Олимпиада по математике, 11 класс 2011г

Олимпиада по математике
11 класс 2011г.

№ 1 (5 баллов) Решите неравенство

№ 2 (5 баллов) Дан пятиугольник – соответственно середины сторон и . Докажите, что отрезок, соединяющий середины параллелен и равен

№ 3 (5 баллов) При каких p данная система имеет решения:

?

№ 4 (5 баллов) – прямая треугольная призма. Длина каждого из рёбер равна . Найдите площадь сечения, проходящего через и образующего угол с плоскостью

№ 5 (5 баллов) На координатной прямой отмечены все точки с целыми координатами. Разрешается прыгать на 1 и на 4 вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не попадая в точки с координатами, кратными 4?

Олимпиада по математике (решение)
11 класс

№ 1 (5 баллов) Решите неравенство

Решение. Выполняя равносильные преобразования получим

№ 2 (5 баллов) Дан пятиугольник – соответственно середины сторон и . Докажите, что отрезок, соединяющий середины параллелен и равен

Решение.

Если F и G – середины, то

Из полученного равенства следует коллинеарность векторов , следовательно, .

№ 3 (5 баллов) При каких данная система имеет решения:

?

№ 4 (5 баллов) – прямая треугольная призма. Длина каждого из рёбер равна . Найдите площадь сечения, проходящего через и образующего угол с плоскостью

MС=a. tg a =
, следовательно, , а поэтому в сечении – трапеция , так как (как линии пересечения двух параллельных плоскостей – оснований призмы третьей) и . Найдём площадь проекции этого сечения на плоскость .

=
= ,

,

№ 5 (5 баллов) На координатной прямой отмечены все точки с целыми координатами. Разрешается прыгать на 1 и на 4 вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не попадая в точки с координатами, кратными 4?