Программа вступительных испытаний по математике

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Выражения и преобразования

Вещественные числа. Виды чисел: натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Изображение вещественных чисел на прямой. Арифметические операции над вещественными числами и их свойства. Модуль вещественного числа, геометрический смысл и свойства модуля. Проценты. Степень с целым показателем. Формулы сокращенного умножения. Корень степени n: определение и свойства. Степень с рациональным показателем: определение и свойства. Логарифм вещественного числа: определение и свойства. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного числового аргумента. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него. Соотношения между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса различных аргументов: формулы сложения; формулы двойного аргумента; формулы половинного аргумента; формулы приведения; формулы преобразования суммы функций в произведение; формулы преобразования произведения функций в сумму. Арифметическая прогрессия: определение, формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии. Геометрическая прогрессия: определение, формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Уравнения и системы уравнений

1.  Уравнения с одной неизвестной. Основные понятия: определение уравнения, корень уравнения, решение уравнения, равносильные и неравносильные уравнения.

2.  Целые рациональные уравнения: линейные уравнения, квадратные уравнения; уравнения высших степеней.

3.  Дробно-рациональные уравнения.

4.  Иррациональные уравнения.

5.  Тригонометрические уравнения.

6.  Показательные уравнения.

7.  Логарифмические уравнения.

8.  Уравнения, содержащие знак модуля.

9.  Комбинированные уравнения: степенно-показательные, показательно-логарифмические, показательно-тригонометрические.

10.  Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Основные понятия: решение системы уравнений, равносильные и неравносильные системы уравнений.

11.  Системы двух уравнений одного типа с двумя неизвестными.

12.  Системы двух уравнений разного типа с двумя неизвестными.

Неравенства

1.  Неравенства с одной неизвестной: решение неравенства; равносильные и неравносильные неравенства, свойства неравенств.

Целые рациональные неравенства: линейные неравенства, квадратные неравенства, неравенства высших степеней. Дробно-рациональные неравенства. Иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства. Неравенства, содержащие знак модуля. Комбинированные неравенства.

Функции

Числовая функция числового аргумента. Основные понятия: область определения, множество значений, график, способы задания функций, периодичность, четность и нечетность, нули функции и промежутки знакопостоянства, монотонность, точки экстремума, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения. Функция : свойства и график. Функция : свойства и график. Функции : свойства и график. Многочлены одной переменной и их корни. Разложение многочленов второй и третьей степеней на множители. Функции : свойства и график. Функция : свойства и график. Функция : свойства и график. Функция : свойства и график. Функция : свойства и график. Показательная функция: свойства и график. Логарифмическая функция: свойства и график. Производная функции: определение, правила вычисления производной суммы, произведения и частного функций, производные основных элементарных функций. Исследование функций с помощью производных: нахождение промежутков монотонности, точек экстремума и экстремумов функции; нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.

ГЕОМЕТРИЯ

Планиметрия

Основные понятия геометрии: точка, прямая, луч, угол, отрезок. Измерение углов и отрезков. Аксиомы планиметрии. Смежные и вертикальные углы. Биссектриса угла. Параллельные и перпендикулярные прямые. Условия параллельности прямых. Геометрическое место точек равноудаленных от двух заданных точек. Треугольник. Медиана, биссектриса и высота треугольника. Средняя линия треугольника. Признаки равенства треугольников. Виды треугольников. Свойства равнобедренного треугольника. Теоремы о сумме углов треугольника. Неравенство треугольника. Теорема Пифагора. Теорема синусов и теорема косинусов. Площадь треугольника. Параллелограмм. Признаки и свойства параллелограмма. Виды параллелограммов. Площадь параллелограмма. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции. Многоугольники. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника. Периметр и площадь многоугольника. Понятие площади плоской фигуры. Теорема Фалеса. Теоремы о средней линии треугольника и трапеции. Подобие плоских фигур. Признаки подобия треугольников. Декартова прямоугольная система координат на плоскости: ее задание, определение координат точек, формула расстояния между точками. Окружность. Сектор. Центральный и вписанный углы. Круг. Длины окружности. Площади круга и сектора. Касательная к окружности и ее свойства. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Окружность, описанная около четырехугольника. Необходимое и достаточное условие ее существования. Окружность, вписанная в четырехугольник. Необходимое и достаточное условие ее существования. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Векторы на плоскости: длина вектора, равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

Стереометрия

Плоскость и прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей: углы между прямыми и плоскостями, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, скрещивающиеся прямые. Аксиомы стереометрии. Признаки и свойства параллельности прямой и плоскости. Признаки и свойства параллельности плоскостей. Признак и свойства перпендикулярности прямой и плоскости. Признаки свойства перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Расстояние от точки до плоскости. Декартова прямоугольная система координат на плоскости: ее задание, определение координат точек, формула расстояния между точками. Фигуры в пространстве: сфера, шар, цилиндр, призма, конус, пирамида. Площади поверхности и объемы. Сечения фигур плоскостями. Векторы в пространстве: длина вектора, равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

АБИТУРИЕНТ ДОЛЖЕН УМЕТЬ:

1)  выполнять операции над вещественными числами, заданными обыкновенными и десятичными дробями; находить модули чисел; изображать числа на прямой;

2)  находить проценты от заданной величины, находить величину по известному ее проценту, определять связь между отношениями величин и процентами;

3)  выполнять арифметические операции над выражениями, содержащими одну или несколько переменных, выполнять подстановки одного выражения в другое;

4)  вычислять значения рациональных, дробно-рациональных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений;

5)  проводить тождественные преобразования выражений с использованием формул сокращенного умножения, свойств корня степени n и степени с рациональным показателем, свойств логарифмов и тригонометрических формул;

6)  распознавать арифметические и геометрические прогрессии, решать задачи с использованием формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий; находить сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

7)  решать указанные в ПРОГРАММЕ типы уравнений, неравенств и их систем;

8)  моделировать практические ситуации с помощью уравнений, неравенств и их систем; решать текстовые задачи на составление уравнений и систем уравнений;

9)  изображать геометрические фигуры, выполнять построения по условию задачи;

10)  проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;

11)  решать задачи по планиметрии и стереометрии с использованием описанных в ПРОГРАММЕ понятий, теорем, свойств фигур и отношений между ними;

12)  применять дополнительные построения и алгебраический аппарат при решении геометрических задач;

13)  вычислять значения функций, заданных в виде , находить области определения функций, координаты точек пересечения графиков функций;

14)  вычислять производные функций с использованием таблицы производных основных элементарных функций и правил дифференцирования;

15)  исследовать функции на монотонность, точки экстремума и экстремумы;

16)  исследовать функции на существование наибольшего и наименьшего значений на промежутке;

17)  строить эскизы графиков функций.