Программа дисциплины: основы элементарной математики

Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики

Факультет мировой экономики.

Программа дисциплины:

Основы элементарной математики

(для студентов 1-го курса в качестве дисциплины «по выбору»)

Автор: ст. преподаватель

Декан факультета мировой экономики

«___» ________________ 2010 г.

Зав. кафедрой Высшей математики

на факультете экономики

«___» ________________ 2010 г.

Тематический план учебной дисциплины
Название темы	Количество часов
Семинары	Домашняя работа
1. Основные элементарные функции (ОЭФ), их свойства и графики. Сложные функции. Поведение функций около точек разрыва и «на краях» области определения. Множество значений сложной функции: , где или и т. п.	4	2
2. Множества. Операции над множествами. Свойство при решении систем уравнений.	2	2
3. Понятие функции. Способы задания функции. Числовые функции. Прямая и обратная функции, их графики на примере ОЭФ ( и т. д.). Поиск обратной функции.	2	2
4. Линейная функция и ее свойства. Пучок прямых. Линейные уравнения и неравенства. Система линейных уравнений (2х2), ее исследование.	2	2
5. Модуль числа. Модуль функции. Свойство модуля. Графики рациональных функций, содержащих модуль. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Графическое решение уравнений и неравенств (линейных и квадратичных) с модулем и без модуля.	2	2
6. Необходимые и достаточные условия. Нематематические, промежуточные, математические примеры. Простейшие логические задачи с параметром.	2	2
7. Графики функций , заданных уравнением: . Преобразование графиков: сдвиги, сжатия-растяжения, симметричное отражение. Семейство парабол, семейство окружностей, семейство гипербол.	4	2
8. Понятие наклонной асимптоты. Поиск уравнения асимптоты дробно-рациональной функции.	2	2
9. Понятие производной. Геометрический смысл. Производная обратной функции. Правила поиска производных ОЭФ. Экстремумы функций. Наибольшие и наименьшие значения функций, заданных на отрезке.	4	2
10. Сопряжение прямой и параболы, прямой и окружности, прямой и гиперболы. Решение уравнений высоких степеней (исследование количества корней).	2	2
11. Графическое решение задачи поиска условного экстремума функции двух переменных.	4	4
12. Векторы. Свойства и действия с векторами. Скалярное произведение векторов. Направляющий вектор прямой. Параллельность и перпендикулярность прямых.	2	2
Итого:	32	26

Примеры задач для разбора на семинарах и дома:

1. Построение графиков

Первый уровень сложности:

; ; ; ; ;

;

Второй уровень сложности:

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

Третий уровень сложности

; ; ;

; ;

; ;

Дан график функции ; ; ;

; – найти знаки а, b, c

2. Решение уравнений и неравенств

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ;

3. Поделить многочлен на многочлен

на ;

на ;

на ;

Найти целую часть от деления многочленов:

; ; ;

4. Даны функции:

; ; ; ; .

Найти функции:

; ; ; ; ;

; ; ; ;

5. Найти обратную функцию к заданной:

; ; ; ; ;

; ; ; ;

6. Решить систему уравнений:

6.1 6.2

6.3 6.4

7. На плоскости Х0Y изобразить эскизы семейства линий, заданных уравнением.

7.1 , при

7.2 , при

7.3 , при

7.4 , при

7.5 , при

7.6 , при

7.7 , при

7.8 , при

7.9 , при

8. В каких пределах изменяется:

8.1 величина “”, если ;

8.2 величина “”, если ;

8.3 величина “”, если ;

8.4 величина “”, если ;

8.5 величина “”, если ;

8.6 величина “”, если ;

8.7 величина “”, если ;

Дать графическую интерпретацию постановки задачи и ее решения на плоскости X0Y.

9. Куда стремится значение функции y(x):

, если (х стремится к 0 справа)

, если (х стремится к 0 слева)

, если

, если

, если

, если

, если

, если

, если

, если

, если

, если

10. Найти множество значений функции

, если

, если

, если

, если

11. Найти какой-нибудь вектор сонаправленный с прямой

12. Найти какой-нибудь вектор перпендикулярный прямой , длина которого равна 10.

13. Найти косинус острого угла между прямыми и

14. Найти х и у, если векторы и сонаправлены (коллинеарны).

15. Представить вектор линейной комбинацией векторов и .

16. Найти все значения параметра m, при которых система имеет бесчисленное множество решений.

17. Выбрать верные утверждения:

Если ; ; ; ;

; , то:

; …….

; …….

…. и т. д. Всего 30 утверждений.

Проект итоговой контрольной работы

Вариант 1

1. Решить неравенства:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

2. Даны функции ; ; ;

Найти функции:

2.1

2.2

2.3

3. Решить систему уравнений

4. Построить эскизы семейства линий, заданных уравнением

, при

5. Построить эскиз графика функции:

6. В каких пределах изменяется величина , если известно,

что

7. Найти множество значений функции

8. Куда стремятся значения функции ,

если

9. Найти производную функции:

10. Найти производную функции:

11. Найти вектор, сонаправленный прямой, заданной уравнением , если известно, что его длина равна 10.

12. Найти все “x”, при которых два вектора и перпендикулярны.

13. Найти все значения параметра “m”, при которых система не имеет решений.

14. Найти все значения параметра “a”, при которых из условия следует условие .

Вариант 2

1. Решить неравенства:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

2. Даны функции ; ; ;

Найти функции:

2.1

2.2

2.3

2.4

3. Решить систему уравнений

4. Найти множество значений функции

4.1 , если

4.2

4.3 , если

5. В каких пределах изменяется величина , если . Дать графическую – на плоскости X0Y – интерпретацию решения задачи.

6. Найти производные функций

6.1 6.2

7. Найти значение производной функции:

в точке

8. В каких пределах изменяется величина , если . Дать графическую – на плоскости X0Y – интерпретацию решения задачи.

9. Куда стремится значение функции , если х стремится к 3 слева?

10. Найти вектор, сонаправленный прямой, заданной уравнением , если известно, что его длина равна 10.

11. Найти все х, при которых два вектора и перпендикулярны.

12. Найти все значения параметра “m”, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений

13. Представить вектор линейной комбинацией векторов и .

14. Выбрать верные утверждения (из 12-ти):

Если

; ; ; ;

то:

; …….

; … и т. д..

(Всего 12 штук)