Математический анализ

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА»

Кафедра математики и информационных систем

в экономике

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Методические рекомендации по изучению дисциплины

и выполнению контрольной работы

№ 2

Для студентов заочного обучения специальностей:

060400 Финансы и кредит, 060500 Бухгалтерский учет,

анализ и аудит, 061100 Менеджмент организации,

351100 Товароведение и экспертиза товаров,

351400 Прикладная информатика в экономике

Волгоград 2011

Содержание

1. Целевая установка………………………………………………2

2. Содержание дисциплины для выполнения домашней контрольной работы ….……………………………………..… 2

3. Правила выполнения контрольных работ 3

4. Методические указания по выполнению заданий контрольной работы …………………………………………………………….6

5. Задачи контрольной работы…………………………………...14

6. Вопросы для подготовки к экзамену…………………………19

7. Список рекомендуемой литературы………………………….20

1. Целевая установка

В настоящее время математические методы широко используются для решения самых различных задач экономики, бухгалтерского учета, товароведения. Значение этих методов существенно возросло в связи с массовым применением во всех отраслях хозяйства средств вычислительной техники.

Целью преподавания математических дисциплин студентам экономических специальностей является:

- ознакомление студентов с математическим аппаратом, необходимым для анализа процессов и явлений в ходе поиска оптимальных решений практических задач в экономических исследованиях;

-  выработка умения самостоятельно изучать учебную литературу по математическим методам решения экономических задач;

-  развитие логического мышления и повышение уровня математической культуры.

В соответствии с учебным планом студенты заочного обучения первого курса выполняют домашнюю контрольную работу.

В настоящих методических указаниях даны основные теоретические вопросы курса, решены типичные задачи.

2. Содержание дисциплины для выполнения домашней контрольной работы № 2

Раздел1. Введение в математический анализ

Функция одной переменной. Понятие функции. Способы задания функции. График функции. Вычисление области определения функции. Построение обратных функций. Преобразование графиков функций. Основные свойства функции. Обратная функция. Сложная функция. Неявная функция. Пределы и непрерывность. Понятие предела функции в точке. Основные свойства пределов. Методы раскрытия неопределенности; первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функции в точке и на интервале. Основные свойства непрерывных функций.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление. Функции одной переменной

Производная. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Ее геометрический и экономический смысл. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Техника дифференцирования. Производные элементарных функций. Производные сложных функций. Производные высших порядков. Производные обратных и неявных функций. Основные правила дифференцирования. Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Понятие о дифференциалах высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Приложение производной к раскрытию неопределенностей. Приложение производной к исследованию функции. Возрастание и убывание функции, экстремум функции, выпуклость функции, точки перегиба, асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Прямое интегрирование. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Вычисление несобственных интегралов.

Раздел 4. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Основные понятия. Предел и непрерывность. Частные производные. Дифференциал функции. Вычисление линии уровня, частных производных первого и высших порядков, дифференциала функций нескольких переменных.

Производная по направлению. Градиент. Безусловный экстремум. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа. Выпуклые и вогнутые функции и их свойства. Обоснование метода наименьших квадратов.

Раздел 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Элементы качественного анализа
дифференциальных уравнений первого порядка. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Понятие о системах дифференциальных уравнений.

3. Правила выполнения контрольных работ

При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, возвращаются студенту для переработки.

1.  Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2.  На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя, отчество студента, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины; здесь же следует указать дату отправки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует указать используемую литературу.

3.  В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также содержащие задачи не своего варианта, не принимаютс

4.  Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номер задачи.

5.  Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить данные конкретными из соответствующего номера.

6.  Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7.  После получения прорецензированной работы, как недопущенной, так и допущенной к собеседованию, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, а также выполнить все рекомендации. Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок. При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

8.  По каждой работе проводится собеседование, после чего выставляется зачет по контрольной работе.

Вариант контрольной работы содержит 5 заданий. Задачи контрольной работы должны выбираться студентами по двум последним цифрам его учебного номера (шифра) в соответствии с таблицей выбора вариантов. В колонке в таблице по вертикали расположены цифры от 0 до 9, но каждая из них – последняя цифра личного шифра. Пересечения вертикальных (А) и горизонтальных (Б) линий определяют номера задач контрольной работы, записанные столбиком. Например, если личный шифр студента имеет две последние цифры 75, то он должен выполнить номера 3, 13, 23, 40, 49.

Таблица выбора вариантов

Б А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	10 14 22 37 42 60 65	9 15 21 38 41 59 66	4 20 26 31 48 54 67	5 16 27 32 49 55 68	3 17 28 33 50 53 69	2 18 29 40 47 52 70	1 19 30 39 46 51 61	8 11 25 34 43 58 62	7 12 24 35 44 57 63	6 13 23 36 45 56 64
1	1 17 22 39 50 54 66	2 18 23 40 48 55 67	3 19 30 37 47 52 68	5 20 29 36 46 51 69	6 15 24 33 43 58 70	7 14 25 34 42 59 61	8 13 26 35 41 60 62	9 12 27 32 45 57 63	10 11 28 31 44 56 64	5 16 21 38 49 53 65
2	2 19 30 36 47 51 68	1 20 28 37 48 52 69	5 17 27 38 49 53 70	4 16 26 38 50 54 61	9 19 23 31 45 56 62	10 14 22 32 44 57 63	6 15 21 33 43 58 64	7 12 25 34 42 59 65	8 11 24 35 41 60 66	3 18 29 40 46 55 67
3	3 13 30 38 47 52 69	4 20 27 37 48 54 70	5 19 26 36 49 55 61	10 14 23 33 41 60 62	9 15 24 32 42 59 63	8 16 25 31 43 58 64	7 17 22 35 44 57 65	6 10 21 34 45 56 66	1 11 28 39 50 51 67	2 12 29 40 46 52 68
4	4 20 26 37 42 52 63 74	5 18 27 38 43 51 64 75	2 17 28 39 50 55 65 76	1 16 29 40 49 54 66 77	3 13 21 35 44 59 67 78	9 12 22 34 45 60 68 79	10 11 23 33 46 56 69 80	7 15 24 32 47 53 70 71	6 14 25 31 48 57 61 72	3 19 30 36 41 58 62 73
5	5 12 28 32 41 59 70	6 20 27 33 42 58 61	7 13 30 34 43 53 62	6 14 26 40 44 54 63	4 16 24 35 46 55 64	3 17 25 36 47 52 65	2 15 23 37 48 51 66	10 18 22 38 49 56 67	1 19 21 39 45 57 68	9 11 29 31 50 60 69
6	6 14 25 37 49 58 62	4 19 30 39 48 59 63	3 17 29 40 47 54 64	1 18 28 34 50 53 65	5 16 26 33 46 52 66	2 20 21 31 42 51 67	7 15 22 32 41 55 68	10 13 24 33 43 60 69	8 12 23 36 45 56 76	9 11 27 35 44 57 61
7	7 15 26 31 42 55 64	10 17 27 38 41 58 65	5 18 21 39 46 56 66	2 20 22 34 47 54 67	1 19 30 37 48 53 68	3 13 23 40 49 52 69	9 12 24 33 50 60 70	4 11 29 36 45 51 61	8 16 28 35 44 59 62	6 14 25 32 43 57 63
8	8 18 25 38 43 56 61	9 14 22 39 42 54 62	4 20 28 31 49 53 63	3 11 30 32 48 51 64	2 12 29 40 47 55 65	1 13 27 33 50 52 66	5 14 26 34 46 57 67	10 19 24 36 44 60 68	6 17 23 37 45 58 69	7 16 21 35 41 59 70
9	9 13 23 31 45 57 67	8 12 24 35 44 60 68	3 17 26 40 49 55 69	4 18 27 39 50 59 70	5 19 28 38 47 51 61	2 20 29 37 48 53 62	1 16 30 36 46 52 63	6 11 25 34 41 54 64	7 15 21 33 42 58 65	10 14 22 32 43 56 66

4. Методические указания по выполнению заданий контрольной работы

Задача № 1. Вычислить пределы: а) .

Здесь предварительно имеем:

,

где и - корни квадратного трехчлена.

1) Числитель ; ; ; .

2) Знаменатель ; ; ; .

б) ,

так как

; ; и при .

Задача № 2. Найти производные функций:

а) ;

пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получим:

.

б) ;

.

Задача № 3. Выполним часть общего исследования функций:

Пример 1. Исследуем характер разрыва следующей функции имеет разрыв в точке , где она не определена.

; .

Односторонние пределы не существуют, следовательно, имеем разрыв второго рода. Через точку разрыва проходит вертикальная асимптота (рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

Пример 2. Найти экстремум функции .

Найдем производную . Приравниваем производную к нулю и находим критическую точку . Чтобы найти ординату этой точки, подставим в данную функцию и запишем вершину параболы C(1; 4). Ось симметрии проходит через C параллельно оси (рис. 3). Пересечение параболы с осью : ; , т. е. A(0; 5). Симметричная ей точка A1(2; 5).

Пример 3. Найти точки экстремума функции и интервалы монотонности функции .

Находим первую производную:

и приравниваем ее к нулю . Так как , то и . Критическая точка делит на два интервала монотонности, при переходе через точку меняет знак с на . Следовательно, - точка минимума.

Задача № 4. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а) , б) ,

г)

Решение:

а) используем метод непосредственного интегрирования

= = 2+ С = 2- + С

Сделаем проверку дифференцированием:

= =

б) для вычисления интеграла сделаем подстановку. Пусть t = . тогда dt = d(1 + sin7х); dt = 7cos7xdx;

Подставив полученные выражения в интеграл, получим

Используя обратную замену, окончательно имеем

Сделаем проверку дифференцированием:

в) выделим полный квадрат из квадратного трехчлена, стоящего под корнем, по формуле , где D – дискриминант .

В нашем случае:

. Теперь интеграл преобразуется к виду

Сделаем замену: t = x+1, dt = dx. Имеем

(использован табличный интеграл

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

Сделаем проверку дифференцированием

г) воспользуемся формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле

Положим u = x, dv = sin3xdx. Находим du = dx,

v = . Подставляя в исходный интеграл, получим

.

Сделаем проверку дифференцированием

Задача № 5. Исследовать на экстремум функцию

Решение: находим частные производные функции

;

Критические точки функции находим из системы уравнений:

Находим: х = 4, у = -2

Следовательно, данная функция имеет одну критическую точку

Р(4;-2)

Далее находим частные производные второго порядка и их значения в найденной критической точке

; ;

Частные производные второго порядка не содержат x, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке Р(4;-2).

Имеем: А = -2; В = -1; С = -2

= 4-1 = 3>0. Так как Δ > 0 и А < 0, то в точке Р (4;-2) данная функция имеет максимум. Экстремум функции

Задача № 6

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.

Решение :

; Разделяем переменные .

Интегрируем обе части последнего равенства

В результате получим

Таким образом, получаем общий интеграл

Находим частное решение уравнения. Подставляем начальное условие

1(0 + С) = 1; С = 1

Отсюда получаем частный интеграл

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение, удовлетворяющие начальному условию у(0) = 2.

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как содержит искомую функцию и ее производную в первой степени и не содержит их произведений. Применяем подстановку y = uv, где u и v – некоторые неизвестные функции аргумента х. Если y = uv, то . Подставляя у и в исходное уравнение, получим . Группируем первое и третье слагаемые и выносим v за скобку .

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. , чтобы имело место равенство (2). Тогда уравнение (1) принимает вид

(3).

Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его

; ; ; .

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С = 0. Подставив в (3) найденное выражение для u, получим

; ; . Интегрируя, имеем

Теперь можно получить общее решение исходного уравнения

Определим значение произвольной постоянной С при указанных начальных условиях

; С = 2

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию.

Задача №7

Пример 1. Найти общее и частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям

при у(0) = 1;

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид: , ; корни этого уравнения равны: . Следовательно, общее решение имеет вид .

Продифференцируем его: и подставим в у и начальные условия:

или

Из этой системы находим и . Подставив значения произвольных постоянных и в общее решение, получим частное решение , удовлетворяющее данным начальным условиям.

Пример 2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Решение:

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е. .

Находим общее решение однородного уравнения . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: ; корни уравнения равны: ; . Следовательно, .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: т. к. значение k = 0 является однократным корнем характеристического уравнения. Найдем неизвестные значения А и В. Для этого берем вначале первую и вторую производные от :

Подставим выражения для и в исходное уравнение или

Приравнивая числовые коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему:

откуда А = 3 и В = 1

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения принимает вид

Общее решение неоднородного уравнения равно

.

5. Задачи контрольной работы

Задачи № Вычислить пределы:

1) а) ; б) .

2) а) ; б) .

3) а) ; б) .

4) а) ; б) .

5) а) ; б) .

6) а) ; б) .

7) а) ; б) .

8) а) ; б) .

9) а) ; б) .

10) а) ; б) .

Задачи № Найти производные функций:

1) а) ; б) .

2) а) ; б) .

3) а) ; б) .

4) а) ; б) .

5) а) ; б) .

6) а) ; б) .

7) а) ; б) .

8) а) ; б) .

9) а) ; б) .

0) а) ; б) .

Задачи № Выполнить исследование функции по следующей схеме:

1) найти область определения;

2) проверить четность-нечетность функции;

3) найти точки пересечения с осями координат;

4) найти экстремумы и интервалы монотонности;

5) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости;

6) найти пределы функции при ;

7) построить график функции.

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 0) .

Задачи № 31-40. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием

1) а) б) в)

2) а) б) в)

3) а) б) в)

4) а) б) в)

5) а) б) в)

6) а) б) в)

7) а) б)

в)

8) а) б) в)

9) а) б) в)

10) а) б) в)

Задачи № Исследовать на экстремум функцию двух переменных

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Задачи № Найти общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условием при

1) у(0) = 1

2)

3)

4)

5)

6) у (0) = 3

7) у (0) = 1

8)

9) у (0) = 1

10) у (1) = 1

Задачи № Найти общее и частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, если указаны начальные условия , ,

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

6. Вопросы для подготовки к экзамену

1.  Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла.

2.  Основные свойства неопределенного интеграла.

3.  Таблица основных интегралов.

4.  Непосредственное интегрирование путем подведения под знак дифференциала.

5.  Интегрирование с помошью метода подстановки (замены переменной).

6.  Интегрирование по частям.

7.  Интегрирование рациональных дробей

8.  Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок.

9.  Вычисление кратных интегралов.

10.  Понятие определенного интеграла.

11.  Основные свойства определенного интеграла.

12.  Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

13.  Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур

14.  Геометрические приложения определенного интеграла: и объемов тел вращения.

15.  Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление длины простарнственной кривой.

16.  Понятие несобственного интеграла. Интегралы с бесконечными пределами.

17.  Понятие функции нескольких переменных.

18.  Понятие частных производных.

19.  Применение частных производных.

20.  Обыкновенные дифференциальные уравнения и их порядок.

21.  Общее и частное решения фифференциального уравнения.

22.  Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Их решение.

23.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Их решение.

24.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Их решение.

25.  Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Их решение.

26.  Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

27.  Характеристическое уравнение и его корни.

28.  Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение.

7. Список рекомендуемой литературы

1.  Кремер математика для экономистов: учебноепособие / . – М. : Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003. – 510 с.

2.  Малыхин в экономике: учебное пособие / . – М. : ИНФРА-М, 2000. – 210 с.

3.  Кудрявцев курс высшей математики : учебное пособие / , . – М. : Наука, 1986. – 160 с.

4.  Карасев высшей математики для экономических вузов: учебное пособие в 2-х ч. / , ,

– М. : Высшая школа, 1982. – 310 с.

5.  Данко математика в упражнениях и задачах : учебное пособие в 2-х ч. / , , -кова. – М. : Высшая школа, 1980. – 230 с.

6.  Кузнецов задач и упражнений по высшей математике: учебное пособие / , . – Минск : Высшая школа, 1994. – 250 с.

7.  Ильин алгебра: учебное пособие /

, . – М. : Наука, 1978. – 180 с.

8.  Ильин геометрия: учебное пособие /

, . – М. : Наука, 1971. – 175 с.