше она подавляет высокие частоты), тем меньше дисперсия.

Пример1.

Пусть (см. (5.3) в [4]), а задается (3.7). Подставим эти выражения в (3.17) и получим

. (3.18)

При (нет регуляризации)

. (3.19)

В этом случае для некоррелированного изображения . Аналогичный расчет для регуляризированного алгоритма учитывает, что и тогда при получаем в предельном случае

(3.20)

Согласно (3.20) для - коррелированного аддитивного шума дисперсия в восстановленном томографическом изображении () равнялась бы бесконечности, а для регуляризованной формулы обращения она уменьшалается с ростом стабилизирующего параметра .

4 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ТОМОГРАФИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

Подставим в (1.2) выражение (3.12) и получим корреляционную функцию для пары точек и

(4.1)

Вычисление (4.1) подобно вычислению дисперсии для однородного и изотропного поля в п.3 дает [3]

, (4.2)

где - функция Бесселя первого рода нулевого индекса, вектор имеет компоненты . Сравнивая (4.2) с (1.6), получаем пространственный спектр флуктуаций в томографическом изображении

, (4.3)

где под следует понимать . В (4.3) первый множитель усиливает высокие частоты, второй подавляет их.

Подставляя в (1.8) выражения (4.2) и (3.17), получим радиус корреляции флуктуаций в томографическом изображении

. (4.4)

При получении (4.4) учитывалось соотношение .

Пример2

Пусть и определяются также как в примере 1. Тогда

. (4.5)

Из (4.5) следует, что радиус корреляции в изображении достигает минимального значения при отсутствии регуляризации. Тогда и, если шум -коррелирован, то -корреляция сохраняется и у флуктуаций в томографическом изображении. Наличие регуляризации нарушает эту зависимость. Положив в (4.5) , получаем

(4.6)

и, таким образом, радиус корреляции флуктуаций в изображении при -коррелированном шуме оказывается пропорционален параметру регуляризации. В общем случае при зафиксированном параметре радиус корреляции (4.5) тем больше, чем больше величина . Эта зависимость сохраняется и при других видах функций и .

В [3] показано, что при ограниченных размерах области, с которой получаются проекции и для которой осуществляется восстановление, изменяются статистические свойства шумов в восстанавливаемом изображении. Однако в точках, достаточно удаленных от границы статистические характеристики шумов практически такие же, как и для неограниченной области.

5 РАЗРЕШЕНИЕ МЕЛКИХ ДЕТАЛЕЙ В ТОМОГРАФИЧЕСКОМ ИЗОБРАЖЕНИИ

Зададимся теперь вопросом о том, какие требования должны выполняться, чтобы в этом изображении могли различаться те или иные мелкие детали. Для решения этого вопроса используем критерий разрешения Рэлея в виде неравенств (2.11), (2.12).

Предположим, что источники одинаковой интенсивности удалены друг от друга на расстояние и их координаты в плоскости равны и . Тогда восстанавливаемая функция имеет вид

. (5.1)

Подставляя (5.1) в (3.15), находим среднее значение восстанавливаемой функции

, (5.2)

где . При выборе регуляризирующей функции такой же как в примерах 1,2, получаем

, (5.3)

для которой

(5.4)

Пусть требуется так организовать томографический процесс, чтобы два данных точечных источника уверенно различались. Для этого прежде всего согласно критерию Рэлея необходимо выполнить следующее требование: значение в точке , разделяющей расстояние пополам, должно быть меньше в той точке, где находится источник. Для выполнения этого условия должно выполняться неравенство

. (5.5)

Из (5.5) следует ограничение на

. (5.6)

Теперь используем неравенство (2.12), подставляя в него (3.18), (5.4) и . Получаем неравенство, которое определяет ограничение на дисперсию шума

. (5.7)

Таким образом, чтобы две заданные точки разрешались, регуляризирующий параметр должен быть не больше , а дисперсия шума меньше : . (5.8)

Для белого шума (3.9) неравенство (5.8) принимает вид

. (5.9)

Из (5.9) следует, что максимально допустимая спектральная плотность шума должна быть меньше, чем меньше расстояние между разрешаемыми источниками и чем меньше их интенсивность .

Следует отметить, что ограничение (5.6) на параметр регуляризации приводит к ограничению на радиус корреляции, так что

. (5.10)

Это неравенство говорит о том, что точечные источники достаточно хорошо различаются только тогда, когда радиус корреляций флуктуаций в восстановленном изображении не немного меньше половины расстояния между ними.

6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Известно [3], что среднеквадратическое отклонение (2.7), (2.8) восстанавливаемой функции от истинной можно представить как сумму двух слагаемых (2.9), (2.10): одно – определяется наличием флуктуаций, а другое – использованием регуляризованного алгоритма. При этом первое слагаемое (2.7) с ростом уменьшается, а второе (2.8) – увеличивается. Следствием данной зависимости и является существование такого значения параметра регуляризации параметра , которое для выбранного изображения и при заданном уровне шумов обеспечивает минимум среднеквадратического отклонения и в этом смысле является оптимальным.

Оценим параметр в том случае, когда проекция наблюдается в аддитивном шуме. Для определенности будем предполагать, что восстановление осуществляется во всей плоскости , а при проведении вычислений, что и описываются также как и в примерах 1, 2. Выполним вычисления (2.7) и (2.8) и получим

, (6.1)

(6.2)

Рассмотрим вначале (6.2). Интеграл, входящий в (6.2) описывает ту функцию, которая была бы восстановлена при отсутствии шумов, но при использовании регуляризованного алгоритма

. (6.3)

Экспонента в (6.3) имеет максимум в точке , и при удалении от этой точки ее значения монотонно уменьшаются. Чем меньше значения параметра , тем эта функция является более острой, т. е. тем меньше та область на плоскости , где сосредоточены ее основные значения. Если данную область определить кругом, на границе которого значения экспоненциальной функции уменьшаются в раз по сравнению с ее максимальным значением, то радиус данного круга равен .

Предположим, что в окрестности точки функция на расстоянии , существенно превышающем , практически не изменяется. Это позволяет при вычислении интеграла (6.3) воспользоваться остротой экспоненциальной функции, так что

. (6.4)

Приближенное равенство (6.4) является тем более точным, чем больше по сравнению с . Таким образом, в точке , при удалении от которой на расстояние функция практически не изменяется, среднее значение реконструируемой функции восстанавливается без искажений, если . Искажения проявляются в тех точках, где последнее условие не выполняется.

Для того, чтобы восстановленная функция в среднем была достаточно похожа на истинную, характерные изменения последней не должны быть резче функции из (6.2). Это условие и отмеченные особенности, возникающие в искажений позволяют в каждой рассматриваемой точке подобрать подходящую аппроксимацию функции и провести необходимые расчеты по (6.4).

Пример 3

Рассчитаем значения в двух точках. Пусть в точке функция имеет локальный максимум. Не нарушая общности, положим . Разложим в окрестности этой точки в ряд Тейлора и ограничимся членами до вторых степеней включительно. Предположим, что

,

.

При этих условиях

. (6.5)

Подставим (6.5) в (6.3) для точки получаем

. (6.6)

Выражение (6.6) показывает, что в точке, где находится максимум , восстанавливается значение, которое в среднем меньше истинного, и это уменьшение тем больше, чем больше значение регуляризирующего параметра .

Теперь проанализируем, как изменяется значение , когда точка принадлежит границе, т. е. линии, с разных сторон которой функция принимает разные значения. Пусть в пределах области с линейным размером граница совпадает с осью и при , а при . Тогда по формуле (6.4) находим

. (6.7)

Подставляя (6.6) и (6.7) в (6.2), соответственно получаем

, (6.8)

. (6.9)

Сначала проанализируем изменение величины для точки, в которой достигает локального максимума. Дифференцируя по сумму двух слагаемых (6.1) и (6.2) при и , получаем уравнение для определения оптимального значения

(6.10)

Подставляя в (6.10) величины и из примеров 1 и 2 и вводя нормированную величину , имеем

, (6.11)

где , а

Для белого шума () и , (6.11) принимает вид

(6.12)

где

Аналогично можно найти оптимальное значение параметра регуляризации по отношению к граничной точке. Тогда вместо (6.10) приходим к уравнению вида

(6.13)

которое позволяет найти явное выражение для

(6.14)

Нормируем на величину

(6.15)

В (6.15) , где - приращение значения функции при смещении от граничной точки на расстояние .

Зная и , можно рассчитать среднеквадратические отклонения . Пусть - величина для точки, в которой имеет локальный максимум, а для граничной точки. В соответствии с (6.1), (6.2), (6.8), (6.9) имеем

(6.15)

(6.16)

Подставим в (6.15), (6.16) и получим , а . Таким образом, большее искажение проявляется в точке локального максимума. Поэтому, если с точки зрения передачи информации важно одинаково хорошо восстановить функцию в граничных точках и точках локального максимума, то целесообразно выбирать параметр регуляризации исходя из минимизации в точке локального максимума. При данных параметрах задачи он равен . При таком значении в граничной точке увеличивается по сравнению с . Подставляя в первое равенство (6.16), вместо значение , получаем . Эта величина несущественно отличается от минимального значения . Если с точки зрения информационного содержания важной является граничная точка, то следовало бы выбрать в качестве параметра регуляризации , которое для данных равно 0.42. Подставляя это значение вместо в (6.15), находим , что более чем в полтора раза больше минимального значения .

Подведем итоги рассмотрения раздела 6:

1.Выполняется предварительный анализ типичных для решаемой задачи изображения. В процессе анализа должны быть выбраны фрагменты, которые необходимо передать с максимальной точностью.

2. Для точек этих фрагментов должны быть рассчитаны значения и найдены величины . При этом в своеобразных «смотринах», проводимых по изложенной выше методике, могут принимать участие не пара точек (как это делалось разделе 6), а все те, которые для данного изображения представляют интерес.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боровков, статистика [Текст]: монография / . - М.: Наука, 1984. – 472 с.

2. Борн, М. Основы оптики: Пер. с англ. [Текст]: монография / М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973. – 720 с.

3. Троицкий, теория томографии [Текст]: монография / . – М.: Радио и связь, 19с.

4. Карпинский, указания к разделу «Традиционные методы вычислительной томографии» спецкурса «Применение томографических методов в медицинской диагностике» для студентов специальности «Прикладная математика», ЮФУ, 2007.