Ответы к экзамену по математическому анализу для экономистов
1 курс (осенний семестр)
Определение числовой последовательности и её предела.Если каждому натуральному числу n=1,2,3,… по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число хn, то полученное упорядоченное множество х1, х2, х3, …, хn, … называется бесконечной числовой последовательностью.
Число а называется пределом числовой последовательности х1, х2, х3, …, хn, …, если для любого как угодно малого числа ε > 0 найдётся такое число N, что при всех n ³ N выполняется неравенство |хn - a| < ε.
" ε>0 $ N: " n³N: |xn-a| < ε
Теорема о конечном числе членов числовой последовательности вне эпсилон-окрестности.Число а является пределом числовой последовательности {xn} тогда и только тогда, когда вне любой ε-окрестности числа а находится лишь конечное (или пустое) множество членов последовательности {xn}. Док-во: Пусть дано limxn=a. Пусть ε > 0 произвольно. limxn=a Þ по ε мы можем указать такое N, что для всех значений n ³ N выполняется |хn - a| < ε или а-ε<xn<а+ε. Вне (а-ε;а+ε) находятся лишь х1, х2, х3, …, хn-1, а таких членов последовательности конечное число.
Следствие. Внутри любой ε-окрестности предела числовой последовательности находится бесконечное множество её членов.
Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.Если последовательность {xn} сходится (имеет предел), то она ограничена. Док-во: пусть limxn=a. Зададим число ε=1 и найдём число N такое, чтобы при n ³ N выполнялось |хn - a| < 1. Вне окрестности (а-1;а+1) находится либо пустое, либо конечное множество элементов последовательности. В первом случае примем а-1=m и а+1=М, тогда для всех членов последовательности выполняется неравенство m<xn<M, что означает ограниченность множества {xn}. Во втором случае среди чисел х1, х2, х3, …, хn-1, которые находятся вне окрестности (а-1;а+1), имеется наименьшее хp=m и наибольшее xq=M: для всех членов последовательности выполняется неравенство m£xn£M, что означает ограниченность множества {xn}.
Последовательность {xn} называется неубывающей, если для любого n выполняется неравенство xn£xn+1 (возрастающей, если xn<xn+1). Аналогично невозрастающая и убывающая последовательности. Все эти 4 разновидности последовательностей называются «монотонными».
Теорема 1: если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.
Теорема 2: всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Теорема об единственности предела числовой последовательности.Если предел последовательности существует, то он единственный. Док-во: допустим limxn=a; limxn=b; a¹b. Предположим, что a<b. Выберем такое ε > 0, чтобы a + ε < b - ε. По теореме о конечном числе членов числовой последовательности вне ε-окрестности: вне ε-окрестности числа а находится лишь конечное число членов последовательности, поэтому внутри ε-окрестности числа b может оказаться лишь конечное число членов Þ противоречие.
Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей.Если хn £ yn и существуют пределы limxn=a и limуn=b, то a £ b. Док-во: предположим, что a>b и зададим ε > 0 так, чтобы выполнялось условие b+ε<a-ε. Пользуясь определением предела, найдём такие N1 и N2, чтобы при n³N1 было a-ε<xn<a+ε, а при n³N2 было b-ε<yn<b+ε. Большее из чисел N1 и N2 назовём N. Очевидно, что при n ³ N выполняются оба неравенства. xn>a-ε и yn<b+ε ® xn>yn, что противоречит условию.
!!! При переходе к пределу строгое неравенство может перейти в равенство (напр. xn=-1/n ; yn=1/n).
Следствие. Если a£xn£b и limxn=c, то a£с£b.
Теорема о переходе к пределу в двустороннем неравенстве для трёх последовательностей.Если последовательности {xn} и {уn} сходятся к одному и тому же пределу а и для всех n выполняются неравенства xn£zn£yn, то последовательность {zn} имеет тот же предел а. Док-во: limxn=limуn=a Þ вне (а-ε;а+ε) находится лишь конечное число членов последовательностей {xn} и {уn}. Возьмём {zn} так, что для всех n выполняются неравенства xn£zn£yn Þ вне (а-ε;а+ε) находится лишь конечное число членов последовательности {zn} Þ a - предел последовательности {zn}.
Теорема о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей. Доказать для суммы и произведения.Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то предел их суммы, разности, произведения или частного равен соответственно сумме, разности, произведению или частному пределов (в последнем случае предполагается, что предел делителя не равен нулю).
Теорема о пределе суммы. Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме этих пределов. Дано: limxn=a; limуn=b. Док-ть: lim(xn+уn)=а+b. Док-во: задаём ε > 0 и ищём такое N, чтобы при n ³ N выполнялось |(хn+yn) - (a+b)| < ε. Возьмём ε1=ε/2. Найдём N1 такое, чтобы при n ³ N1 выполнялось |хn - a| < ε1, и N2 такое, чтобы при n ³ N2 выполнялось |yn - b| < ε1. Пусть N3 = max [N1;N2] - при n ³ N3 выполняются оба неравенства. В качестве искомого числа N возьмём число N3: |(хn+yn) - (a+b)| = |(хn-а) + (yn-b)| £ |хn-а| + |yn-b| < ε1 + ε1 = 2ε1 = ε.
Следствие. Если limxn=a, c – постоянная величина, то lim(c+xn)=c+limxn=c+a; limcxn=climxn=ca; lim(c/xn)=c/a (xn¹0,a¹0). Таким образом, постоянное слагаемое и постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Теорема о пределе произведения. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению этих пределов. Дано: limxn=a; limуn=b. Док-ть: lim(xn . уn)=а . b. Док-во: задаём ε > 0 и ищём такое N, чтобы при n ³ N выполнялось |(xn . уn) - (а . b)| < ε.
Определение и примеры бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.Последовательность стремится к +∞, если для любого как угодно большого числа M > 0 можно указать такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство xn>M. (Напр., n2) "M>0$N:"n³N:xn>M
Последовательность стремится к -∞, если для любого как угодно большого числа M > 0 можно указать такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство xn<-M. (Напр., (-n+2)) "M>0$N:"n³N:xn<-M
Последовательности, стремящиеся к +∞ или -∞, называются бесконечно большими.
Бесконечно малой называется последовательность {xn}, имеющая предел, равный нулю: limxn=0. (Напр., xn=1/n) "ε>0$N:"n³N:|xn|<ε
Формулировка теорем о бесконечно малых и бесконечно больших последовательностях. Доказать теорему о произведении бесконечно малой на ограниченную.Теорема 1. Если {xn} – бесконечно малая последовательность (xn¹0), то {1/xn} является бесконечно большой. Обратная теорема. Если {xn} – бесконечно большая последовательность (xn¹0), то {1/xn} является бесконечно малой.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность. Док-во: пусть {xn} - бесконечно малая, {уn} - ограниченная последовательности. Доказать, что {xn . уn} - бесконечно малая. $K>0: "n: |yn|£K. Возьмём произвольное ε > 0 и обозначим ε1=ε/K. Будем считать, что для {xn} роль ε играет ε1. По числу ε1 найдём такое число N, чтобы для всех значений n³N выполнялось неравенство |xn|<ε1. Но тогда |xnyn| = |xn| . |уn| < ε1 . K = ε/K . K = ε Þ при n³N будет |xnyn|<ε Þ limxnyn=0.
Определение предела функции по Коши и Гейне.Определение 1 (Коши): число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если по любому как угодно малому числу ε>0 можно указать такое число d>0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 0 < |x - a| < d, выполняется неравенство |f(x) - A| < ε.
"ε>0$d>0: 0<|x-a|<d |f(x)-A|< ε или "ε>0$d>0: "xÎX, x¹a,|x-a|<d: |f(x)-A|< ε
Определение 2 (Гейне): число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если для любой последовательности х1, х2, х3, …, хn, …, сходящейся к а (хn¹а), последовательность соответствующих значений функции, т. е. f(x1), f(x2), …, f(xn), …, сходится к числу А.
Односторонние пределы функции.Число А называется пределом слева (справа) функции f(x) в точке x=a, если по любому ε>0 можно указать такое d>0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству а-d<x<a (a<x<a+d), выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.
Пределы функции, при стремлении её аргумента к бесконечности.Число А называется пределом функции f(x) при стремлении х к +∞(-∞), если по любому ε>0 можно указать такое число M>0, что при значениях x > M (x < - M), выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.
lim(x®∞)f(x)=A: "ε>0$M>0: "|x|>M |f(x)-A|<ε
Пределы функции, равные бесконечности.Запись lim(x®a)f(x)=+∞ (lim(x®a)f(x)=-∞) означает, что по любому как угодно большому положительному числу Е можно указать такое число d>0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-a|<d, выполняется неравенство f(x) > E (f(x) < - E).
lim(x®a)f(x)=∞: "E>0$d>0: 0<|x-a|<d |f(x)|>E
Теорема о разности между функцией и её пределом.Число А является пределом функции y=f(x) при x®a (x®∞) тогда и только тогда, когда разность f(x)-A есть бесконечно малая при x®a (x®∞). Док-во (для случая x®a): пусть задано ε > 0. Обозначим a(x)=f(x)-A. Если А - предел Þ в d-окрестности числа а выполняется |f(x)-A| = |a(x)| < ε ® a(x) - бесконечно малая. Теперь докажем, что lim(x®a)f(x)=A. Зададим ε > 0 и укажем такое d1, что при 0<|x-a|<d1 выполняется неравенство |a(x)| < ε. Таким образом, можно взять d=d1 и при 0<|x-a|<d будет |f(x)-A| < ε. Это означает, что lim(x®a)f(x)=A.
Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях (умножение бесконечно малой на ограниченную функцию, деление ограниченной функции на бесконечно большую, бесконечно малую).Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x®a (x®∞), если lim(x®a)f(x)=0 (lim(x®∞)f(x)=0). Примеры: lim(x®p)sinx=0; lim(x®∞)1/x2=0.
Функция y=f(x) называется бесконечно большой при x®a, если lim(x®a)|f(x)|=+ ∞.
Теорема 1: произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая.
Теорема 2: частное от деления ограниченной функции f(x) на бесконечно большую g(x), т. е. f(x)/g(x), есть бесконечно малая.
Теорема 3: частное от деления функции f(x), модуль которой ограничен снизу положительным числом, на бесконечно малую есть бесконечно большая.
Теорема о пределе суммы, произведения и частного функций.Если существуют пределы функций f(x) и g(x), то предел суммы, произведения и частного этих функций равен соответственно сумме, произведению и частному пределов (в случае частного теорема справедлива лишь при условии, что предел делителя отличен от нуля). Док-во (для суммы): пусть lim(x®a)f(x)=A, lim(x®a)g(x)=B. Необходимо доказать, что lim(x®a)[f(x)+g(x)]=A+B. Задаём ε > 0. По любому как угодно малому числу ε1 (положим ε1= ε/2) можно указать такое d1, что при 0<|x-a|<d1 выполняется неравенство |f(x) - A| < ε1. Аналогично можно найти такое d2, что при 0<|x-a|<d2 выполняется неравенство |g(x) - B| < ε1. Теперь возьмём d = min [d1; d2] Þ удовлетворяющие неравенству 0<|x-a|<d значения х будут также удовлетворять неравенствам |f(x) - A| < ε1 и |g(x) - B| < ε1. Получаем: |(f(x) + g(x)) - (A + B)| = |(f(x) - A) + (g(x) - B)| £ |f(x) - A| + |g(x) - B| < ε1 + ε1 = ε/2 + ε/2 = ε.
Следствие. Постоянное слагаемое или постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Первый замечательный предел.lim(x®0)(sinx/x)=1. Неопределённость вида 0/0. Пусть 0<x<p/2. Обозначим S1=пл. DAOB, S2=пл. сектора AOB, S3=пл. DAOС, OA=R. Тогда S1=R2sinx/2; S2=R2x/2 (площадь круга pR2, площадь сектора в 1 радиан pR2/2p= R2/2, площадь сектора в х радиан R2x/2); S3=R2tgx/2. Площади находятся в соотношении S1<S2<S3 Þ R2sinx/2 < R2x/2 < R2tgx/2 Þ 1 < x/sinx < 1/cosx (после деления на R2sinx/2) или 1 > sinx/x > cosx. При x®0 cosx®1, т. к. 0 £ 1-cosx = 2sin2x/2 < 2sinx/2 < x ®lim(x®+0)(sinx/x)=1. При x®-0, т. е. x<0: lim(x®-0)(sinx/x)=lim(x®-0)(sin(-x)/(-x))=lim(t®+0)(sint/t)=1, где t=-x. Пример: lim(x®0)(sin2x/sin3x)=lim(x®0)((2sin2x/2x)/(3sin3x/3x))=1.2/1.3=2/3.
Второй замечательный предел.lim(x®∞)(1+1/x)x=e. Неопределённость вида 1∞. Заменим x на n и обозначим zn=(1+1/n)n.
Докажем, что последовательность {zn} ограничена сверху. Воспользуемся формулой бинома Ньютона: (a+b)n = an + nan-1b + (n(n-1)/1.2) . an-2b2 + … + (n(n-1)…[n-(n-1)]/1.2…n) . bn. Þ zn = (1+1/n)n = 1 + n . 1/n + (n(n-1)/1.2) . (1/n)2 + (n(n-1)(n-2)/1.2.3) . (1/n)3 + … + (n(n-1)(n-2)…[n-(n-1)]/1.2.3…n) . (1/n)n. Þ zn = 1 + 1 + 1/1.2 . n/n . (n-1)/n + 1/1.2.3 . n/n . (n-1)/n . (n-2)/n + … + 1/1.2.3…n . n/n . (n-1)/n . (n-2)/n … (n-(n-1))/n. Þ zn = 2 + 1/1.2 . (1-1/n) + 1/1.2.3 . (1-1/n)(1-2/n) + … + 1/1.2.3…n . (1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n). Все числа в скобках меньше единицы, поэтому, отбросив эти множители, увеличим сумму: zn < 2 + 1/1.2 + 1/1.2.3 + … + 1/1.2.3…n. Заменим в знаменателях все множители, начиная с числа 3, меньшим числом – 2, т. о. правая часть неравенства увеличится: zn < 2 + 1/2 + 1/22 + … + 1/2n-1. По формуле суммы членов геометрической прогрессии: 1/2 + 1/22 + … + 1/2n-1 = (1/2 –1/2(1/2)n-1)/(1-1/2) = 1 – (1/2)n-1 < 1. Т. о. для любого n zn < 2 + 1 = 3 ® ограниченность сверху доказана.
Докажем, что последовательность {zn} возрастающая. Заменим в формуле zn = 2 + 1/1.2 . (1-1/n) + 1/1.2.3 . (1-1/n)(1-2/n) + … + 1/1.2.3…n . (1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n) n на (n+1) Þ zn+1 = 2 + 1/1.2 . (1-1/(n+1)) + 1/1.2.3 . (1-1/(n+1))(1-2/(n+1)) + … + 1/1.2.3…n . (1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(n-1)/(n+1)) + R, где R = 1/1.2.3…n.(n+1) . (1-1/(n+1)) … (1-n/(n+1)). Сравним zn и zn+1: все множители в скобках у zn+1 больше, т. к. знаменатели у вычитаемых увеличились, и из 1 стало вычитаться меньшее число Þ увеличились и сами слагаемые; добавилось «+» слагаемое R. Итак, zn+1 > zn Þ последовательность {zn} возрастающая.
По теореме об ограниченной монотонной последовательности возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел; этот предел обозначают буквой е: limzn=e. Þ lim(n®∞)(1+1/n)n=e Þ lim(x®∞)(1+1/x)x=e. е – иррациональное число, е » 2,7. Пример: lim(x®∞)(1+1/x)2x=lim(x®∞)[(1+1/x)x]2=e2.
Сравнение бесконечно малых функций.Определение 1: бесконечно малые a(х) и b(х) имеют одинаковый порядок малости, если предел их отношения равен конечному числу, отличному от нуля: lim[a(х)/b(х)]=c¹0. При с=1 a(х) и b(х) называют эквивалентными.
Определение 2: a(х) называют бесконечно малой более высокого порядка малости, чем b(х), если отношение a(х)/b(х) есть бесконечно малая: lim[a(х)/b(х)]=0. Применяется запись a(х)=о[b(х)].
Определение 3: a(х) называют бесконечно малой порядка n (n - натуральное число) по сравнению с бесконечно малой b(х), если lim[a(х)/|b(х)|n]=c¹0
В случае, когда с=0, т. е. a(х)=о[bn(х)], говорят, что a(х) имеет более высокий, чем n, порядок малости относительно бесконечно малой b(х).
Непрерывность функции в точке.Функция y=f(x), определённая в точке x0 и в некоторой её окрестности, называется непрерывной в этой точке, если её приращение Dу стремится к нулю при любом способе стремления к нулю приращения Dх.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполняются три условия:
y=f(x) определена в точке x0 и в некоторой её окрестности; существует lim(x®x0)f(x); lim(x®x0)f(x)=f(x0). Классификация точек разрыва.Разрыв 1-го рода. Говорят, что в точке x=x0 функция терпит разрыв 1-го рода, если она в этой точке разрывна, но её конечные пределы слева и справа существуют. Типы:
1) пределы слева и справа не равны друг другу;
2) пределы равны - lim(x®x0-0)f(x)=lim(x®x0+0)f(x)=А, но
a. функция f(x) не определена в точке xo;
b. функция f(x) определена в точке x=x0, но f(x0)¹A.
Разрывы типа 2 называют устранимыми, т. к. определив или переопределив значение функции в точке x0, можно сделать эту функцию непрерывной в точке х0 (нужно положить f(x0)=A).
Разрыв 2-го рода. Если разрыв функции в точке x=x0 не является разрывом 1-го рода, то его называют разрывом 2-го рода.
Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями.Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x=x0, то непрерывны в этой точке и их сумма, разность, произведение и частное (для частного теорема верна при условии, что g(x0)¹0). Док-во (для произведения): пусть lim(x®x0)f(x)=f(x0), lim(x®x0)g(x)=g(x0) Þ функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0. По теореме о пределе произведения функций: lim(x®x0)[f(x) . g(x)] = lim(x®x0)g(x) . lim(x®x0)f(x) = f(x0) . g(x0) Þ непрерывность произведения f(x) . g(x) доказана.
Теорема о непрерывности сложной функции.Пусть функция u=j(х) непрерывна в точке x=x0, j(х0)=u0 и функция y=f(u) непрерывна в точке u=u0. Тогда сложная функция y=F(x)=f[j(х)] непрерывна в точке x=x0. Док-во: рассмотрим произвольную последовательность xn, сходящуюся к x0, члены которой взяты из области определения функции u=j(х): j(х) непрерывна Þ un=j(хn) Þ j(х0)=u0. Если un®u0 Þ f(un)®f(u0) (ф-ия y=f(u) непрерывна). Получается, что для произвольной последовательности xn, xn®x0, последовательность F(xn)=f(un)=f[j(хn)] сходится к F(x0) Þ сложная функция y=F(x)=f[j(х)] непрерывна в точке x=x0 (теорема доказана с использованием определения предела по Гейне).
Непрерывность элементарных функций.Основные элементарные функции: степенные функции, показательные функции, логарифмические функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции. Элементарной называют функцию, образованную из основных элементарных функций и постоянных чисел при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции. Элементарные функции непрерывны. Рассмотрим 2 примера:
y=f(x)=x2. Пусть x0 - произвольная точка числовой оси. f(x0)=x02, f(x0+Dx) = (x0+Dx)2, f(x0+Dx) - f(x0) = x02 + 2 . x0 . Dx + Dx2 - x02 = 2 . x0 . Dx + Dx2. При Dx®0 Þ (2 . x0 . Dx + Dx2)®0 Þ ф-ия (y-x2) непрерывна для любого x Î (-¥;+¥) по определению. y=f(x)=sinx. |sinx|£|x|. Рассмотрим неравенство |sin(Dx/2)|£|Dx/2| для 0<|Dx/2|<p/2. Составим выражение приращения sinx, соответствующее приращению Dx аргумента x: Dy = sin(x0+Dx) - sinx0 = 2sin(Dx/2)cos(x0+(Dx/2)). |cos(x0+(Dx/2))|£1 Þ |Dy| = 2|sin(Dx/2)||cos(x0+(Dx/2))| £ 2|sin(Dx/2)| £ 2|Dx/2| = |Dx|. Но если |Dy|£|Dx|, то при Dx®0 будет Dy®0 Þ непрерывность синуса доказана. Теоремы Вейерштрасса (2-я с доказательством).Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она на нём ограничена. $K>0: "xÎ[a, b]: |f(x)|£K
Вторая теорема Вейерштрасса. Функция f(x), непрерывная в замкнутом промежутке [a, b], достигает на этом промежутке своих точных верхней и нижней границ. Док-во: ф-ия f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a, b] Þ по 1ой т. В. она на нём ограничена Þ существуют m=infa£x£bf(x) и M=supa£x£bf(x). Докажем, что на отрезке [a, b] найдутся такие числа x1 и x2, для которых m=f(x1) и M=f(x2).
Докажем существование такого значения x=x2, что M=maxa£x£bf(x)=f(x2): предположим что "xÎ[a, b]: f(x)<M. Образуем вспомогательную ф-ию F(x)=1/(M-f(x)) – эта ф-ия непрерывна, т. к. числитель и знаменатель непрерывны (знаменатель не обращается в нуль – по предположению M-f(x)>0). По 1ой т. В. ф-ия F(x) ограничена сверху: F(x)=1/(M-f(x)) £ K, где К – «+» число. Преобразуя неравенство получим M-f(x) ³ 1/K, f(x) £ M – 1/K для любого xÎ[a, b] – это противоречит тому, что число M является точной верхней границей.
Аналогично проводится доказательство для точной нижней границы. Т. о., теорема доказана.
Теоремы Больцано-Коши (2-я с доказательством).Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между a и b найдётся такая точка x=c, в которой функция f(x) обращается в ноль.
Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некотором промежутке и в точках x1 и x2 этого промежутка принимает неравные значения f(x1)=A1, f(x2)=A2. Каково бы ни было число С, заключённое между числами А1 и А2, существует такое значение х=с, находящееся между точками х1 и х2, что f(c)=C. Док-во: положим, что x1<x2 и A1<A2. Пусть С выбрано, А1<C<A2. Образуем вспомогательную ф-ию F(x)=f(x)-C. К этой ф-ии и к промежутку [x1,x2] применим 1ую т. Б.-К., все условия которой для F(x) и [x1,x2] выполняются (в частности F(x1)<0, F(x2)>0) Þ Найдётся такая точка сÎ(x1,x2), что F(c)=0 Þ f(c)-C=0, т. е. f(c)=C. Теорема доказана.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а на его концах выражение f(x)-x принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] содержится неподвижная точка ф-ии f(x). (Эта теорема – следствие из 1ой т. Б.-К.)
Понятие производной. Её геометрический и механический смысл.Если существует предел отношения приращения ф-ии Dy=f(x0+Dx)-f(x0) к приращению аргумента Dx, когда Dx стремится к нулю, то этот предел называют производной функции в точке x0.
f’(x)=lim(Dx®0)Dy/Dx=lim(Dx®0)(f(x+Dx)-f(x))/Dx
Геометрический смысл производной. На графике ф-ии y=f(x) указаны приращения Dx и Dy. Через точки A(x0, f(x0)) и M(x0+Dx, f(x0+Dx)) проведена секущая AM. Dy/Dx=tgj, где j - угол секущей с «+» направлением оси Ох. При Dx®0 точка М будет стремиться к точке А, секущая в пределе займёт положение касательной, пределом же угла j является угол a. Þ f’(x)=lim(Dx®0)Dy/Dx=lim(Dx®0)tgj=tga=k, где k – угловой коэффициент касательной. Т. о., значение производной в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии y=f(x) в точке (x0,f(x0)) – в этом и состоит геометрический смысл производной.
Ур-е касательной: y=f’(x0)(x-x0) + f(x0). Нормаль к кривой – прямая, проведённая через точку касания ^ касательной. Ур-е нормали: y=-1/f’(x0) . (x-x0) + f(x0)
Выводы из геометрического смыла производной: 1) если f’(x)>0 в каком-либо промежутке (a, b), то ф-ия f(x) возрастает в этом промежутке, и чем больше f’(x), тем быстрее; 2) если f’(x)<0, т. е. tga<0 и угол a - тупой, то ф-ия f(x) убывает, причём тем быстрее, чем больше |f(x)|.
Механический смысл производной. Предположим, что точка М движется неравномерно по прямой (прямую примем за ось Os). Расстояние точки М от начала координат изменяется, является ф-ией t – s=s(t). Средняя скорость Vср движения на участке то точки M1 с координатой s(t) до точки M2 с координатой s(t+Dt) выражается формулой Vср=Ds/Dt=(s(t+Dt)-s(t))/Dt. Vср грубо характеризует быстроту движения точки М, поэтому вводится понятие мгновенной скорости: Vмгн=lim(Dt®0)Vср=lim(Dt®0)Ds/Dt=s’(t). Т. о. производной s’(t) приписывается механический смысл – это скорость в момент времени t точки, движение которой описывается уравнением s=s(t).
Если движение точки в пространстве задаётся с помощью векторной функции`s(t) =`ix(t) +`jy(t) +`kz(t) = {x(t),y(t),z(t)} , то вектор её скорости`V(t) получается путём дифференцирования этой функции по формуле`V(t) = d`s / dt = {dx/dt, dy/dt, dz/dt}.
Связь между существованием производной и непрерывностью.1) Из непрерывности ф-ии f(x) в точке x0 не следует существование производной f’(x) в той же точке. (Напр., y=|x|)
2) Если ф-ия f(x) обладает производной f’(x) в точке х0, то она непрерывна в этой точке. Док-во: если существует lim(Dx®0)Dy/Dx=f’(x0), то по теореме о разности между функцией и её пределом (в.15) Dy/Dx=f'(x0)+a, где a - бесконечно малая при Dx®0 Þ Dy = f’(x0)Dx + a.Dx. Оба слагаемых в правой части стремятся к нулю при Dx®0 Þ Dy®0 Þ ф-ия непрерывна по определению.
Теорема о производной суммы, произведения, частного.Пусть ф-ии u=u(x) и v=v(x) имеют конечные производные в точке х. Тогда верны формулы: (u±v)’=u’±v’; (uv)’=u’v+v’u; (u/v)’=(u’v-v’u)/v2. Докажем вторую формулу: дадим х приращение Dx Þ приращения получат ф-ии u и v: D(uv) = (u+Du)(v+Dv) – uv = Du . v + Dv . u + Du . Dv. Делим обе части равенства на Dх: D(uv)/Dx = (Du.v)/Dx + (Dv.u)/Dx + (Du.Dv)/Dx. При Dx®0 отношения Du/Dx и Dv/Dx стремятся к конечным пределам u’ и v’, произведение (Du/Dx . Dv) стремится к нулю, т. к. Dv®0 Þ (u . v)’ = lim(Dx®0)D(uv)/Dx = u’v +v’u.
Пусть сложная ф-ия y=F(x) получена с помощью суперпозиции функции y=f(u) (внешняя ф-ия) и ф-ии u=j(x) (внутренняя ф-ия), т. е. y=F(x)=f[j(x)]. Предположим, что j(x0)=u0 и конечные производные j’x(x) в точке х0, f’u(u) в точке u0 существуют.
Дадим аргументу х приращения Dx¹0 Þ приращение получит u. К ф-ии y=f(u) применим формулу Dy=f’(x0)Dx + a.Dx, имеющую смысл только при Dx¹0: Dy=f’u(u)Du + a.Du (при Du¹0; при Du=0 a=0). limDu®0a=0 и Du®0 при Dx®0. Поделим обе части равенства на Dх¹0 и перейдём к пределу при Dx®0: lim(Dx®0)Dy/Dx = lim(Dx®0)(f’u(u0) . Du/Dx) + lim(Dx®0)(a . Du/Dx) = f’u(u0) . lim(Dx®0)Du/Dx + lim(Dx®0)a . lim(Dx®0)Du/Dx = f’u(u0) . j’x(x0) + 0 . j’x(x0). Заменив x0, u0 на x, u, получим F’x(x) = f’u(u) . j’x(x) или F’x(x) = f’u[j(x)] . j’x(x) или y’x = y’u . u’x или dy/dx = dy/du . du/dx.
Таблица производных. Вывод производных синуса, логарифма, степенной и показательной функции.Таблица производных: 1) (xn)’=nxn-1, x’=1; 2) (ax)’=axlna; (ex)’=ex; 3) (logax)’=1/xlna; (lnx)’=1/x; 4) (sinx)’=cosx; 5) (cosx)’=-sinx; 6) (tgx)’=1/cos2x; 7) (ctgx)’=-1/sin2x; 8) (arcsinx)’=1/Ö(1-x2); 9) (arccosx)’=-1/Ö(1-x2); 10) (arctgx)’=1/(1+x2); 11) (arcctgx)’=-1/(1+x2).
y=sinx. (sinx)’ = lim(Dx®0)Dy/Dx = lim(Dx®0)(sin(x+Dx)-sinx)/Dx = lim(Dx®0)(2sin(Dx/2)cos(x+Dx/2))/Dx = lim(Dx®0)(sin(Dx/2)/(Dx/2)) . lim(Dx®0)cos(x+Dx/2) = 1 . cosx = cosx.
y=logax (x>0). Воспользуемся непрерывностью логарифмической ф-ии и равенствами limu®0(1+u)1/u=e, logab=(logba)-1. Dy/Dx = (loga(x+Dx)-logax)/Dx = 1/Dx . loga((x+Dx)/x) = 1/x . x/Dx . loga(1+Dx/x) = 1/x . loga[(1+Dx/x)x/Dx]. lim(Dx®0)Dy/Dx = lim(Dx®0)1/x . loga[(1+Dx/x)x/Dx] = 1/x . limu®0loga(1+u)1/u = 1/x . logae = 1/xlna. В частности, (lnx)’=1/x.
y=ax. Обратной ф-ией является ф-ия x=logay. По формуле производной от обратной ф-ии получим: y’x=1/x’y=1:1/ylna=axlna. В частности, (ex)’=ex.
y=xn. (n – любое действительное число). Проделаем вывод формулы только для натурального n. Применим формулу бинома Ньютона, получим: (x+Dx)n = xn + nxn-1Dx + (n(n-1))/1.2 . xn-2Dx2 + … + Dxn. Dy/Dx = ((x+Dx)n-xn)/Dx = nxn-1 + (n(n-1))/1.2 . xn-2Dx2 + … + Dxn-1. При Dx®0 все члены, начиная со второго, стремятся к нулю Þ lim(Dx®0)(Dy/Dx)=nxn-1 Þ (xn)’=nxn-1.
Производная обратной функции. Вывод формулы производной арксинуса.Производная обратной ф-ии. Пусть ф-ия y=f(x) строго монотонна в интервале (a, b) и имеет конечную не равную нулю производную f’(x). Тогда обратная ф-ия x=g(y) также имеет производную, определяемую равенством g’(y)=1/f’(x). В правой части после вычисления производной f’(x) переменная х заменяется на x=g(y). Док-во: дадим у приращение Dу¹0 – ему будет соответствовать приращение Dх обратной ф-ии x=g(y). Ввиду строгой монотонности Dх¹0, а в силу непрерывности при Dу®0 будет Dx®0. Можно записать Dx/Dу=1/(Dу/Dx) и перейти к пределу при Dу®0: g’(y) = limDу®0Dx/Dу = 1 / limDx®0Dу/Dx = 1/f’(x) = 1/f’x[g(y)].
Вывод формулы производной арксинуса. y=arcsinx. Перейдём к обратной ф-ии x=siny: y’x = 1/x’y = 1/(siny)’y = 1/cosy. Но cosy = Ö(1-sin2y) = Ö(1-x2) Þ (arcsinx)’=1/Ö(1-x2).
Дифференциал. Его геометрический смысл.Если ф-ия y=f(x) имеет конечную производную f’(x) в точке х, то главная линейная часть приращения ф-ии, т. е. f’(x)Dх, называется её дифференциалом и обозначается dy (иногда dy называют дифференциалом 1го порядка). dy=f’(x)dx
Ф-ия y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение Dу может быть представлено в виде Dу=АDx+g, где А – постоянное число, не зависящее от Dx, а слагаемое g - бесконечно малая при Dx®0, имеющая порядок малости больший, чем Dx (limDx®0g/Dx=0).
Ф-ию f(x) называют непрерывно дифференцируемой, если её производная f’(x) непрерывна.
Геометрический смысл дифференциала. Выразим величину ВС: ВС = Dx . tga = f’(x)Dx = dy. Поэтому говорят, что Dу – это приращение ординаты точки кривой – графика ф-ии, а dy – приращение ординаты точки касательной. Dу = f’(x) . Dx + a . Dx Þ Dу – dy = a . Dx, т. е. разность между приращением ф-ии и её дифференциалом является бесконечно малой более высокого порядка, чем Dx Þ при малых величинах Dx можно вместо формулы f(x+Dx)=f(x)+Dy использовать формулу f(x+Dx)»f(x)+dy.
Теорема Ролля.Если ф-ия y=f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a, b) и на концах промежутка её значения совпадают f(a)=f(b), то внутри промежутка найдётся такая точка x=c, что f’(c)=0. Док-во: если ф-ия сохраняет постоянное значение на промежутке [a, b], f(x)=f(a)=f(b), то f’(x)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a, b). Если ф-ия f(x) не является постоянной: по т. В. существуют точки x1 и x2 на отрезке [a, b], в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения ф-ии. Обе эти точки не могут располагаться на концах отрезка [a, b] (из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m=M Þ ф-ия f(x) сохраняла бы постоянное значение): допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х1, т. е. а<x1<b Þ точка x1 является точкой локального экстремума; существует f’(x1) (по усл.) Þ f’(x1)=0 (по т. Ф.) Þ х1 можно принять за точку с. Теорема доказана.
Геометрический смысл: при условиях теоремы на графике существует точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.
Теорема Лагранжа.Если ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема хотя бы в интервале (a, b), то существует такая точка сÎ(a, b), что f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Док-во: применим т. К. к ф-иям f(x) и g(x)=x (для них выполняются все условия этой теоремы, включая g’(x)¹0). Учитывая, что g(b)=b, g(a)=a, g’(x)=1, получим (f(a)-f(b))/(b-a)=f’(c)/1, где с – точка, существующая в силу т. К. в интервале (a, b). Умножив обе части на b-a, придём к формуле f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) (формула Лагранжа / формула конечных приращений).
Геометрический смысл: при условиях теоремы на графике существует точка, в которой касательная параллельна хорде.
Теорема Коши.Пусть ф-ии y=f(x) и y=g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируем хотя бы в открытом промежутке (a, b) и на этом промежутке g’(x) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка сÎ(a, b), что выполняется равенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c). Док-во: знаменатель 1ой дроби (g(b)-g(a))¹0 (из равенства g(b)=g(a) по т. Р. производная g’(x) обращается в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a, b), а это противоречит условию g’(x)¹0). Образуем вспомогательную ф-ию: F(x) = f(x) - f(a) - (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) . [g(x)-g(a)] – к ней применима т. Р.: F(x) непрерывна в [a, b] и дифференцируема в (a, b) как сумма ф-ий, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того F(a)=F(b)=0 Þ существует точка сÎ(a, b) такая, что F’(c)=0. F’(x) = f’(x) – (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) . g’(x). Подставляем x=c: f’(c) – (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) . g’(c) = 0. После деления на g’(x) приходим к формуле (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c).
Пусть выполнены следующие условия:
1) Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.
2) limx®af(x)=limx®ag(x)=0.
3) g(x) и g’(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.
Если при этом существует limx®a(f’(x)/g’(x)), то существует и limx®a(f(x)/g(x)), причём limx®a(f(x)/g(x))= limx®a(f’(x)/g’(x)). Док-во: доопределим ф-ии f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами х и а, где х – точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Положим x<a. Обе ф-ии на отрезке [x, a] непрерывны, а в интервале (x, a) дифференцируемы Þ удовлетворяют условиям т. К. Þ существует такая точка сÎ(х, а), что выполняется равенство (f(a)-f(x))/(g(a)-g(x))=f’(c)/g’(c) или f(x)/g(x)=f’(c)/g’(c), т. к. f(a)=g(a)=0. При x®а будет с®а (x<c<a). По усл. т. существует limx®a(f’(x)/g’(x)); заменим х на с; перейдём к пределу в равенстве f(x)/g(x)=f’(c)/g’(c) при x®а: limx®a(f(x)/g(x))= limс®a(f’(с)/g’(с)) или limx®a(f(x)/g(x))= limx®a(f’(x)/g’(x)) (что то же самое).
Примечание: правило Л. можно применять и для раскрытия неопределённости вида ¥/¥; применимо оно и тогда, когда х®¥.
Теорема Ферма.Если ф-ия y=f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная f’(x0) равна нулю. Док-во (для максимума в точке х0): пусть (х0-d, х0+d) – та окрестность, для точек которой выполняется неравенство Dу = f(x0+Dx) - f(x0) £ 0 (|Dx|<d). При Dx>0 будет Dy/Dx£0, поэтому f’пр(х0) = limDx®+0Dy/Dx£0; при Dx<0 будет Dy/Dx³0 поэтому f’л(x0) = limDx®+0Dy/Dx³0. По усл. т. существует производная f’(x0) Þ f’пр(х0) = f’л(x0) = f’(x0) Þ с одной стороны f’(x0)£0, с другой стороны f’(x0)³0, что возможно лишь тогда, когда f’(x0)=0.
Геометрический смысл: в случае максимума и в случае минимума касательные к графику в точке (x0,f(x0)) параллельны оси Ox.
Достаточное условие локального экстремума.1) С помощью первой производной. Предположим, что в некоторой окрестности точки х0 существует f’(x) (в самой точке х0 производная может не существовать). Если в достаточно малой окрестности точки х0 f’(x)>0 при x<x0 и f’(x)<0 при x>x0, то в точке х0 имеется максимум. Если в достаточно малой окрестности точки х0 f’(x)<0 при x<x0 и f’(x)>0 при x>x0, то в точке х0 имеется минимум.
2) С помощью второй производной. Предположим, что в некоторой окрестности точки х0, в том числе и в самой точке х0, существует первая производная f’(x); в точке х0 существует вторая производная f’’(x0). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем f’(x0)=0. Посмотрим теперь на f’’(x) как на первую производную от ф-ии f’(x): f’’(x) = d/dx . f’(x). Допустим, что f’’(x0)>0: это означает, что f’(x) возрастает при переходе от значений x<x0 к значениям x>x0. Но f’(x0)=0, поэтому возрастание f’(x) осуществится только в случае f’(x)<0 при x<x0 и f’(x)>0 при x>x0 Þ получается минимум в точке х0. Итак, если f’(x0)=0, а f’’(x0)>0, то ф-ия y=f(x) имеет в точке х0 локальный минимум; если f’(x0)=0, а f’’(x0)<0, то ф-ия y=f(x) имеет в точке х0 локальный максимум.
Исследование направления выпуклости функции и точек перегиба.Ф-ия y=f(x) и её график называются выпуклыми на интервале (a, b), если на этом интервале график ф-ии лежит ниже любой своей касательной. (Аналогично для вогнутости.) Точка на кривой, в которой выпуклость переходит в вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.
Предположим, что ф-ия y=f(x) обладает f’(x) и f’’(x). Знак второй производной определяет возрастание или убывание первой, т. к. f’’(x) = d/dx . f’(x). Предположим, что ф-ия y=f(x) выпуклая на интервале (a, b), и точка х0Î(a, b). При переходе слева направо через точку х0 угол, который касательная к кривой образует с осью Ох, становится острее, т. е. уменьшается Þ тангенс этого угла, равный f’(x), также уменьшается Þ f’’(x)<0. Отрицательность второй производной является не только необходимым, но и достаточным условием выпуклости. Положительность второй производной необходима и достаточна для вогнутости.
З. Ы. локальный экстремум ф-ии, выпуклой или вогнутой на промежутке, является глобальным максимумом или минимумом.
Асимптоты функции.Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.
Нахождение вертикальных асимптот. Ищутся конечные значения х=а, при которых limx®af(x)=¥, либо limx®a+0f(x)=¥ или limx®a-0f(x)=¥. Существование такого значении часто связано с обращением в нуль знаменателя дроби.
Нахождение горизонтальных асимптот. Если существует limx®+¥f(x)=A или существует limx®-¥f(x)=B, то кривая имеет горизонтальную асимптоту y=A или y=B.
Нахождение наклонных асимптот. Пусть y=kx+b – асимптота кривой y=f(x) при x®+¥. Угол j сохраняет постоянное значение, a=j. Из DKLM KM=MLcosa Þ KM и ML стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b) Þ limx®+¥[f(x)-(kx+b)]=0 Þ limx®+¥x[f(x)/x – k + b/x]=0 Þ limx®+¥[f(x)/x – k + b/x]=0 Þ limx®+¥[f(x)/x – k]=0 (limx®+¥b/x=0) Þ k=limx®+¥f(x)/x Þ из равенства limx®+¥[f(x)-(kx+b)]=0 находим b: b=limx®+¥[f(x)-kx] Существование этих 2х пределов не только необходимо, но и достаточно, чтобы прямая y=kx+b была асимптотой кривой y=f(x).
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена.f(x) = f(x0) + f’(x0)(x-x0) + 1/2! . f’’(x0)(x-x0)2 + … + 1/n! . f(n)(x0)(x-x0)n + Rn. Этой формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х0 существует непрерывная производная f(n+1)(x) и значения х принадлежат этой окрестности. Rn – остаточный член. Форма Лагранжа: Rn = 1/(n+1)! . f(n+1)(c)(x-x0)n+1. Здесь с – какое-то число, о котором известно только то, что оно находится между х0 и х.
При х0=0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена. Её общий вид: f(x) = f(0) + f’(0)x + 1/2! . f’’(0)x2 + … + 1/n! . f(n)(0)xn + 1/(n+1)! . f(n+1)(c)xn+1 (остаточный член представлен в форме Лагранжа, число с содержится между нулём и х).
Необходимый признак сходимости числового ряда.Пусть дана бесконечная числовая последовательность а1, а2, а3, …, аn, … . Выражение a1+a2+a3+…+an+…, или Sn=1¥an, называется бесконечным рядом. Числа а1, а2, а3, …, аn, … называются членами ряда. Сумма Sn= a1+a2+a3+…+an n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой. Если существует конечный предел S=limn®¥Sn, то его называют суммой ряда, а ряд называют сходящимся. Если предел не существует (напр., Sn®¥), то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.
Необходимый признак сходимости ряда: если ряд San сходится, то его общий член аn стремится к нулю при n®¥. Док-во: пусть Sn= a1+a2+a3+…+an и limSn=S. Очевидно, limSn-1 = lim(a1+a2+…+an-1) = S. Можно записать an = Sn-Sn-1. При n®¥ также и (n-1)®¥, поэтому liman = lim(Sn-Sn-1) = limSn – limSn-1 = S – S = 0.
Данный признак не является достаточным – докажем с помощью примера: т. н. гармонический ряд 1 + ½ +1/3 + … + 1/n + … . Его общий член an=1/n стремится к нулю при n®¥, тогда как ряд расходится.
Следствие. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
Признак сравнения для числовых рядов с положительными членами.Пусть даны два ряда San (an>0) и Sbn (bn>0), и для любого n выполняется неравенство an£bn. Если сходится ряд Sbn, то сходится и ряд San. Ряд Sbn называют мажорирующим для ряда San. Если расходится ряд San, то расходится и ряд Sbn.
Признак Даламбера.Если в ряде a1+a2+a3+…+an+… (an>0) отношение последующего ряда к предыдущему имеет конечный предел l: lim(an+1/an)=l, то при l<1 ряд сходится, при l>1 расходится. Говорят, что при l=1 признак Даламбера ответа не даёт.
Абсолютная и условная сходимость ряда.Ряд a1+a2+a3+…+an+… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|+…, составленный из абсолютных величин членов данного ряда. Если ряд |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|+… расходится, а ряд a1+a2+a3+…+an+… сходится, то ряд a1+a2+a3+…+an+… называется условно сходящимся.
Признак Лейбница.Если в знакочередующемся ряде a1-a2+a3-a4+… (an>0) члены, монотонно убывая по абсолютной величине, стремятся к нулю, то ряд сходится. По этому признаку ряд 1 + ½ +1/3 + … + 1/n + … сходится. Однако сходимость эта условная, т. к. ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, есть гармонический ряд, который, как известно, расходится.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.Ряд u1(x)+u2(x)+…+un(x)+… , члены которого являются функциями х, называется функциональным. Множество значений х, для которых ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда. Сумма функционального ряда в той области, где он сходится, есть некоторая ф-ия Sn=1¥un(x)=s(x). Степенные ряды – частный случай функциональных рядов.
Степенным называется ряд вида a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+… , где ai (i=0,1,2…) – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Для простоты изучают ряд при х0=0: a0+a1x+a2x2+…+anxn+… . Всякий ряд такого типа сходится при х=0. Если для других значений х ряд расходится, его называют всюду расходящимся.
Теорема Абеля. Если степенной ряд a0+a1x+a2x2+…+anxn+… сходится при некотором значении х=x, то он сходится абсолютно при всех значениях х, для которых |x|<|x|. Наоборот, если ряд расходится при х=x, то он расходится и при всех значениях х, для которых |x|>|x|. Док-во: предположим, что числовой ряд a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (x¹0) сходится Þ anxn®0 Þ последовательность anxn ограничена, т. е. существует число M>0 такое, что для любого n |anxn|£M. Пусть х – любое число с условием |x|<|x|; обозначим q=|x/x|<1 Þ |anxn| = |anxn . xn/xn| = |anxn| . |xn/xn| £ Mqn. Ряд Sn=1¥Mqn сходится (его члены образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 0<q<1) Þ по признаку сравнения ряд a0+a1x+a2x2+…+anxn+… сходится абсолютно. Допустим, что ряд сходится при некотором |x|>|x| Þ по первой части теоремы он должен сходиться и при х=x, что противоречит условию.
Следствие. Для всякого степенного ряда, кроме всюду расходящегося, существует такое «+» число R, называемое радиусом сходимости (возможно и R=+¥), что ряд сходится для любого числа xÎ(-R, R), и расходится при |x|>R (если R¹+¥). Промежуток (-R, R) называют интервалом сходимости. Формула для вычисления радиуса сходимости (применима, если предел существует): R=limn®¥|an/an+1|.
Ряды Тейлора. Разложение экспоненты, синуса, косинуса в ряд Маклорена. Формулы Эйлера.Формула Тейлора: f(x) = f(x0) + f’(x0)(x-x0) + 1/2! . f’’(x0)(x-x0)2 + … + 1/n! . f(n)(x0)(x-x0)n + Rn. Если в некоторой окрестности точки х0 ф-ия f(x) имеет производные всех порядков, то можно написать ряд f(x0) + f’(x0)(x-x0) + 1/2! . f’’(x0)(x-x0)2 + … + 1/n! . f(n)(x0)(x-x0)n + … , называемый рядом Тейлора ф-ии f(x). Если limn®¥Rn(x)=0 в некоторой окрестности точки х0, то ряд Тейлора сходится в этой окрестности к ф-ии f(x).
При х0=0 ряд Тейлора называют рядом Маклорена: f(0) + f’(0)x + 1/2! . f’’(0)x2 + … + 1/n! . f(n)(0)xn + …. Этот ряд называют разложением ф-ии f(x) в ряд Маклорена.
Разложение ех. Пусть f(x)=ex Þ f(n)(x)=ex. Подставим эти значения в формулу ряда Маклорена: ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + … + xn/n! + … . Находим радиус сходимости: R = limn®¥|an/an+1| = limn®¥1/n! : 1/(n+1)! = limn®¥(n+1) = +¥ Þ ряд сходится при любом числе х.
Разложение sinx. Пусть f(x)=sinx. Найдём формулу для f(n)(x): f’(x)=cosx=sin(x+p/2). Þ f’’(x) = sin(x+p/2+p/2) = sin(x + 2 . p/2) Þ f(n)(x) = sin(x + n . p/2), а f(n)(0) = sin(n . p/2). Если n=2m (чётное число), то f(n)(0) = sin(mp) = 0. Если же n=1,3,5,7,…, то: f’(0) = sinp/2 = 1; f’’’(0) = sin3p/2 = -1; f(5)(0) = sin5p/2 = 1; f(7)(0) = sin7p/2 = -1 и т. д. Ряд Маклорена для ф-ии sinx имеет вид: sinx = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + … . Аналогично cosx = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + … (разложение cosx)). Радиусы сходимости рядов Маклорена для ф-ий sinx и cosx равны +¥.
Формулы Эйлера. С помощью формул рядов Маклорена для ф-ий ех, sinx и cosx Эйлер нашёл связь между этими ф-иями. Он разложил в ряд ф-ию eix (i2=-1, i3=-1, i4=1): eix = 1 + ix – 1/2! . x2 – i . 1/3! . x3 + 1/4! . x4 + i . 1/5! . x5 – 1/6! . x6 – i . 1/7! . x7 + … . Собрав вместе члены, не содержащие i и содержащие i, Эйлер получил формулу: eix = (1 – 1/2! . x2 + 1/4! . x4 – 1/6! . x6 + …) + i(x - 1/3! . x3 + 1/5! . x5 - 1/7! . x7 + …). Это равенство можно записать в виде eix = cosx + isinx. Заменяя i на –I получим e-ix = cosx – isinx. Складывая и вычитая почленно две последние формулы приходим к равенствам: cosx = (eix + e-ix)/2; sinx = (eix - e-ix)/2i – это формулы Эйлера.
Благодарности можно посылать на *****@***ru или на icq :-))
sincerely yours, Дима Крайнов
