Математические зависимости, описывающие деформирование ледяного покрова движущейся нагрузкой с учётом подлёдного течения
Комсомольск-на-Амуре, Россия
Интерес к задачам динамики ледяного покрова обусловлен целым рядом их практических приложений, К ним относятся и проблемы повышения эффективности открытого сравнительно недавно резонансного метода разрушения льда, реализуемого судами на воздушной подушке (СВП) [1]. Как показали крупномасштабные модельные и натурные эксперименты с СВП в полевых условиях, возможности резонансного метода могут быть увеличены.
Теория волновых колебаний ледяного покрова и методы оценки его несущей способности позволяют решить некоторые инженерные задачи по разрушению льда. Как показывают экспериментальные исследования, при режимах нагружения ледяного покрова от распространяющихся в нем изгибно-гравитационных волн, лед проявляет вязко-упругие свойства. Тогда, при принятой реологической модели Кельвина-Фойхта дифференциальное уравнение установившихся колебаний ледяного покрова под действием независящей от времени внешней нагрузки, равномерно распределенной c интенсивностью P по площади прямоугольника со сторонами 2a и 2b и движущейся с постоянной скоростью v, будет иметь вид[2]:
, (1)
где w- прогиб льда, rв - плотность воды, rл - плотность льда, g - ускорение свободного падения, h – толщина льда, Ф – потенциал движения жидкости, P – интенсивность внешней нагрузки, H – глубина водоема, tj - время релаксации деформаций.
При наличии подледного течения дифференциальное уравнение (1) примет следующий вид:
, (2)
где ux - проекция скорости подледного течения воды на ось x;
uy - проекция скорости подледного течения воды на ось y.
Воспользуемся известным представлением дельта-функции Дирака в виде интеграла Фурье для бесконечной функции:
. (3)
Потенциал движения жидкости Ф имеет вид:
. (4)
На границе сред лед-вода имеем граничное условие:
. (5)
Из условия (5) находим 
, следовательно,
.
Прогиб льда w будем искать в виде:
.
Найдем необходимые производные от прогиба w:
; (6)
; (8)
; (9)
; (10)
Найдем также производную от потенциала движения жидкости Ф:
. (11)
Подставив полученные выше выражения в уравнение (1), получим:
,
откуда следует:
, (12)
где 
. (13)
Введем обозначение:
. (14)
Тогда прогиб будет равен
.
В результате интегрирования по переменным x и z, учитывая нечетность функции и предполагая, что q=const, получим:
, (15)
где 
.
Получим выражение для прогиба пластины в виде:
, (16)
Изгибающие и крутящий моменты, действующие в сечениях, нормальных к осям x и y, приходящиеся на единицу длины сечения, связаны с прогибом пластины зависимостями:
, (17)
где D=Gh3/3 – изгибная жесткость пластины;
m - коэффициент Пуассона.
Найдя Mx, My и Mxy, вычислим наибольшие нормальные σx max, σy max и наибольшие касательные τxy max напряжения. Они определяются по формулам:
(18)
Подставляя в (18), выражения для изгибающих моментов (17), предварительно взяв необходимые производные, получим для случая наличия подледного течения:
,
, (19)
,
где 
.
В работе получена математическая зависимость, позволяющая учесть влияние подлёдного течения на параметры изгибно-гравитационных волн, возбуждаемых в ледяном покрове движущейся нагрузкой в различных ледовых условиях.
Литература
1. Резонансный метод разрушения ледяного покрова. Изобретения и эксперименты.. — М.: Академия Естествознания, 2007. — с.355
2. Хейсин ледяного покрова. – Л.: Гидрометеоиздат 1967.
