УДК 532.542

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В

НАПОРНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ ИНЕРЦИОННОГО НАСОСА

ФГОУ ВПО МГУП, г. Москва, Россия

В статье излагаются основные положения методики расчета нестационарных гидравлических процессов в вертикальных трубопроводах инерционных (вибрационных) насосов. Исследованию движения газожидкостной смеси в подобных трубопроводах посвящено множество работ, однако во всех них принят ряд допущений. Разработанная методика расчета обладает научной новизной, так как учитывает ряд возникающих в трубопроводе явлений: выделение воздуха (разрыв сплошности), потери напора (по длине и местные), колебания обратного клапана и стенок трубопровода. Проводимая работа является актуальной, поскольку насосы инерционного типа получили широкое практическое применение.

Вибрационный насос осуществляет подачу жидкости по вертикальному трубопроводу из источника в приемный резервуар, расположенный на геодезической высоте Нг. Энергия колонне жидкости сообщается рабочим органом, осуществляющим вынужденные периодические колебания. Подробное описание конструкции насоса и принципов его работы приводится в [4].

Неустановившееся напорное движение жидкости в трубопроводе описывается дифференциальными уравнениями неразрывности [5]

(1)

и количества движения

(2)

где ; – скорость распространения упругой волны; - коэффициент Дарси, определяемый в зависимости от режима движения жидкости по формуле (для ламинарного режима) или по формуле (для турбулентного режима) [6].

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для газожидкостного напорного потока зависит от упругости жидкости и стенок трубопровода, объемного содержания растворенного и нерастворенного газов, давления и т. д. [6].

В реальной жидкости содержится растворенный воздух (в воде около 2% по объему при ), поэтому столб воды не может выдерживать отрицательных напряжений. При понижении давления до давления насыщенных паров происходит выделение растворенного воздуха в виде пузырьков, то есть разрыв сплошности потока. Экспериментально это явление установлено при испытаниях насосов конструкции ; и

Методика расчета разрывов сплошности потока основывается на ряде положений.

1. Поверхность разрыва занимает все поперечное сечение трубопровода и нормальна его оси. Фактически в момент разрыва колонна жидкости разделяется на две колонны, которые до момента схлопывания кавитационной каверны перемещаются независимо друг от друга.

2. Давление в каверне и на ее границах полагается одинаковым.

3. Схлопывание каверны происходит в момент равенства нулю ее объема.

При прохождении снизу вверх по трубопроводу волны понижения давления, начиная с некоторого сечения колонна жидкости может распадаться на множество отдельных участков [1]. На каждом из этих участков процесс распространения упругих волн протекает независимо, причем отражение происходит не только от свободной поверхности и клапана, но и от поверхностей разрыва.

Одним из самых распространенных численных методов решения уравнений гидравлического удара является метод характеристик. В основе метода характеристик лежит приведение системы уравнений (1), (2) к эквивалентной системе уравнений в характеристической форме [5]:

(3)

(4)

Слагаемым в первом приближении можно пренебречь.

Наиболее удобным для реализации на ЭВМ является метод характеристик с прямоугольной регулярной сеткой (метод Хартри).

Расчетная схема метода Хартри

Рассмотрим расчетную схему метода Хартри для вертикального трубопровода (см. рисунок). Трубопровод длиной разбивается по длине на одинаковых участков; расстояние между узлами сетки вдоль оси равно . Шаг по времени выбирается таким образом, чтобы выполнялись два следующих требования:

1. Для устойчивости явных схем с фиксированной сеткой шаги интегрирования по времени и по длине следует выбирать таким образом, чтобы выполнялось условие Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ-условие)

(5)

2. Характеристика, проходящая через точку Р, должна пересекать предыдущий временной слой как можно ближе к узловым точкам и N.

Рассмотрим алгоритм расчета средней точки (cм. рисунок). Предположим, что интегрирование на первом шаге выполнено для всех точек вдоль трубы. Поэтому напоры и скорости в точках, , и известны. Через точку проводятся две характеристики, которые пересекают предыдущий временной слой в точках и S. Для прямой характеристики справедливо соотношение . Для обратной –.

Вдоль прямых и выполняются уравнения:

вдоль

(6)

вдоль

(7)

Записав уравнения в конечно-разностном виде. получим:

вдоль

(8)

вдоль

(9)

Значения и находятся с помощью линейной интерполяции между точками и , и – между и . Значения напоров и скоростей в точках и находятся линейным интерполированием соответствующих величин в точках. Решая совместно уравнения (8) и (9). получаем значение напора и скорости в точке P:

(10)

(11)

Поскольку положение точек и были вычислены на основании значений и , наклоны характеристик могут быть уточнены с учетом полученных значений и . Процесс уточнения выполняется итеративно до достижения заданной точности результатов.

На границах трубопровода имеется только по одной характеристике: на верхнем конце () – обратная характеристика, в нижнем () – прямая характеристика. В связи с этим на верхнем и нижнем концах трубопровода значения напора или скорости должны задаваться явным образом.

Учет разрывов сплошности потока при расчетах по методу Хартри осуществляется путем введения внутренних граничных условий на границах кавитационных каверн в течение времени их существования (от момента возникновения каверны до момента ее схлопывания). В каждый момент времени может существовать множество разрывов, поэтому в расчетных сечениях трубопровода помимо напора и скорости необходимо учитывать размер каверны .

Рассмотрим алгоритм расчета, учитывающий образование разрыва сплошности потока, для узла регулярной сетки, находящемся в сечении . Примем, что разрыв сплошности потока образуется в случае понижении абсолютного давления до значения давления насыщенных паров , зависящего от заданной температуры [6]. Предположим, что в некоторый момент времени размер каверны в сечении равен нулю. Тогда значения напора и скорости в точке рассчитываются по формулам (10) и (11). Так как , абсолютное давление в точке определяется по формуле Если , то в точке образуется разрыв сплошности потока и вводится внутреннее граничное условие:

,

или

(12)

,

(13)

которое действует, пока существует разрыв. Это сечение является границей двух расчетных участков длиной . Относительно -го сечения эти участки двигаются независимо друг от друга с разными скоростями с учетом волновых процессов на каждом участке. Для верхнего участка существует только положительная характеристика, для нижнего – отрицательная.

Подставляя в (10), получим уравнение

,

(14)

откуда находится скорость на левой границе разрыва

.

(15)

Аналогично определяется скорость на правой границе разрыва:

;

(16)

.

(17)

Изменение размера каверны за промежуток времени определяется как разность расходов на левой и правой границах разрыва:

.

(18)

Прибавляя к текущему значению , получаем новый объем каверны в сечении . Если оказывается, что , то считается, что разрыв ликвидирован, и приравнивается к нулю. Если при расчете сечения на следующем временном слое оказывается, что , то сразу вводится граничное условие (13). Аналогичным образом производится расчет с учетом разрывов сплошности во всех сечениях трубопровода.

Приведенную методику расчета можно упростить, если принять как допущение, что весь выделяемый воздух сосредоточивается в местах разрыва сплошности в узлах регулярной сетки. Это означает, что между узлами скорость распространения упругой волны можно рассчитывать по формуле Кортевега-Жуковского

.

(19)

Поскольку постоянна, а мала по сравнению с , шаг по времени можно принять равным Такое соотношение и удовлетворяет КФЛ-условию и позволяет считать характеристики проходящими через узлы сетки, то есть можно считать, что точки и совпадают с и N, соответственно. В этом случае процедура уточнения положения точек и не требуется.

Зададим начальные и граничные условия для вертикального трубопровода насоса. Положим, что в начальный момент времени обратный клапан закрыт, а жидкость заполняет весь трубопровод и находится в состоянии покоя

,

(20)

где – напор, соответствующий атмосферному давлению;

(21)

В верхнем конце трубопровода расположен приемный резервуар, поэтому напор принимается неизменным и равным атмосферному

.

(22)

Граничные условия в нижнем сечении трубопровода зависят от того, закрыт клапан или открыт. При закрытом клапане скорость движения жидкости определяется скоростью движения рабочего органа, совершающего вынужденные колебательные движения

,

(23)

где – амплитуда, а - круговая частота колебаний.

Если клапан открыт, то в качестве граничных условий задается напор, определяемый заглублением трубопровода и потерями напора в клапане

(24)

Библиографический список

1.  Алышев и моделирование нестационарных гидравлических процессов в напорных трубах. Автореф. дис…. канд. техн. наук. М.:МГМИ, 1967.

2.  , Гладкова распространения волны гидравлического удара в многокомпонентных средах. Депонир. рукопись ВИНИТИ, № регистр. 2082-B96, М., 1996.

3.  Либеров нестационарных гидравлических процессов в вертикальном трубопроводе (на примере вибрационного водоподъемника). Автореф. дис….канд. техн. наук, М., 1970.

4.  Усаковский насосы. М.: Машиностроение, 19с.

5.  Фокс анализ неустановившегося течения в трубопроводах. /Пер. с англ. М.: Энергоиздат, 19с.

6.  Штеренлихт : Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1984.