Математическое моделирование пространственного нестационарного движения двухваерного тралового комплекса

УДК 51

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ДВУХВАЕРНОГО ТРАЛОВОГО КОМПЛЕКСА

Получена уточненная математическая модель нестационарного движения тралового комплекса (при постоянной длине вытравленных ваеров и заданных параметрах движения судна в горизонтальной плоскости) на основе его пространственной двухваерной схематизации. На базе данной математической модели проведен расчет пространственного движения тралового комплекса при маневрировании судна по траектории – окружности.

траловый комплекс, двухваерная схематизация, обобщенные координаты, уравнения Лагранжа, математическая модель

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время имеется хорошо разработанная математическая теория нестационарного движения тралового комплекса на базе его плоской одноваерной схематизации [1]. На основе этой теории успешно решены многие ключевые задачи, связанные с нестационарным движением траловой системы в вертикальной плоскости. Однако исследование пространственного нестационарного движения требует более детальной схематизации тралового комплекса. Например, при осуществлении маневра судна на промысле нужно, во избежание аварийных ситуаций, иметь представление не только о глубине хода и скорости трала, но и о скоростях и глубине погружения каждой распорной доски, о пространственной траектории трала и обеих распорных досок, о расстоянии между распорными досками и т. д. Поэтому была начата разработка математической модели нестационарного движения траловой системы уже на базе его двухваерной схематизации, где обе распорные доски не объединены (как в плоской одноваерной схематизации), а представлены как отдельные элементы системы [2, 3].

ДВУХВАЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТРАЛОВОЙ СИСТЕМЫ

Согласно двухваерной схематизации, используемой в [2, 3], траловая система моделируется: двумя стержнями и (ваерами), выходящими из одной точки (судно), которые в точках и соединены шаровыми шарнирами с двумя стержнями и (кабелями); точками и (обладающими массами ), моделирующими распорные доски; точкой (обладающей массой ), моделирующей трал. В этих условиях на базе уравнений Лагранжа второго рода, описывающих динамику голономных механических систем, в [2, 3] получена система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, определяющая нестационарное движение тралового комплекса. Однако дальнейший анализ данного математического описания движения двухваерного тралового комплекса показал, что более адекватным является моделирование трала не одной материальной точкой, а двумя материальными точками и , каждая из которых обладает массой . Примем, как и в [2, 3], что траловая система перемещается в неподвижной декартовой прямоугольной системе координат , причем оси и расположены в горизонтальной плоскости, совпадающей с поверхностью моря, а ось направлена вертикально вниз; точка перемещается только в горизонтальной плоскости .

Рис. 1. Пространственная схематизация двухваерной траловой системы

Fig. 1. Spatial schematization of two-warp trawl system

Схематизированная таким образом траловая система представляет собой механическую систему, положение которой в пространстве при известной (заданной) скорости судна можно однозначно определить следующими восемью параметрами (см. рис. 1): углами и между проекциями , ваеров и на горизонтальную плоскость и осью ; углом между ваером и его проекцией ; углом между ваером и его проекцией ; углом между проекцией кабеля на горизонтальную плоскость и осью; углом между проекцией кабеля на горизонтальную плоскость и осью; углом между кабелем и его горизонтальной проекцией ; углом между кабелем и его горизонтальной проекцией .

Как видно из рис.1, координаты точек, , , определяются выражениями:

Так как трал моделируется двумя совмещенными точками и , то координаты этих точек должны совпадать. Поэтому на вышеуказанные восемь параметров накладываются следующие ограничения (которые в дальнейшем будем называть, как и в [2, 3], уравнениями связи):

Таким образом, мы имеем голономную механическую систему с пятью степенями свободы, для описания движения которой нужно составить систему из пяти уравнений Лагранжа второго рода, соответствующих пяти независимым обобщенным координатам. В качестве независимых обобщенных координат примем, как это было сделано в [2, 3], углы, , , , . Тогда оставшиеся три параметра , , являются зависимыми, т. е. функциями обобщенных координат, , , , . Это надо учитывать как при вычислении производных кинетической энергии системы по обобщенным координатам, так и при нахождении обобщенных сил, соответствующих обобщенным координатам. Так, для нахождения обобщенной силы , соответствующей обобщенной координате , нужно придать системе элементарное перемещение [1]; тогда параметры , , получат приращения , , , а например, координаты точки системы, с учетом выражений (2), получат приращения

,

,

.

Таким образом, в уравнении Лагранжа, соответствующем обобщенной координате , вообще говоря, будут фигурировать частные производные параметров, , по обобщенной координате . Аналогично и каждое из остальных уравнений Лагранжа будет содержать частные производные параметров, , – по соответствующей обобщенной координате.

Для нахождения частных производных , , достаточно продифференцировать уравнения связи (3) по и решить полученную систему уравнений, линейных относительно неизвестных , , . Таким же образом определяются и частные производные параметров, , по остальным обобщенным координатам , , , .

Итак, составив пять уравнений Лагранжа второго рода, соответствующих пяти независимым обобщенным координатам , , , , , и присоединив к ним уравнения связи (3), окончательно получаем систему из восьми обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в виде:

,

,

,

,

,

где уравнение (4) – уравнение Лагранжа второго рода, соответствующее обобщенной координате , уравнение (5) - обобщенной координате, уравнение (6) - обобщенной координате, уравнение (7) – обобщенной координате, уравнение (8) – обобщенной координате , а система уравнений (9) представляет собой дважды продифференцированные по времени уравнения связи (3).

Чтобы дать представление о коэффициентах в уравнениях Лагранжа (4) – (8), приведем в качестве примера коэффициенты уравнения (4):

,

,

,

,

,

,

,

,

,

где , – вес в воде каждой распорной доски и трала; – длина каждого вытравленного ваера; – длина каждого кабеля; – скорость судна; – угол между направлением скорости судна и осью ; – масса единицы длины ваера; – коэффициент нормального сопротивления ваера;, , , , , , , , , , – проекции сил сопротивления каждой распорной доски, и трала (и - силы сопротивления материальных точек и соответственно) на оси координат , , (силы сопротивления распорных досок и трала полагаем, как и в [2, 3], известными функциями конструктивных характеристик и скоростей движения этих объектов).

Как видим, коэффициенты уравнения (4) определяются достаточно громоздкими выражениями. Поэтому мы не приводим здесь коэффициенты всех уравнений системы (4) – (8), однако их несложно получить, воспользовавшись стандартными приемами составления уравнений Лагранжа второго рода для стержневой схематизации траловой системы, изложенными, например, в [1].

Система уравнений (4) – (9) является уточненной по сравнению с [2, 3] математической моделью пространственного нестационарного движения двухваерной траловой системы.

На базе полученных уравнений (4) – (9) был проведен расчет пространственного движения тралового комплекса при переходе судна с прямолинейной траектории на движение по окружности без изменения величины скорости судна. Для расчетов была взята траловая система со следующими параметрами: l = 500 м, s = 91 м, = 12000 Н, = 12260 Н, q = 35,1 Н/м, = 19 Нс2/м2, = 1962 кг, = 1226 кг, m = 3,58 кг/м, площадь каждой распорной доски SД = 6 м2.

Рис. 2. Изменение глубины хода внутренней распорной доски , глубины хода внешней распорной доски и глубины хода трала (выделенная линия) в процессе маневра судна по траектории-окружности

Fig. 2. Diving depth of internal trawl door , diving depth of external trawl door and diving depthof trawl (thick line) in the process of trawler maneuver on trajectory-circle

На рис. 2 приведены графики изменения глубины хода каждой распорной доски и трала при движении судна с постоянной скоростью 2,315 м/с по окружности радиуса= 800 м. Как видно из рис. 2, в процессе маневра происходит увеличение глубины хода распорных досок и трала, причем внутренняя распорная доска (движущаяся внутри траектории судна) заглубляется значительнее, чем внешняя (которая движется вне этой траектории). Кроме этого, уменьшается расстояние между распорными досками: первоначальное, равное 76 м, через 10 мин после начала маневра составляет уже 69 м. Отметим также, что угол поворота судна к этому моменту времени равняется рад (99,50), т. е. судно уже движется в обратном направлении, тогда как распорные доски начинают это движение только после 730-й секунды (рад), а трал — вообще на 775-й секунде ( рад). Такое запаздывание распорных досок и трала, их заглубление, а также уменьшение расстояния между распорными досками соответствуют реальному поведению тралового комплекса при повороте судна по окружности (так называемый медленный поворот судна с тралом).

Таким образом, полученная математическая модель адекватно отражает закономерности пространственного нестационарного движения реальной траловой системы и в дальнейшем будет использована для решения задач управления движением тралового комплекса при маневрировании судна в горизонтальной плоскости.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.  Альтшуль, траловой системы / , . – М.: Агропромиздат, 1990. – 240 с.

2.  Altschul B. A. Equations of trawl system movement at its schematization by two-warp model / B. A. Altschul, T. V. Ermakova // Proceedings of the nineth international workshop on methods for the development end evaluation of maritime technologies, Japan, Nara, November 5 – 7th, 2009. Contributions of the theory of fishing gears and related marine systems. Vol. 6, Japan, Nara 2010. – p. 251 – 258.

3.  Альтшуль, описание движения тралового комплекса при его схематизации двухваерной моделью / , // Известия КГТУ. – 2011. - № 20. – С. 141 – 147.

MATHEMATICAL MODELING OF SPATIAL UNSTATIONARY MOVEMENT OF TWO – WARP TRAWL COMPLEX

T. V. Ermakova

The refined mathematical model of unstationary movement of trawl complex (at constant length of the towing warps and at preassigned parameters of trawler movement on horizontal plane) based on its spatial two-warp schematization, are offered. On the base of obtained mathematical model, the calculations of spatial motion of trawl complex in case of trawler moving on trajectory – circle, are realized.

trawl complex, two-warp schematization, generalized coordinates, Lagrange’s equations, mathematical model