N-мерные арифметические пространства

n-мерные арифметические пространства.

n = 1 – числовая прямая

n = 2 – координатная плоскость

(x, y) Û точка на плоскости Û радиус-вектор точки

n = 3 – геометрическое пространство

(x, y, z) Û точка пространства Û радиус-вектор точки

Определение

n-мерным арифметическим пространством называется совокупность всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел, над которыми введены две операции:

1) сложение наборов;

2) умножение наборов на вещественные числа.

Операция сложения:

Пусть даны некоторые наборы x = (x1, x2, …, xn ) и y = (y1, y2, …, yn), xi yi – вещественные числа:

x + y = z = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn)

Свойства сложения:

x + y = y + x – коммутативность (x + y) + z = x + (y + z) = y + (x + z) – ассоциативность $! (существует единственный) 0 = (0, 0, …, 0) , x + 0 = x "x $!y, что x + y = 0, т. е. y – набор, противоположный x.

Операция умножения на число

x = (x1, x2 … xn), λ Î R

λhx = xhλ = w = (λx1, λx2, … λxn)

Свойства умножения на число:

λhx = xhλ – коммутативность μh(λx) = (μλ)hx 1hx = x 0hx = (0, 0, …, 0).

Совместные свойства операций:

λx + λy = λ(xy) дистрибутивность μx + λx = (μ + λ )x x + y = 0 Û y = (-1)hx – набор противоположный набору х.

Пример:

Два фермера выращивают следующие культуры:

Овощи	1	x = (0, 0, 10, 0, 20) y = (10, 20, 0, 5, 10) x + y = (10, 20, 10, 5, 30) 2x = (0, 0, 20, 0, 40)   2
Морковь	0	10
Картофель	0	20
Свекла	10	0
Горох	0	5
капуста	20	10

Два предпринимателя осуществляют следующие проекты:

x = (0, 0, 0, 10, 100) y = (100, 200, 10, 0, 0) x + y = (100, 200, 10, 10, 100) 10y = (1000, 2000, 100, 0, 0)

 

Финансовые проекты	1	2
Строительство дороги	0	100
Дворец игровых видов спорта	0	200
Госпиталь для инвалидов	1	10
Частные коттеджи	10	0
Зал заседаний	100	0

Определение:

Пусть x1, x2, .. xm – элементы пространства An, λ1, λ2, … λm – вещественные числа.

Выражение λ1x1 + λ2x2 +…+ λmxm –называется линейной комбинацией элементов x1…xm

Линейная комбинация называется тривиальной, если все λi = 0. в противном случае она называется нетривиальной.

Определение:

Набор элементов w1, w2, … wn – называется линейно независимым, если нулю равны только их тривиальные линейные комбинации.

Определение:

Базисом арифметического пространства называется любой максимальный ЛНЗ набор его элементов.

Теорема:

Набор элементов (1, 0, …0), (0, 1, …0), …, (0, 0, …1) образует базис n-мерного

арифметического пространства.

Доказательство:

Рассмотрим произвольную ЛК

Это выполняется только если все = 0, то есть вектора ЛНЗ

любой другой вектор раскладывается по указанной схеме

- нетривиальная ЛК

Теорема:

Элементы образуют базис n-мерного арифметического пространства Û A = (aij) - квадратная и невырожденная.

Доказательство:

Ü пусть А = (aij)nhn = m и det (A) ≠ 0.

Тогда система уравнений Ahλ = x, где λ = (λ1, λ2, …λn)T, x = (x1, x2, …xn)T, имеет единственное решение "х (по теореме Крамера):

"х: x = λ1a1 + λ2a2 + … + λnan

выводы: 1. {a1…an}È{x} - ЛЗ

2. Если x = 0, то все λi = 0 поэтому ЛНЗ

Þ Пусть {a1…an} – базис

Bmhm

1) m < n ~ A = det B ¹ 0

Bmhm	0 0… 0
	1

Ановое =

 

Система ЛНЗ так как rank(Ановое) = m + 1

???

B

B

2) m > n ~ А =

 

Þ Bλ = (разрешима по теореме Крамера), λ = (λ1, λ2, …, λm)

перенося влево,

- нетривиальна

ЛК = 0, набор ЛЗ Þ не базис.

3) m = n Þ A – квадратная, и состоит из ЛНЗ столбцов Þ det (А) ¹ 0.

Определение:

Евклидовым n-мерным пространством Rn называется n-мерное арифметическое пространство, в котором введено скалярное произведение по правилу:

x, y Î Rn : (x, y) =

Свойства скалярного произведения:

1.(x, y) = (y, x) – коммутативность

2.(λx, y) = λ(x, y), где λ – число (скаляр)

Следствие: (x, λy) = (λx, y)

(0, x) = 0

3. (x, x) = ≥ 0 (x, x) = 0 Û x = (0, 0, … 0)

4. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

Определение:
= |x| - «длина» элемента x.

Определение:
где φ- «угол» между x и y

Неравенство Коши – Буняковского (Коши - Шварца).

|(x, y)| ≤ |x|h|y|

Доказательство:

z = x + ty, t - произвольное число

0 ≤ (z, z) ≤ (x + ty, x + ty) = (x, x) + 2t(x, y) + (y, y)t2

Þ парабола имеет один корень, т. е. ее D≤0,

D = 4 (x, y)2 – 4(x, x)h(y, y) ≤ 0

(x, y)2 ≤ (x, x)h(y, y)

≤

|(x, y)| ≤ |x|h|y|

Замечания к обозначениям

1) x = (x1, x2, …, xn) y = (y1, y2, …, yn)

(x, y) =

2) x = (x1, x2, …, xn) x h y – другое обозначение

Стандарт матричного исчисления.

Пусть все элементы Rn - векторы-столбцы

Замечания:

x, y - векторы-столбцы, A = (aij) – матрица, γ - число.

γ = xTAy = γT = (xTAy)T = yTATx =

Подпространства

Определение

Подпространством евклидова (и арифметического) пространства Rn называется любая совокупность L элементов Rn, удовлетворяющая свойствам:

1) ;

Прямая состоит из точек Î Rn Подпространств ¥ много

2) (l - число)

Примеры:

R2

Подпространства в Rn

- некоторое подпространство

Определение

Ортогональным дополнением к подпространству L называется:

Теорема:

Если и то ортогональное дополнение есть подпространство

Доказательство:

, так как

то есть

Примеры:

R2 R3

Теорема:

Любое подпространство евклидова пространства есть множество решений некоторой однородной системы уравнений

Ax = 0

Доказательство:

Ü Пусть L = { x: Ax = 0} – множество решений.

Покажем, что это подпространство:

1.

2.

3. Пусть , t – некоторое число Þ

Þ Пусть L – подпространство

n = rank(A) = dim L = m (dim L – размерность подпространства)

Как построить:

$ базис в L

Утверждение:

Любой базис можно ортогонализировать Þ можно считать ортогональным.

Утверждение:

Любой набор ЛНЗ векторов можно дополнить до базиса всего пространства

Дополним базис до некоторого ортогонального базиса - всего пространства

Свойства В:

" i, j (ai, aj) = 0

Рассмотрим матрицу :

rank(A) = n - m

Покажем, что

1) так как , в силу ортогональности В и

2)

Определение:

Линейной оболочкой векторов а1, а2, …, аm называется совокупность их всевозможных ЛК

Замечание:

Любая линейная оболочка есть некоторое подпространство.

Теорема:

Пусть есть L = {x: Ax = 0} тогда линейная оболочка строк матрицы А образует

Доказательство:

1) Почему строки а1, а2, …, аm матрицы А лежат в ?

2) Пусть - произвольное

"х ÎL Þ

Теорема:

Пусть rank (A) = r и В – ранговая подматрица матрицы А, то есть

В	N
C	D

А =

det(B) ¹ 0 Þ $ В-1
Тогда один из базисов подпространства L = {x: Ax = 0}совпадает с фундаментальной системой решений этой системы.

-B-1 N

1 … 1

В1 = - набор столбцов базиса

 

а один из базисов имеет вид:

BT

NT

В2 = - набор столбцов

 

Доказать, что базисы В1 и В2 взаимно ортогональны.