Негосударственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Университет Российской академии образования»
Челябинский филиал
Домашняя контрольная работа по дисциплине «Математический анализ»
(III семестр).
Преподаватель
Челябинск
2012 г.
При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие обязательные требования:
- работа должна быть выполнена в тетради;
- работа должна иметь титульный лист (указать группу, Ф. И.О., номер варианта);
- обязательно писать условие задачи и ответ;
- решение должно быть представлено со всеми необходимыми пояснениями.
Зачет за контрольную работу ставится при выполнении всех заданий и правильном оформлении работы.
Варианты домашней контрольной работы:
№ варианта | № по журналу |
1 | 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 |
2 | 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 |
3 | 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31 |
4 | 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 |
«Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных».
Задание 1: Найдите частные производные второго порядка (табл. 1).
Таблица 1.Варианты задания 1.
№ вар. | Данные | № вар. | Данные |
1 |
| 3 |
|
2 |
| 4 |
|
Задание 2: Найдите экстремумы функции двух переменных (табл.2).
Таблица 2.Варианты задания 2.
№ вар. | Данные | № вар. | Данные |
1 |
| 3 |
|
2 |
| 4 |
|
Задание 3: Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов (табл.3).
Таблица 3.Варианты задания 3.
№ вар. | Данные | № вар. | Данные | ||||||||||||||||||||||||
1 |
| 3 |
| ||||||||||||||||||||||||
2 |
| 4 |
|
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ.
Задание1: Найдите частные производные второго порядка функции 
Решение: 1. 
2.
3.
Ответ: 
, 
, 
Задание 2: Найдите экстремумы функции 
.
Решение: 1. Найдем частные производные первого порядка:
, 
2. Найдем стационарные точки, используя необходимые условия:
;
; 
; 
или 
или 
Получили 
, 
- стационарные точки.
3. Найдем производные второго порядка;
, 
, 
4. Вычислим значение производных второго порядка в точке :
Найдем 
, 
в точке функция экстремума не имеет.
5. Вычислим значение производных второго порядка в точке :
Найдем 
, 
в точке функция имеет экстремум.
Т. к. 
, то функция в этой точке имеет минимум.
Ответ: 
в точке 
Задание 3: Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 6 | 8 | 10 | 9 | 12 | 11 |
Решение: Составим таблицу:
|
|
|
|
|
1 | 1 | 6 | 1 | 6 |
2 | 2 | 8 | 4 | 16 |
3 | 3 | 10 | 9 | 30 |
4 | 4 | 9 | 16 | 36 |
5 | 5 | 12 | 25 | 60 |
6 | 6 | 11 | 36 | 66 |
| 21 | 56 | 91 | 214 |
Составим систему уравнений:
; 
Решив систему уравнений, найдем параметры 
Запишем линейную зависимость
Ответ: 
«Дифференциальные уравнения».
Задание 1: Решить дифференциальное уравнение первого порядка (табл. 1).
Таблица 1.Варианты задания 1.
№ вар. | Данные | № вар. | Данные |
1 |
| 3 |
|
2 |
| 4 |
|
Задание 2: Решить дифференциальное уравнение второго порядка (табл. 2).
Таблица 2.Варианты задания 2.
№ вар. | Данные | № вар. | Данные |
1 |
| 3 |
|
2 |
| 4 |
|
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ.
Задание 1: Решить дифференциальное уравнение первого порядка 
Решение: 
-это уравнение Бернулли.
Разделим обе части уравнения на 
Полагаем 
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:
Получаем: 
Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
Ответ: 
Задание 1: Решить дифференциальное уравнение первого порядка 
Решение: 
- это Линейное Неоднородное Дифференциальное Уравнение.
Решим это уравнение методом Лагранжа.
Представим 
как функцию от 
, т. е. 
Подставим эти выражения в исходное уравнение
Ответ: 
Задание 2: Решить дифференциальное уравнение второго порядка 
.
Решение:
Общее решение ищется в виде 
1) Найдем 
- общее решение соответствующего однородного уравнения
2) Найдем 
- частное решение.
Правая часть имеет вид 
. 
не является корнем характеристического уравнения 
, значит 
- многочлен первой степени
, где 
и 
–неопределенные коэффициенты
, 
, 
Подставим выражения в уравнение
3) Запишем общее решение 
Ответ: 
Задание 2: Решить дифференциальное уравнение второго порядка 
Решение: Общее решение ищется в виде
1) Найдем 
- общее решение соответствующего однородного уравнения
2) Найдем - частное решение.
Правая часть имеет вид 
.
-не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, значит
Подставим выражения в уравнение
3) Запишем общее решение 
Ответ: 
«Ряды».
Задание 1: Исследовать сходимость ряда (табл. 1).
Таблица 1.Варианты задания 1.
№ вар. | Данные | № вар. | Данные |
1 |
| 3 |
|
2 |
| 4 |
|
Задание 2: Найти промежуток сходимости степенного ряда (табл.2).
Таблица 2.Варианты задания 2.
№ вар. | Данные | № вар. | Данные |
1 |
| 3 |
|
2 |
| 4 |
|
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ.
Задание1: Исследовать сходимость ряда 
.
Решение: Так как
,
то применим радикальный признак Коши к ряду
.
Ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд.
Ответ: ряд сходится.
Задание1: Исследовать сходимость ряда 
.
Решение: Находим 
.
- значит, по признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Задание 2: Найти область сходимости ряда 
.
Решение: Найдем радиус сходимости ряда по формуле 
:
.
Следовательно, ряд сходится при 
, т. е. при 
.
При 
имеем ряд
,
который сходится по признаку Лейбница.
При 
имеем расходящийся ряд
.
Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок 
.
Ответ: областью сходимости ряда является полуотрезок .
Задание 2: Найти область сходимости ряда 
.
Решение: Воспользуемся формулой :
.
Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.
Ответ: ряд абсолютно сходится при 
.
