Математика 7 класс

Математика 7 класс

1.На доске написаны числа 0, 0, 1, 0, 0, 0.За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?

Решение. За каждый шаг, независимо от того, какие числа мы увеличиваем, сумма всех написанных чисел увеличивается на 2. Поскольку вначале сумма равна 1, то она всегда будет оставаться нечетной. Поэтому добиться, чтобы все числа стали равными невозможно.

2.На прямой расположено пять точек – A, B, C, D, E (именно в таком порядке). Известно, что AB=19 см, CE=97 см, AC=BD. Найдите длину отрезка DE. Не забудьте обосновать ответ.

Решение. Поскольку AC=BD, то AB+BC=BC+CD, откуда CD=19 см. Тогда DE=CE-CD=78 см.

3.В результате измерения четырех сторон и одной из диагоналей некоторого четырехугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?

Решение. Будем применять неравенство треугольника для исключения невозможных случаев. Если длина диагонали равна 7,5, то оставшиеся четыре числа можно разбить на две пары так, что сумма чисел в каждой из них больше 7,5, но этого, очевидно, сделать нельзя. Аналогично, не подходит 5. Если длина диагонали равна 1, то оставшиеся четыре числа можно разбить на две пары так, что разность чисел в каждой из них меньше, но этого, очевидно, сделать нельзя. Аналогично, не подходит 2. Остается единственный вариант 2,8.

4.Найдите все пары целых чисел , удовлетворяющие уравнению

Решение. Представим правую часть уравнения в виде , перенесем влево и разложим на множители. Получим . Заметив, что в каждой скобке числа одинаковой четности, получаем 4 возможности: одна из скобок , а вторая , оттуда легко следует ответ: (4;1), (4;-3), (-4;1), (-4;-3)

5.В квадрате ABCD находятся 5 точек. Доказать, что расстояние между какими-то двумя из них не превосходит .

Решение. Проведя через центр квадрата прямые, параллельные его сторонам, разрежем квадрат на четыре одинаковых квадрата. Какие-то две из пяти точек лежат в одном их этих квадратов, и расстояние между ними не превосходит длины диагонали этого квадрата.

6. Сколько имеется 8-значных чисел, в которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

Решение. Сначала найдем общее количество 8-значных чисел, а затем вычтем из них количество чисел, в которых все цифры разные. Тогда получим количество чисел, в которых есть хотя бы две одинаковые цифры. Всего 8-значных чисел (9 вариантов выбора первой цифры и по 10 у каждой из 7 остальных). Чисел с различными цифрами (9 вариантов выбора первой цифры кроме 0; 9 вариантов выбора второй цифры кроме той, что на первом месте; 8 вариантов выбора третьей цифры и т. д.). В результате получаем ответ: -

7. Через вершины A и C треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ABC. Они пересекают прямые CB и BA в точках K и M соответственно. Найдите длину AB, если BM= 8 см, KC=1 см и AB>BC.

Решение. В треугольниках ABK и MBC биссектрисы одновременно являются и высотами, поэтому эти треугольники – равнобедренные. Так как AB>BC, то точка M лежит на стороне AB, а точка K – на продолжении стороны BC. Значит, BC=BM=8 см; AB=BK=BC+CK=9 см.

8. На острове проживают 2010 жителей, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды все жители острова разбились на пары и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он – рыцарь!», либо «Он – лжец». Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Решение. Предположим, что описанная ситуация возможна, тогда каждая из фраз произнесена по 2010:2=1005 раз. При любом разбиении жителей на пары существует только три возможных вида пар: 1) два рыцаря; 2) два лжеца; 3)рыцарь и лжец. В парах первого и второго вида каждый произнес: «Он – рыцарь!», а в парах третьего вида каждый произнес: «Он – лжец». Таким образом, каждая из фраз произнесена четное число раз, что противоречит тому, что их должно быть по 1005.

9.Имеется 5 гирь. Их массы равны 100 г, 101 г, 102 г, 104 г и 107 г, но надписей на гирях нет и внешне они неотличимы. Имеются весы со стрелкой, которые показывают массу в граммах. Как с помощью трех взвешиваний определить гирю в 100 г?

Решение. Легко проверить, что зная массу любых двух гирь, можно определить массу каждой гири в отдельности. Поэтому поступаем так. Выбираем произвольные две пары гирь и взвешиваем каждую пару. Тем самым мы определяем, есть ли хотя бы в одной из них гиря массой 100 г. Если есть, то третьим взвешиванием одной из гирь соответствующей пары определяем ее. Если нет, то оставшаяся пятая гиря имеет массу 100г.

10. Веревку сложили пополам, потом еще раз пополам, потом снова пополам, а затем разрезали в каком-то месте. Какова может быть длина веревки, если известно, что какие-то два из получившихся кусков имеют длины 9м и 4м?

Решение. При разрезании могут образовываться куски трех различных типов, причем длина одного из типов кусков вдвое больше, чем другого («конец веревки» и «сложенный вдвое конец веревки»). Обозначим эти длины , и , а длину всей веревки . Подсчитав количество кусков каждого типа, получим что . Все возможные, исходя из условия, варианты длин кусков представлены в таблице:

x	4	2	9	4,5
y	9	9	4	4
L	68	52	88	52

Ответ: 52м, или 68м, или 88м.