Разработка мультимедиа-сопровождения урока по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) с элементами демонстрационного эксперимента в соответствии с рабочей программой профильного уровня

75.3.2.2 Разработка мультимедиа-сопровождения урока по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) с элементами демонстрационного эксперимента в соответствии с рабочей программой профильного уровня

Системы аналитических вычислений привлекают исследователей не только своими возможностями реализации алгоритмов построения аналитических решений, но и развитой графикой, начиная от построения простейших двумерных кривых и заканчивая сложными трехмерными поверхностями и анимацией двумерных и трехмерных изображений. В любой момент пользователь может отобразить результаты своих вычислений в виде графических образов, которые, как известно, более информативны, чем скупые ряды цифр.

В качестве программы, создающей мультимедиа - сопровождения урока по математике с элементами демонстрационного эксперимента выбрана система Мaple, имеющая наиболее продвинутые возможности по созданию графического представления объектов математики: собственно графиков функций, их анимации, решений уравнений и неравенств и т. д. Одновременно этот пакет позволяет решать уравнения, считать (в символьном виде) производные, перемножать скобки с символьными выражениями и раскладывать на множители целые числа и алгебраические выражения.

В настоящем отчете приведены примеры мультимедийных презентаций:

·  построения графиков, заданных в декартовой, полярной, параметрической и неявной форме;

·  вычисление производных и простейших пределов, нахождение критических точек;

·  анимация параметрически заданных графиков;

·  геометрическое решение уравнений.

Ниже приводятся сеансы презентаций, то есть команды в среде Мaple вместе с соответствующие результатами выполнения этих команд. С тем, чтобы учителя школ имели справочный материал по используемым средствам Мaple, в отчете приводятся краткие описания используемых команд и используемый в них синтаксис.

При использовании компьютера в мультимедийном сопровождении урока легко заменить функции, уравнении, диапазоны отображения, скорость воспроизведения анимации, цвет линий и множество других параметров. Это позволяет экспериментировать с методами построения графиков в широких пределах.

Требуется обучение учителей и учащихся простейшим приемам работы в среде Мaple. Учителя проходят обучение в компьютерном центре МГТУГА.

Ученики получают на руки распечатанные образцы сеансов в Мaple с тем, чтобы выполнить аналогичную работу в соответствии со своим индивидуальным заданием (как вариант, задание может выдаваться на двоих). Обучение интерфейсу программы и простейшим приемам работы происходит во время выполнения таких занятий.

Выбор пакета диктуется удобством его использования, ценой легальной копии и другими соображениями. В качестве альтернативы довольно дорогому пакету Мaple можно упомянуть свободно распространяемые в Интернете программные средства визуализации математики как Maxima (http:///projects/maxima/ Программа установщик вместе с оболочкой. Русские руководства - http://maxima. /ru/documentation. html) , имеющая сопоставимые возможности, а также «Математический конструктор» (http://collection. edu. *****/catalog/rubr/903077b-b549-b236326d48d4/114351/?interface=tla&sort=) или «Открытая математика» (http://www. *****/a345243.htm), обладающие существенно меньшими возможностями.

Графическое нахождение корней уравнения:

Метод изменения масштаба.

Среди методов решения уравнений графическое решение занимает особое место:

·  во-первых, учащиеся могут выполнять все построения в классе без всяких приборов;

·  во-вторых, решение наглядно;

·  и в третьих, служит повторением графиков функций.

С привлечением компьютеров появляется возможность гарантировать необходимую точность, с которой находится корень( точнее находим интервал в котором лежит корень).

Задача 1 С точностью до 0,001 определить корни уравнения

Нарисуем график

Рис. 1

Напомним, что внутри команды plot (построить) стоит функция, чей график будет построен, а через запятую – диапазон независимой переменной

Один из корней точный и виден сразу.

Другой корень лежит в интервале

 

Рис. 2

Ответ “почти “ виден, но это только кажется. Уточним, изменив диапазон графика

Рис.3.

График становится почти прямой линией, что характерно для непрерывно дифференцируемых функций.

  Рис. 4.

Ответ:

Задача 2. Найти положительный корень уравнения

С точностью до 0,01.

>

Рис. 5.

Виден интервал, на котором находятся корни. Изменяем диапазон по х, заодно указывая и диапазон по зависимой переменной (y=-5..8).

>

Рис.6

Положительный корень находится между 1.5 и 2. Соответственно меняем диапазон переменных на графике

>

Рис.7

Еще одно уточнение - на следующем графике:

Рис. 8

Ответ:

Задача 3. Сколько корней имеет уравнение

?

Отделите эти корни.

В следующей команде в квадратных скобках перечислены левая и правая части уравнения ( на графике они красного и зеленого цвета соответственно)

>

Рис.9

Проводим уточнения при помощи изменения масштаба.

>

Рис.10

И, далее

Рис 10

> 

Рис 11

Таким образом, корней два, один из них , он точный; второй корень лежит на интервале

Далее

Рис.12

Рис 13

И, наконец

Рис14.

Ответ: второй корень лежит на

Задача 4. Сколько корней имеет уравнение

Методом изменения масштаба найдите эти корни с точностью до 0.001.

Строим графики левой и право части в одних осях:

>

Рис. 15

Более точно левый корень виден на следующем графике:

Рис.16

Далее

>

Рис.17

Ответ:

Перейдем теперь к меньшему правому корню

>

Рис.18

Ответ:

Наконец, наибольший корень:

>

Рис.19

Ответ:

Задача 5. Сколько корней имеет уравнение

Методом изменения масштаба найдите эти корни с точностью до 0.001.

Строим графики левой и право части в одних осях:

>

Рис.20

Уточним корень.

Рис 21

И, далее

Рис.21

Ответ: 7.091

Задача 6 Сколько корней имеет уравнение

?

Строим графики левой и право части в одних осях:

   

  Рис 22.

Уточним корень.

Рис 23

Ответ: один корень,

Задача 7 Найти количество положительных корней уравнения

Строим графики левой и право части в одних осях:

>

Рис. 24

Отрицательных корней бесконечно много, уточним количество положительных.

>

Рис. 25

Ответ: два положительных корня.

Задача 8 Сколько корней имеет уравнение

?

plot([],x=-4..2)

Рис. 26.

Проверим графически, что корень один, меняя масштаб:

.

Рис. 27

Более наглядная картина получается при изображении серии графиков при изменении параметра a от 0 до 2.

Для этого надо использовать команды

p:=plot([],x=-4..2);

q:= animate(plot, [a(x+4), x =], a = 0 .. 2);

plots[display](p, q);

Рис. 28

На рис.28 приведена анимация графика левой части уравнения

При

два решения,

одно решение,

нет решений.