Задания (стр. 3 )

Отклонение рассчитывается по формуле:

Точка пика определяется по условиям:

εt-1 < εt > εt+1

εt-1 > εt < εt+1

Мат. ожидание числа точек поворота ( n = 20, p = 13)

= 12

Дисперсия

= 3,23

Проверка на 5%-ный уровень значимости (т. е. на доверительную вероятность 95%)

13 > 8

Вывод: с доверительной вероятностью 95% можно утверждать, что линейная трендовая модель является адекватной, т. к. свойство случайности ряда остатков подтверждается.

б) проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения

размах вариации

= 17,434 – (-11,086) = 28,520

среднее квадратическое отклонение

= 8,561

RS-критерий

RS = R / S = 28,507/8,838 = 3,331

Критические границы значения RS для n=20: εmin = 3,18 ; εmax = 4,49

Вывод: т. к. RS попадает в критические границы, то свойство нормальности распределения выполняется

в) проверка равенства мат. ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону (на основе t-критерия Стьюдента)

среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности εt

= 90,44/20 = 4,52

стандартное (среднеквадратическое) отклонение остаточной последовательности εt

= 7,01

t-критерий Стьюдента

= 2,884

Вывод: т. к. расчетное значение t = 3,192 меньше табличного значения tтабл = 3.5794 статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости а = 0,05 и числом степеней свободы n–1 = 20–1 = 19, то гипотеза о равенстве нулю мат. ожидания случайной последовательности принимается.

г) проверка независимости значений уровней случайной компоненты (т. е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона)

d-критерий Дарбина-Уотсона

= 1755,83 / 1392,66 = 1,2608

при d в интервале от 2 до 4 (т. е. связь отрицательна), d` = 4–d, d` = 4 – 1,2608 = 2,7392

при n=20 и k=2 (уровень значимости 5%)	d1	d2
1,1	1,54

Вывод: т. к. d` больше верхнего значения d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается

ВЫВОД: т. к. все 4 проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат, то трендовая модель адекватна

3) логарифмическая модель

t	Фактич. yt	Расч. ŷt	Откло-нение εt	Точки пиков	εt2	εt – εt-1	(εt – εt-1)2	|εt|:yt*100
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	46	44,18	1,82	-	3,31	-	-	3,952	2116	3,31
2	56	46,51	9,49	1	90,00	7,67	58,81	16,941	3136	90,00
3	54	47,88	6,12	0	37,49	-3,36	11,31	11,339	2916	37,49
4	43	48,84	-5,84	1	34,16	-11,97	143,22	13,592	1849	34,16
5	57	49,59	7,41	1	54,84	13,25	175,55	12,991	3249	54,84
6	56	50,21	5,79	1	33,55	-1,61	2,60	10,343	3136	33,55
7	67	50,73	16,27	1	264,83	10,48	109,86	24,289	4489	264,83
8	62	51,18	10,82	0	117,17	-5,45	29,69	17,459	3844	117,17
9	50	51,57	-1,57	1	2,47	-12,40	153,66	3,143	2500	2,47
10	56	51,93	4,07	1	16,60	5,65	31,87	7,275	3136	16,60
11	47	52,25	-5,25	1	27,53	-9,32	86,87	11,163	2209	27,53
12	56	52,54	3,46	1	11,98	8,71	75,82	6,180	3136	11,98
13	54	52,81	1,19	0	1,42	-2,27	5,15	2,207	2916	1,42
14	42	53,06	-11,06	1	122,27	-12,25	150,04	26,328	1764	122,27
15	64	53,29	10,71	1	114,71	21,77	473,84	16,735	4096	114,71
16	60	53,51	6,49	1	42,16	-4,22	17,78	10,822	3600	42,16
17	70	53,71	16,29	1	265,34	9,80	95,96	23,270	4900	265,34
18	66	53,90	12,10	0	146,34	-4,19	17,57	18,329	4356	146,34
19	57	54,08	2,92	0	8,50	-9,18	84,31	5,114	3249	8,50
20	55	54,26	0,74	-	0,55	-2,17	4,72	1,350	3025	0,55
Сумма			91,98	13	1395,20		1728,67	242,82	63622,00	1395,20

а) проверка случайности уровней ряда остатков

Отклонение рассчитывается по формуле:

Точка пика определяется по условиям:

εt-1 < εt > εt+1

εt-1 > εt < εt+1

Мат. ожидание числа точек поворота ( n = 20, p = 13)

= 12

Дисперсия

= 3,23

Проверка на 5%-ный уровень значимости (т. е. на доверительную вероятность 95%)

13 > 8

Вывод: с доверительной вероятностью 95% можно утверждать, что линейная трендовая модель является адекватной, т. к. свойство случайности ряда остатков подтверждается.

б) проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения

размах вариации

= 16,289 – (-11,058) = 27,347

среднее квадратическое отклонение

= 8,569

RS-критерий

RS = R / S = 28,507/8,838 = 3,191

Критические границы значения RS для n=20: εmin = 3,18 ; εmax = 4,49

Вывод: т. к. RS попадает в критические границы, то свойство нормальности распределения выполняется

в) проверка равенства мат. ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону (на основе t-критерия Стьюдента)

среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности εt

= 91,98/20 = 4,60

стандартное (среднеквадратическое) отклонение остаточной последовательности εt

= 6,97

t-критерий Стьюдента

= 2,950

Вывод: т. к. расчетное значение t = 3,192 меньше табличного значения tтабл = 3.5794 статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости а = 0,05 и числом степеней свободы n–1 = 20–1 = 19, то гипотеза о равенстве нулю мат. ожидания случайной последовательности принимается.

г) проверка независимости значений уровней случайной компоненты (т. е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона)

d-критерий Дарбина-Уотсона

= 1728,67 / 1395,20 = 1,2390

при d в интервале от 2 до 4 (т. е. связь отрицательна), d` = 4–d, d` = 4 – 1,2390 = 2,7610

при n=20 и k=2 (уровень значимости 5%)	d1	d2
1,1	1,54

Вывод: т. к. d` больше верхнего значения d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается

ВЫВОД: т. к. все 4 проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат, то трендовая модель адекватна

5. Оценка точности адекватных моделей

Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (экономического показателя).

Для показателя, представленного временным рядом, точность определяется как разность между значением фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем с использованием модели, при этом в качестве статистических показателей точности применяются следующие:

1) среднее квадратическое отклонение

2) средняя относительная ошибка аппроксимации

3) коэффициент сходимости

4) коэффициент детерминации

В результате вычислений в Excel получим таблицу:

	Линейная модель	Экспоненциальная модель	Логарифмическая модель
среднее квадратическое отклонение	2,358	2,242	2,260
средняя относительная ошибка аппроксимации	12,140	11,894	12,141
коэффициент сходимости	0,089	0,080	0,082
коэффициент детерминации	0,911	0,920	0,918

6. Выбор наилучшей модели

Как видно из таблицы, большинство показателей с наименьшим значением отклонения у экспоненциальной модели, хотя по показателю коэффициента детерминации наименьшее значение у линейной модели.