Дюрация и показатель выпуклости облигации

Дюрация и показатель выпуклости облигации

Основной фактор риска на рынках инструментов с фиксированными доходами, не имеющих кредитного рискапроцентный риск.

Процентный риск – возможность изменения цены облигации вследствие изменения безрисковых процентных ставок. Цены различных облигаций по разному реагируют на изменения процентных ставок.

Чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок, т. е. процентный риск облигации характеризуется величиной .

Оценим величину при заданном изменении процентных ставок.

Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…,tn лет от текущего момента времени t=0 выплачиваются денежные суммы С1, С2,…,Сn соответственно.

Предположим, временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда рыночная стоимость облигации равна

Предположим, временная структура процентных ставок мгновенно изменилась так, что безрисковые процентные ставки для всех сроков изменились на одну и ту же величину . Тогда стоимость облигации станет равной .

Приращение стоимости облигации в результате изменения процентных ставок равно .

Оценим величину , не производя точных вычислений. Считая достаточно малым по абсолютной величине, получим по формуле Тейлора

.

С учетом членов разложения второго порядка

.

Члены более высокого порядка считаются незначительными при оценке чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке. Для относительных приращений цены облигации получаем




И

+.

Так как , то .

.

Тогда ; .

Определение: число D= называется дюрацией облигации, или дюрацией Маколея.

Дюрация облигации представляет собой средневзвешенный срок выплат по облигации, где веса – это текущие стоимости выплат по облигации, деленные на рыночную цену облигации. Таким образом, коэффициент выражает долю рыночной цены облигации, которая будет получена через лет, k=1,2,…,n. Сумма коэффициентов в D равна единице:

Определение: число C= называется показателем выпуклости облигации.

Таким образом, ; .

Тогда из формул или

+.

Все полученные выражения верны при условии горизонтальности временной структуры процентных ставок и параллельности ее перемещений.

Т. о., дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменению временной структуры процентных ставок: . Чем больше дюрация облигации, тем больше величина по модулю, т. е., тем больше процентный риск облигации. Значит, при определенных условиях дюрацию облигации можно рассматривать как меру процентного риска облигации.

С другой стороны, из +следует, что чем больше выпуклости С, тем менее точным является приближенное равенство , значит тем хуже дюрация облигации оценивает величину . Следовательно, показатель выпуклости облигации можно рассматривать как показатель того, насколько точно дюрация облигации оценивает величину .

В момент t=0 дюрация облигации является мерой ее процентного риска при следующих условиях:

1)  в начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r (кривая доходностей является горизонтальной);

2)  процентные ставки для всех сроков изменились мгновенно в этот же момент на одну и ту же величину (кривая доходностей переместилась параллельно самой себе);




3)  мало;

4)  Показатель выпуклости облигации мал, т. е. справедлива формула .

Определим стоимость облигации после изменения процентных ставок P(r+) от . Из выведенных формул получим, что эта зависимость может быть

1)  Точной ,

2)  Линейной ,

3)  Квадратичной +.

На рисунке показана зависимость стоимости облигации P(r+) от .

Кривая 1 построена для точного поведения цены, является убывающей и выпуклой. Кривая 2 определяет изменение цены только с помощью дюрации облигации и является линейной относительно . Кривая 3 определяет изменение цены облигации с помощью дюрации и показателя выпуклости, является квадратичной относительно .

Замечание. Дюрация Маколея – одно из фундаментальных понятий теории финансовых инвестиций. Как было сказано дюрация Маколея определяется при условии горизонтальности кривой доходностей
и параллельности ее сдвигов. В реальности кривая доходностей не является горизонтальной и ее сдвиги не обязательно параллельны. Однако, исследования показывают, что трудно делать прогнозы более точными, чем по модели с неизменной процентной ставкой. Введение понятия дюрации привело к развитию техники управления пакетами облигаций, которая известна под названием иммунизации.

Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации

Рассмотрим облигацию с купонами. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы.

Справедливы следующие утверждения:

1. Дюрация облигации не превосходит срока до ее погашения Т.

2. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку до ее погашения.

3. Если облигация не является чисто дисконтной
, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше ее дюрация и показатель выпуклости.

4. Если все платежи по облигации отсрочить на t0 лет, не изменяя ее внутренней доходности r, то дюрация облигации увеличится на t0 лет, а показатель выпуклости – на () лет.

5. Если до погашения облигации
остается больше одного купонного периода, то при заданном значении внутренней доходности r дюрация облигации и показатель выпуклости тем больше, чем меньше купонная ставка.

6. Зависимость дюрации облигации от срока до погашения при неизменных g и r cформулируем в виде следующих утверждений:

6.а ;

6b Если g≥r, то последовательность {Dn} является возрастающей;

6с Если g<r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n< n0 последовательность { Dn} является возрастающей.

Докажем несколько свойств:

1.  Доказательство:

D===.

2.  Доказательство:

Покажем, что дюрация и показатель выпуклости облигации – это убывающие функции r.

Рассмотрим производную

=

Покажем, что выражение в квадратных скобках отрицательно. Имеем:

=

- - = -



Подпишитесь на рассылку:


Облигация


Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.