Вопросы к экзамену «Математика»

вопросы к ЭКЗАМЕНу

«Математика»

Раздел 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. Понятие комплексного числа в алгебраической форме: определение, равенство комплексных чисел, модуль, сопряженные числа, геометрический смысл.

2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

3. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

4. Умножение и деление комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах.

5. Возведение комплексного числа в целую степень. Формула Муавра.

6. Извлечение из комплексного числа корня целой степени.

Раздел 2. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

2.1. Понятие функции одной переменной

1. Понятие функции одной переменной: определение, способы задания, область определения и значений.

2. Способы задания функции одной переменной. Нахождение области определения.

3. Простейшие свойства функции: четность и нечетность, периодичность, однозначность и многозначность, ограниченность, монотонность.

4. Основные элементарные функции. Элементарные функции.

2.2. Числовые последовательности

1. Определение числовой последовательности. Виды последовательностей: возрастающие и убывающие, ограниченные и неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые.

2.3. Теория пределов

1. Понятие предела последовательности.

2. Понятие предела функции.

3. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.

4. Свойства пределов, связанные с неравенствами.

5. Бесконечно малая величина, ее связь с пределом и свойства.

6. Первый замечательный предел. Простейшие следствия.

7. Второй замечательный предел. Простейшие следствия.

8. Сравнение бесконечно малых величин. Порядок малости.

9. Эквивалентность бесконечно малых.

2.5. Непрерывность

1. Непрерывность функции в точке. Непрерывность в интервале.

2. Точки разрыва и их виды.

3. Свойства функций, непрерывных в точке.

4. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

5. Непрерывность основных элементарных функций и элементарных функций.

Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Производная функции

1. Определение производной функции.

2. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к линии.

3. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

4. Основные правила дифференцирования.

5. Производная сложной функции.

6. Производная обратной функции.

7. Производная функции, заданной неявно.

8. Производная функции, заданной параметрически.

9. Логарифмическая производная.

10. Производные основных элементарных функций.

3.2. Дифференциал

1. Понятие дифференциала функции.

2. Геометрический смысл дифференциала функции.

3. Свойства дифференциала.

4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.

3.3. Теоремы дифференциального исчисления

1. Теорема Ролля.

2. Теорема Коши.

3. Теорема Лагранжа.

4. Формула Тейлора.

5. Разложение функций ex, sinx, cosx по формуле Тейлора.

6. Правило Лопиталя для раскрытия основных неопределенностей.

3.4. Исследование функций одной переменной

1. Необходимое и достаточное условие монотонности функции в интервале.

2. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Критические точки.

3. Первый достаточный признак экстремума функции одной переменной.

4. Второй достаточный признак экстремума функции одной переменной.

5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточный признак. Точки перегиба.

6. Асимптоты кривой: определение, геометрический смысл, виды. Нахождение параметров.

Раздел 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1. Понятие функции нескольких переменных

1. Функция двух переменных, ее определение, способы задания, геометрический смысл, область определения.

2. Предел и непрерывность функции двух переменных в точке и в области. Линии разрыва.

4.2. Дифференцирование функции нескольких переменных

1. Частное приращение и частная производная функции двух переменных.

2. Частное приращение и частный дифференциал функции двух переменных.

3. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных.

4. Частные производные сложной функции. Дифференцирование неявной функции F(x,y)=0.

5. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

6. Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.

7. Частные производные высших порядков. Независимость смешанной частной производной от последовательности дифференцирования.

4.3. Исследование функции нескольких переменных

1. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.

2. Критические точки. Стационарные точки. Достаточный признак экстремума функции двух переменных.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.